第七届苏北联赛A题.doc

一问题重述供应链是一种新的企业组织形态和运营方式,包括从客户需求信息开始经过原材料供应、生产批发销售等环节,到最后把产品送到最终用户的各项制造和商业活动。供应链运作过程中需要应对生产和需求的不确定性。在不确定环境下，研究供应链成员的生产与订购决策问题，具有重要的理论和现实意义。（1）考虑包含一个生产商和一个销售商的供应链，即销售商向生产商订购商品，生产商将商品按批发价格批发给销售商，销售商将商品按销售价格销售给最终顾客。若假设商品的最终需求量是确定的，而生产商生产商品量是不确定的，即由于受到各种随机因素的影响，商品实际产量可能不等于计划产量，呈现随机波动。请建立数学模型，确定销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量。根据建立的数学模型，求解以下供应链中销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量：单位商品生产成本为20，单位商品库存成本为5，单位商品批发缺货成本（即由于生产商的供应量不足销售商的订购量，而产生的惩罚性成本，比如信誉损失成本）为15，单位商品销售缺货成本（即由于销售商的供应量不足客户的需求量，而产生的惩罚性成本，比如信誉损失成本）为25，单位商品批发价格为40，单位商品销售价格为60，商品市场需求量为400。商品生产量的波动区间为0.85,1.15，即若生产商计划生产量为Q，则产品实际产量的区间为0.85Q,1.15Q.（2）在问题（1）的供应链中，如果商品的市场需求量也是随机的，即市场需求量是一个随机变量，请建立数学模型，确定销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量。根据建立的数学模型，求解以下供应链中销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量：单位商品生产成本为20，单位商品库存成本为5，单位商品批发缺货成本（即由于生产商的供应量不足销售商的订购量，而产生的惩罚性成本，比如信誉损失成本）为15，单位商品销售缺货成本（即由于销售商的供应量不足客户的需求量，而产生的惩罚性成本，比如信誉损失成本）为25，单位商品批发价格为40，单位商品销售价格为60。商品市场需求量的期望为400，市场需求量的波动区间为0.8,1.2，即实际市场需求量的区间为320,480。商品生产量的波动区间为0.85,1.15，即若生产商计划生产量为Q，则产品实际产量的区间为0.85Q,1.15Q.（3）实际上，大多数供应链具有两级生产不确定性，即原产品（或原材料）生产的不确定性和产成品生产的不确定性，如石油、煤炭、钢铁等供应链中，一级生产商生产原产品(原油、原煤、铁矿石)，二级生产商(炼油厂、洗煤厂、钢铁厂)利用原材料生产成品；又如，在副食品生产中，农民种植农产品，食品生产商利用农产品生产副食品。以上供应链中，一级生产商生产原产品（或原材料），二级生产商向一级生产商订购原产品（或原材料），并通过加工原产品（或原材料）生产产成品，进而销售给最终顾客，两级生产均具有不确定性。若假设产成品的市场需求量是确定的，请建立数学模型，研究在两级生产不确定的供应链中，二级生产商（产成品生产商）的最优订购量和一级生产商（原材料或原产品生产商）的最优计划产量。根据建立的数学模型，求解以下供应链中二级生产商的最优订购量和一级生产商的最优计划产量：单位原产品生产成本为20，单位原产品库存成本为5，单位原产品缺货成本（即由于一级生产商的供应量不足二级生产商的订购量，而产生的惩罚性成本，比如信誉损失成本）为15，单位产成品生产加工成本为10，单位产成品库存成本为7，单位产成品缺货成本（即由于二级生产商的供应量不足市场的需求量，而产生的惩罚性成本，比如信誉损失成本）为30，二级生产商投入单位原产品产出产成品数量为0.7（比如煤炭供应链中，洗煤厂入洗1吨原煤，产出0.7吨精煤），原产品价格为40，产成品价格为95，产成品市场需求量为280。原产品生产量的波动区间为0.85,1.15，产成品生产量的波动区间为0.9,1.1.在两级生产不确定的供应链中，如果产成品的市场需求量也是一个随机变量，如何改进你所建立的数学模型，确定二级生产商的最优订购量和一级生产商的最优计划产量。