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2020 1 9 中级概率1 1 第一节概率基础知识一 事件与概率1 事件 随机事件可能发生 也可能不发生的事件称为随机事件 必然事件 肯定发生的事件称为必然事件 不可能事件 肯定不发生的事件称为不可能事件 样本空间所有的基本事件构成样本空间 记为 2020 1 9 中级概率1 2 例1 若批产品有10000件 它们只区分为合格品与不合格品 其中合格品与不合格品各占50 从中抽取2件 并记合格品为 0 不合格品为 1 写出其样本空间 样本空间由以下四个样本点构成 0 0 0 1 1 0 1 1 2020 1 9 中级概率1 3 例2 若批产品有10000件 它们只区分为合格品与不合格品 其中合格品与不合格品各占50 从中抽取3件 并记合格品为 0 不合格品为 1 写出其样本空间 000001010011100101110111 2020 1 9 中级概率1 4 例3 若批产品有10000件 它们只区分为合格品与不合格品 其中合格品与不合格品各占50 从中抽取4件 并记合格品为 0 不合格品为 1 写出其样本空间 2020 1 9 中级概率1 5 例4 若批产品有10000件 它们只区分为合格品与不合格品 其中合格品与不合格品各占50 从中抽取2件 并记合格品为 0 不合格品为 1 样本空间由以下四个样本点构成 0 0 0 1 1 0 1 1 A 至少有一件合格品 0 0 0 1 1 0 B 至少有一件不合格品 0 1 1 0 1 1 C 恰好有一件合格品 0 1 1 0 至多有两件不合格品 0 0 0 1 1 0 1 1 有三件不合格品 2020 1 9 中级概率1 6 2 随机事件之间的关系 包含若事件A中任一样本点必在B中 则称A被包含在B中 或B包含A记为A 至少有一件合格品 0 0 0 1 1 0 C 恰好有一件合格品 0 1 1 0 互不相容若事件A与事件B没有相同的样本点 则称事件A与事件B互不相容 这时事件A与事件B不可能同时发生 2020 1 9 中级概率1 7 A 两件都是合格品 0 0 B 两件都是不合格品 1 1 相等若事件A与事件B含有相同的样本点 则称事件A与B相等 桶内有球10000个 黑白两种各占50 从中抽2个 A 两个都是白球 B 没抽到黑球 2020 1 9 中级概率1 8 3 事件的运算 对立事件事件A的对立事件记为 事件的并A B A与B中至少有一个发生A 抽到一件合格品 0 1 1 0 B 抽到两件合格品 0 0 A B 抽到了合格品 2020 1 9 中级概率1 9 事件的交A B A与B同时发生在北京市随机抽取一个人A 抽到的是60岁以上的老人B 抽到的是男性A B表示 事件的差A B A发生B不发生A 抽到的是60岁以上的老人B 抽到的是男性A B表示 2020 1 9 中级概率1 10 例1 一坛子球中黑球白球各占一半 从中抽两个球 记事件A 至少有一个黑球 B 两个球颜色不同 则A与B之间的关系是 单选A BA B A B C AB D 互不相容 2020 1 9 中级概率1 11 例2 设A与B是任意两个随机事件 则A B 多选A A AB B B AB C D 2020 1 9 中级概率1 12 4 随机事件发生的概率随机事件发生的可能性的大小 称为随机事件发生的概率 2020 1 9 中级概率1 13 二 概率的古典定义与统计定义1 概率的古典定义 所涉及的随机现象有n个样本点 每个样本点出现的可能性相同 被考察的事件A含有k个样本点 则事件A的概率定义为 P A k n A中所含样本点的个数 中样本点的个数 2020 1 9 中级概率1 14 例1 设桶内有10000个球 其中有5000个白球 5000个黑球 从中随机抽取2个球 1 求抽到的两个都是白球 A 的概率 2 求抽到的一个是白球 一个是黑球 B 的概率 ab1WW2WB3BW4BBP A 1 4 P B 2 4 2020 1 9 中级概率1 15 例2 投3枚硬币 1 求3枚都正面朝上 A 的概率 2 求恰有2枚正面朝上 B 的概率 3 求正面朝上不超过2枚 C 的概率 2020 1 9 中级概率1 16 0表示正面朝上 1表示背面朝上000001010011100101110111P