第3讲 圆周角定理与圆内接四边形的性质与判定定理教师版.doc

C A B D 第 3 讲 与圆有关的性质与判定定理 一 知识梳理一 知识梳理 圆周定理圆周定理 圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半 圆心角定理 圆心角的度数等于它所对弧的度数 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等 同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧相等 推论 2 半圆 或直径 所对的圆周角是直角 90 的圆周角所对的弦是直径 圆内接四边形的性质与判定定理圆内接四边形的性质与判定定理 定理 1 圆的内接四边形的对角互补 定理 2 圆内接四边形的外角等于它的内角的对角 圆内接四边形判定定理 如果一个四边形的对角互补 那么这个四边形的四个顶点共圆 推论 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角 那么这个四边形的四个顶点共圆 圆的切线的性质及判定定理圆的切线的性质及判定定理 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 弦切角的性质弦切角的性质 弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 与圆有关的比例线段与圆有关的比例线段 相交弦定理 圆内的两条相交弦 被交点分成的两条线段长的积相等 割线定理 从园外一点引圆的两条割线 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹 角 二 双击自测二 双击自测 1 如图 1 在 O 中 弦 AB 与 CD 相交于点 P 30 50BAPD 则A A 10 B 20 C 40 D 80 答案 B 2 1 2 如图 2 AB 是 O 的直径 EF 切 O 于 C AD EF 于 D AD 2 AB 6 则 AC 的长为 A 2 B 3 C 2 3 D 4 3 如下图 O 与 O 交于 A B O 的弦 AC 与 O 相切于点 A O 的弦 AD 与 O 相切于 A 点 则下列结论中正确的是 A 1 2 B 1 2 C 1 2 D 无法确定 C B 图 D E O A F 4 如图 3 四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形 延长 AB 和 DC 相交于点 P 若 则 PB1 PC1 PA2 PD3 的值为 BC AD 二 例题讲解二 例题讲解 考点一 圆周角的计算与证明考点一 圆周角的计算与证明圆周角圆周角 例 1 如图 4 所示 点A B C是圆O上的点 且AB 4 ACB 45 则圆O的面积等于 解析 易得解析 易得 8 22 2 45 0 S AD rACBADB则 例例 2 如图 已知 AD 是 ABC 的外角 EAC 的平分线 交 BC 的延长线于点 D 延长 DA 交 ABC 的外 接圆于点 F 连接 FB FC 1 求证 FB FC 2 若 AB 是 ABC 的外接圆的直径 EAC 120 BC 6 求 AD 的长 证明 1 因为AD平分 EAC 所以 EAD DAC 因为四边形AFBC内接于圆 所以 所以 FBCDAC FCBFABEAD 所以 所以FB FC FCBFBC A B F CD E 图 14 图 3 图 4 2 B C D 1 O A O 2 因为AB是 ABC的外接圆的直径 所以 90ACD 因为 所以 EAC 120 1 60 2 DACEAC 30D 在 RT ACB中 因为BC 6 所以 60BAC 2 3AC 又在 RT ACD中 所以 30D2 3AC 4 3AD 考点二 四点共圆考点二 四点共圆 证明多点共圆 当它们在一条线段同侧时 可证它们对此线段张角相等 也可以证明它们与某一定点距证明多点共圆 当它们在一条线段同侧时 可证它们对此线段张角相等 也可以证明它们与某一定点距 离相等 如两点在一条线段异侧 则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补 离相等 如两点在一条线段异侧 则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补 例 3 如图 已知是 的切线 为切点 是 的割线 与 交于两点 APOPACOOBC 圆心在的内部 点是的中点 OPAC MBC 1 证明四点共圆 2 求的大小 APOM OAMAPM 答案 1 连结 如图 因为与 相切于点 所以 因为是 的弦OPOM APOPOPAP MO 的中点 所以 于是 由圆心在的内部 可知四边形BCOMBC 180OPAOMA OPAC 的对角互补 所以四点共圆 APOMAPOM 2 连接 如图 由 1 得四点共圆 所以 由 1 得OAAPOM OAMOPM 由圆心在的内部 可知 所OPAP OPAC 90OPMAPM 以 90OAMAPM 练习 如图 已知ABC 中的两条角平分线和相交于 B 60 在上 且 ADCEH FAC AEAF w w w k s 5 u c o m 1 证明 四点共圆 2 证明 CE 平分 B D H E DEF 考点三 弦切角与圆周角定理的应用考点三 弦切角与圆周角定理的应用 弦切角与圆周角是很重要的与圆相关的角弦切角与圆周角是很重要的与圆相关的角 其主要功能在于协调与圆相关的各种角其主要功能在于协调与圆相关的各种角 如圆心角如圆心角 圆周角等圆周角等 是架设圆与三角形全等是架设圆与三角形全等 三角形相似三角形相似 与圆相关的各种直线与圆相关的各种直线 如弦如弦 割线割线 切线切线 位置关系的桥梁位置关系的桥梁 因而弦切角因而弦切角 也是确定圆的重要几何定理的关键环节也是确定圆的重要几何定理的关键环节 如证明切割线定理如证明切割线定理 例 4 2010 年高考课标全国卷 如图 已知 圆上的弧 过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线交于 E 点 证明 1 ACE BCD 2 BC2 BE CD 考点四 圆的切线的性质与判定考点四 圆的切线的性质与判定 解题准备解题准备 若知圆的切线若知圆的切线 一种自然的想法就是连结过切点的半径一种自然的想法就是连结过切点的半径 从而得到垂直关系从而得到垂直关系 证明某条直线是圆证明某条直线是圆 的切线的常用方法有的切线的常用方法有 若已知直线与圆有公共点若已知直线与圆有公共点 则需证明圆心与公共点的连线垂直于已知直线即可则需证明圆心与公共点的连线垂直于已知直线即可 若已若已 知直线与圆没有明确的公共点知直线与圆没有明确的公共点 则需证明圆心到直线的距离等于圆的半径则需证明圆心到直线的距离等于圆的半径 例 5 如图 在 ABC中 C 90 BE是角平分线 DE BE交AB于D O是 BDE的外接圆 求证 AC是 O的切线 课后作业 1 如图 5 AB BC CD E 40 则 ACD P B A C D B A C O D 图 6 2 如图 6 已知 AD AB ADB 350 则 BOC 等于 A B C D E 图 5 F E B D A C A C O F E D B 3 如图所示 已知 AD 是ABC 的外接圆直径 CEAD 交 AD 于点 F 交 AB 于点 E 求证 2 ACAB AE 答案 连接 BEABE ADC ABAE ADAC 4 1040ABACADAE 4 在锐角三角形 ABC C中 AD 是 BC 边上的高 DEAB DFAC E F 为垂足 求