二、 模型假设1) 假设实际生产量和计划生产量之间的波动符合正态分布；2) 假设市场实际需求量和理论需求量之间的波动符合正态分布；3) 假设两级生产商的实际生产商和计划生产商的波动符合正态分布；4)假设各环节的库存商品在下一季度出售时不贬值；5)假设各环节的库存能力没有限制；6)假设相邻两次商品的订购为一个周期，一个周期为一个季度；三、符号说明: 单位商品生产成本: 单位商品库存成本：单位商品批发缺货成本：单位商品销售缺货成本: 单位商品批发价格：单位商品销售价格(t)：t季度商品市场需求量(t)：t季度销售商的订购量(t)：t季度生产商的商品计划产量(t)：t季度生产商的商品实际产量：t季度生产商的商品库存量：t季度销售商的商品库存量：生产商获得的利润:销售商获得的利润: 商品生产量的波动:t季度内一级生产商的计划生产量:t季度内一级生产商的库存量 :一级生产商的生产成本:一级生产商的库存成本:一级生产商的缺货成本:二级生产商的批发价格a:单位一级产品对二级产品的产出率:一级生产商的实际生产量四、问题分析模型采用ERP供应链管理方法以计划控制为核心，处理生产商的计划生产量和实际生产量，销售商的订购量和市场需求以及各环节的库存量之间的相互作用关系，以生产商和销售商的利润总和最大为目标函数。问题一在市场需求量一定的情况下，对生产商假设实际生产量和计划生产量之间的波动符合正态分布,需要结合正态分布的性质对波动区间进行处理解得较合理的，最后也需要对的合理性进行检验。对销售商的订购量和市场需求量考虑上季度库存，建立起生产商和销售商利润之和最大的优化模型，并用软件求解。问题二在问题一的基础上，市场需求量是随机波动的，假设市场实际需求量和理论需求量之间的波动符合正态分布，采用第一问的方法求解合理的波动函数，在单周期随机库存模型的基础上进行改进得到最优订购量，再用问题一的优化模型求解。问题三的第一小问在问题一的基础上，将供应链中生产商环节看成是一级生产商和二级生产商，假设两级生产商的实际生产商和计划生产商的波动符合正态分布，在问题一的基础上，建立起一级生产商、二级生产商和销售商的利润之和最大的优化模型，从而可以得知一级生产商和二级生产商的利润最大的最优解。五、模型建立与求解1.1问题一模型的建立：生产与销售和市场之间各环节的关系如下图：销售商顾客批发价格销售价格生产商缺货成本计划生产量Q(t)库存量N(t)库存成本缺货成本订购量M(t)库存量市场需求量D(t)库存成本S2生产成本图1 生产与销售和市场之间各环节的关系图假设季度生产的实际生产量，计划生产量，随机波动幅度函数，则 (1)假设波动函数服从的正态分布，其中 (2)正态总体在()内取值的概率是区间取值概率（68.3%（95.4（99.7%表1正态分布概率概表99.7%95.4%68.3%图2 正态分布概率图由题目商品生产量的波动区间为0.85,1.15，所以函数的波动区间为-0.15,0.15,由此假设函数在区间-0.15,0.15内的概率为99.7% 即 (3)生产商的利润: (4) 示性函数 (5) (6) (7)销售商的利润:（8）示性函数 (9) (10) (11)根据ERP供应链管理方法，将这个供应链里的生产商和销售商考虑为一个公司里的生产部门和销售部门，目标函数应是能是该公司获得最大利润的目标。则目标函数为： (12)1.2问题一模型的求解：生产商的单位商品生产成本，生产商的单位商品库存成本，生产商的单位商品缺货成本，销售商的单位商品的缺货成本，销售商的单位商品批发价格，销售商的单位商品销售价格。假设该商品是在第一季度，则此时t=1,生产商的库存量为0.用c语言编程求解。得出销售商的最优订购量为400，生产商的最优计划量为4142.1问题二模型的建立：结合改进的单周期随机库存模型，假设需求量D(t)为一个连续的随机变量，且D(t)的概率密度函数g(z)符合正态分布,当理论上的市场需求量D(t)=z,物品的出售量取决于商品的订购量M(t)和实际市场需求量z,令 H=M(t)+ (t) (13)即，出售量= (14)产出的利润：G(H) = (15)这样一个周期的总利润应该是G(H)的期望值，即E(G(H)=+ =()H-(- (16)在上式的推导中用到概率密度的性质=1 (17)为求极大值，对上式两端关于H求导数，得到 =(-(- (18)=-(-0 (19)注意到二阶导数小于0，因此，满足方程=0的H一定是EG(H)的极大值点即 (+ =(+ 即 =( (20)即满足方程=的H一定是EG(H)的极大值点，故为本周期的最优订购量M(t)=H-(t-1)，带入问题一的模型进行求解。