A 1 8 P B 3 8 P C 7 8 2020 1 9 中级概率1 17 例3 掷两颗六面体的骰子 一个是黑色 一个是白色 x表示黑色骰子出现的点数 y表示白色骰子出现的点数 其样本点可用数对 x y 表示 样本空间为 1 1 1 2 1 6 2 1 2 2 2 6 3 1 3 2 3 6 4 1 4 2 4 6 5 1 5 2 5 6 6 1 6 2 6 6 2020 1 9 中级概率1 18 事件A 点数之和为2 事件A仅有一个样本点 1 1 P A 1 36 事件B 点数之和为5 事件B有4个样本点 1 4 2 3 3 2 4 1 P B 4 36 事件C 点数之和大于9 事件C有6个样本点 4 6 5 5 6 4 5 6 6 5 6 6 P B 6 36 事件D 点数之和大于3 而小于7 事件D有12个样本点 1 3 1 4 1 5 2 2 2 3 2 4 3 2 3 3 4 1 4 2 5 1 3 3 P D 12 36 2020 1 9 中级概率1 19 三 排列与组合1 乘法原理 如果做某件事需经k步才能完成 其中做第一步有m1种方法 第二步有m2种方法 第k步有mk种方法 那么完成这件事共有m1 m1 mk种方法 例 甲城到乙城有3条线路 乙城到丙城有2条线路 那么从甲城到丙城有3 2 6条线路 2020 1 9 中级概率1 20 2 加法原理 如果做某件事可由k类不同方法之一完成 其中在第一类方法中又有m1种完成方法 在第二类方法中又有m2种完成方法 在第k类方法中又有mk种完成方法 那么完成这件事共有m1 m1 mk种方法 例如 由甲城到乙城有三类交通工具 汽车 火车和飞机 而汽车有5个班次 火车有3个班次 飞机有2个班次 那么从甲城到乙城共有5 3 2 10个班次供选择 2020 1 9 中级概率1 21 3 不重复排列3 1选排列例1 用1 2 3 4四个数码 可以写出多少个不重复的三位数 解 这时从4个不同数码任取3个排列问题 可以作如下考虑 我们把 写出一个三位数 这件事分作三步 第一步选取一个数码作百位数 第二步选取一个数码作十位数 第三步选取一个数码作个位数 第一步有4种选法 第二步有3种选法 第三步有2种选法 根据乘法原理 共写出 4 3 2 24个数码不重复的三位数 图 另外文件 2020 1 9 中级概率1 22 例2 用1 9九个数码 可以写出多少个不重复的四位数 共写出 9 8 7 6 3024个数码不重复的四位数 2020 1 9 中级概率1 23 定义 从n个不同的元素a1 a2 an中任取r r不超过n 个元素按一定顺序排成一列 成为一个排列 按乘法原理 此种排列共有n n 1 n r 1 个 记为 它称为选排列 若r n 称为全排列 全排列数共有个 记为 即 2020 1 9 中级概率1 24 4 重复排列 例1 以 8 为首位的八位电话号码 一共可以设多少 解 首位已确定 第2位可以是0 1 9这10个数字中的任何一个 即有10种选法 同理 第3位 第4位 第8位也都有10种选法 所以一共有10 10 10 10 10 10 10个1234567 2020 1 9 中级概率1 25 定义 从n个不同的元素a1 a2 an中选出r个 排成一列 每个元素可以重复出现 这种排列称为有重复排列 按乘法原理 此种重复排列种数共有个 例1 1 9数字中任意抽取2个数字 可组成9 9 81个数 例2 从1 9数字中任意抽取3个数字 可组成9 9 9 729个数 2020 1 9 中级概率1 26 5 组合从n个不同的元素a1 a2 an中任取r个为一组 两组元素有不同时才看成不同的组 即不考虑其间顺序 所能得出的全部不同的组数 称为从n个元素中取r个的组合数 记作 2020 1 9 中级概率1 27 例 有30个篮球队参加比赛 第一轮比赛中 每两个球队都进行一次比赛 第一轮共要安排多少场比赛 解 从30个队中任取2个队比赛 是不考虑顺序的 是组合问题 我们可以这样考虑 从30个中任取2个的选排列就等于 从30个中任取2个的组合 再对这2个进行全排列 这样两个步骤合成 应用乘法原理有 2020 1 9 中级概率1 28 得 从此例可得出定义 从n个不同元素任取r个的组合数为 2020 1 9 中级概率1 29 三 概率的性质及加法定理与乘法定理1 概率的基本性质性质1 对任意事件A 有性质2 2020 1 9 中级概率1 30 例1 抛三枚硬币 求至少出现一个正面的概率 解 设A 至少出现一个正面 都是反面 2020 1 9 中级概率1 31 性质3 若A B 则 P A B P A P B 2 加法定理P A B P A P B P AB 用维恩图说明 当A与B互不相容时P A B P A P B 2020 1 9 中级概率1 32 3 乘法定理当事件A B相互独立时 P AB P A P B 所以有P A B P A P B P AB P A P B P A P B x y xy 1 1 x 1 y 2020 1 9 中级概率1 33 例1 甲乙两门火炮向某一目标射击 甲火炮射中的概率是0 9 乙火炮射中的概率是0 8 求目标被击中的概率 解法一 P A 0 9 P B 0 8 P A B P A P B P AB P A P B P A P B 0 9 0 8 0 9 0 8 1 7 0 72 0 98解法二 1 0 1 0 2 0 98 2020 1 9 中级概率1 34 例2 加工某一零件需经三道工序 设第一 二 三道工序的次品率分别是0 02 0 03 0 04 并假定各道工序是互不影响的 求加工的零件是次品的概率 1 1 0 02 1 0 03 1 0 04 例3 某电路由4个相互独立的电子元件串联而成 4个相互独立的电子元件失效的概率分别为 0 001 0 002 0 003 0 004 求电路失效的概率 1 1 0 001 1 0 002 1 0 003 1 0 004 2020 1 9 中级概率1 35 例3 设A与B相互独立 且P AB 0 且有 P A 0 6 P A B 0 8 求P B 0 8 0 6 x 0 6x0 4x 0 2x 0 5 2020 1 9 中级概率1 36 例4 甲乙两门火炮向某一目标射击 甲火炮射中的概率是0 6 目标被击中的概率0 9 求乙火炮射中的概率 0 9 0 6 x 0 6x0 4x 0 3x 0 75 2020 1 9 中级概率1 37 例5 某系统由两个元件并联构成 其中一个元件失效的概率为0 03 要求系统失效的概率不得超过千分之三 求与之并联的另一个元件失效的概率不得超过多少 0 03x 0 003x 0 10 997 0 97 x 0 97x0 997 0 97 x 0 97x0 03x 0 27x 0 91 0 9 0 10 03y 0 003y 0 1 2020 1 9 中级概率1 38 例6 某系统由两个元件串联构成 其中一个元件失效的概率为0 03 要求系统失效的概率不得超过0 0785 与之串联的另一个元件失效的概率不得超过 A 0 1 B 0 02 C 0 0007 D 0 05 2020 1 9 中级概率1 39 6 设P A 0 4 P B 0 6 P A B 0 8A A与B相互独立 B A与B互不相容 C P A B 0D A与B互为对立 2020 1 9 中级概率1 40 4 条件概率及事件的独立性 条件概率在事件B已发生的条件下 事件A再发生的概率 记为P A B 2020 1 9 中级概率1 41 一坛子球中有白球7铜球黑球8白球10铁球黑球20A表示抽到白球B表示抽到铜球P A 17 45P A B 7 15P B 15 45P B A 7 17P AB 7 45P AB P A P B A 7 45P AB P B P A B 7 45 2020 1 9 中级概率1 42 由于增加了新的条件 一般来说 P A B P A 例 10件产品中 有7件合格品 合格品中又分为一等品与二等品 2个一等品5个二等品 3个不合格品 现从这10件中任取一件 用A表示 取到一等品 B表示 取到合格品 求P A 及P A B 2020 1 9 中级概率1 43 解 从10件产品中任取1件 共有10种等可能的结果 其中导致A出现的结果有3种 故P A 2 10若已知B已发生 即已知所取产品为合格品的条件下 可能出现的结果不再是10种 而是仅有7种 其中导致A出现的结果有3种 故P A B 2 7已知B已发生 使我们在缩小了的范围内考虑问题 2020 1 9 中级概率1 44 不难看出 条件概率的计算公式 2020 1 9 中级概率1 45 独立性和独立事件的概率例 掷两枚硬币 设B表示 第一枚出正面 