问题二在问题一的基础上加上了市场的需求量是个随机变量条件，其他的因素没变，故将问题一模型中的销售商的利润的计算关系式要做一定的改动。对于市场需求量假设季度生产的市场需求实际量，市场理论上的需求量，是随机波动量，则 (21)假设波动函数服从的正态分布， (22)正态总体在()内取值的概率是由题目商品生产量的波动区间为0.8,1.2，由此假设函数在区间-0.2,0.2内的概率为99.7% (23)生产商的利润: 示性函数 销售商的利润: (24)示性函数 根据ERP供应链管理方法，将这个供应链里的生产商和销售商考虑为一个公司里的生产部门和销售部门，目标函数应是能是该公司获得最大利润的目标。目标函数 2.2问题二模型的求解生产商的单位商品生产成本，生产商的单位商品库存成本，生产商的单位商品缺货成本，销售商的单位商品的缺货成本，销售商的单位商品批发价格，销售商的单位商品销售价格。商品市场需求量Eg(z)=400.假设该商品是在第一季度，则此时t=1,生产商的库存量为0.用c语言编程求解得到销售商的最优订购量为420，生产商的最优计划量为456。3.1问题三的模型的建立：生产与销售和市场之间的关系如下图：生产成本批发价格销售商-顾客批发价格销售价格一级生产商计划生产量库存成本缺货成本订购量库存量市场需求量库存成本缺货成本二级生产商产出率a库存量图3生产与销售和市场之间的关系图3.1.1问题三第一小问当需求量一定的情况下问题三是在问题一的基础上，将生产商看成是一级生产商和二级生产商。在第一问的模型基础上改进，将二级生产商看成是问题一中的生产商，本问题中对于一级生产商，我们假设为t季度内一级生产商的计划生产量，为t季度内一级生产商的库存量， 为一级生产商的生产成本，为一级生产商的库存成本，为一级生产商的缺货成本，为二级生产商的批发价格。假设1单位的一级产品可以生产出二级产品数量为a，所以当二级生产商的计划产量为时，一级生产商的订购量为。假设季度一级生产商的实际生产量，计划生产量，随机波动幅度函数，则 (25)假设波动函数服从正态分布，其中 (26)正态总体在()内取值的概率是由题目商品生产量的波动区间为0.85,1.15，所以函数的波动区间为-0.15,0.15,由此假设函数在区间-0.15,0.15内的概率为99.7% (27)一级生产商的利润(28)示性函数 (29) (30) (31)二级生产商的利润: 示性函数销售商的利润:示性函数目标函数 + (32)3.1.2问题三第二小问当需求量也随机时，问题三类似于问题二，在问题二的基础上将供应链中的生产商考虑为一级生产商和二级生产商，用问题二中改进的单周期随机库存模型求解销售商的最优订购量，问题三的第二问在第一问的基础上加上了市场的需求量是个随机变量条件，其他的因素没变，故将问题一模型中的销售商的利润的计算关系式要做一定的改动。和问题二中的改动相同。3.2问题三的求解一级生产商的单位商品生产成本，一级生产商的单位商品库存成本，一级生产商的单位缺货成本，二级生产商的单位商品生产成本，一级生产商的批发价格，二级生产商的单位商品库存成本，二级生产商的单位商品缺货成本，一个一级产品能产出二级产品数量a=0.7,二级生产商的批发价格.代入问题三所建立的模型中，用c语言编程求解得二级生产商的最优订购量为286，一级生产商的最优计划量为307。六、 模型检验在用户给定样本的情况下，对波动函数进行检验，未知设为总体的样本,其中，,(33)分别是样本均值和样本方差。， (34)由概率论定理知 (35)并且上式右端的分布不依赖于任何位置参数，图4 分布图 取作为枢轴量，即得 (36)即这就得到方差的一个置信水平为的置信区间假设对置信水平=0.95，则，查表得，又所以可得置信区间，从而对模型一所解得进行检验，若大小在置信区间内说明解得的值是可信的，从而验证了模型的可行性。七、 模型评价与改进本模型采用ERP管理方法结合多周期讨论，每季度内选取联合最优作为目标函数，因此具有一定的局限性，对于生产供销一条龙的企业而言具有比较好的实用性，但是从决策论的观点来看应该考虑一个季度内不确定环境下生产商和销售商的最优计划生产量和订购量，求解该季度内生产商最优计划产量和销售商的最优订购量有联合最优和独立最优两种情况，如果把联合最优和独立最优结合运用，采用主从决策的方法，那么模型的实用性会更强。八、 参考文献1 (美)温斯顿，运筹学概率模型应用范例与解法分析(第四版)，清华大学出版社，2006-8-1；2王志贤，最优状态估计与系统辨识，西北工业大学，2