A表示 第二枚出正面 我们知道P A 1 2 即使B已发生 A的条件概率P A B 1 2 B的发生并不影响A发生的概率 即P A B P A 我们称事件A独立于事件B 对于任意两个随机事件A与B 有P AB P B P A B P A P B A 2020 1 9 中级概率1 46 由于P AB P B P A B 当事件A独立于事件B时 有P AB P B P A 当事件A B C相互独立时 有P ABC P A P B P C 2020 1 9 中级概率1 47 例 设某试验的样本空间共有25个样本点 其中事件A含有15个样本点 事件B含有7个样本点 事件A与事件B的交含有4个样本点 则下列结论正确的有 A P A B 4 7B P A B 7 15C P B A 4 15 D P B A 7 25 2020 1 9 中级概率1 48 互不相容 不可能同时发生互相独立 互不影响例1 A 正月十五雪打灯B 八月十五云遮月例2 某君现年50岁且身体健康 A 某君寿命低于75岁B 该君寿命高于80岁 2020 1 9 中级概率1 49 第二节随机变量及其分布一 随机变量用一个量值表示随机事件 该量值就是随机变量 在北京市随机抽取一个人抽到的人年龄是 1231201岁以下1岁至2岁2岁至3岁 119岁至120岁 2020 1 9 中级概率1 50 我们把这种取值带有随机性的变量称作随机变量 二 离散随机变量的分布2 1随机变量的分布列例 掷两颗骰子 其样本空间为 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 4 1 4 2 4 3 4 4 4 5 4 6 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 2020 1 9 中级概率1 51 设X表示 掷两颗骰子 6点出现的个数 它的分布列为 X012P25 3610 361 366点不出现 X 0 的概率最大 两个都是6点 X 2 的概率最小 2020 1 9 中级概率1 52 设Y表示 掷两颗骰子 点数之和 它的分布列为 Y2345671 362 363 364 365 366 36891011125 364 363 362 361 36 2020 1 9 中级概率1 53 分布列满足 2020 1 9 中级概率1 54 例 下列 可以作为离散型随机变量的分布列A B X 357X025P0 30 40 4P0 10 50 2C D X368X 179P0 20 30 5P 0 10 70 4 2020 1 9 中级概率1 55 本拉登的藏身处阿富汗巴基斯坦埃及其它地0 50 30 10 1 2020 1 9 中级概率1 56 某试验的结果如下表 它们互不相容 结果abcdeP0 20 30 20 10 2记事件A b c d e B a d e 则P A B A 0 1B 0 5C 0 3D 0 2 2020 1 9 中级概率1 57 随机试验的结果可以用数量来表示 例如 100件产品中有10件不合格品 从中随机抽取3件 抽到的不合格品的数量就是一个变量 它可能取0 1 2 3中的一个值 每次抽取 取到哪个值 在抽取之前不能确切预言 但是 取每个值的概率则是确定的 2020 1 9 中级概率1 58 2 2离散随机变量的均值2 3离散随机变量的方差2 4离散随机变量的标准差 2020 1 9 中级概率1 59 例1 离散随机变量分布列为 X 101P0 10 20 7求该随机变量的均值 方差和标准差E X 1 0 1 0 0 2 1 0 7 0 6Var X 2020 1 9 中级概率1 60 例2 离散随机变量分布列为1 81 922 12 20 10 20 40 20 1求该随机变量的均值 方差和标准差 2020 1 9 中级概率1 61 例3 某工程队完成某项工程的天数X是一个随机变量 其概率分布为 X10111213P0 40 30 20 1 该工程队完成此项工程所需的平均天数10 0 4 11 0 3 12 0 2 13 0 1 11 它的标准差是 天1 0 4 0 0 3 1 0 2 4 0 1 1 2020 1 9 中级概率1 62 例4 某工厂生产的产品 一等品占1 2 二等品占1 3 次品占1 6 如果生产一件次品要损失1元 而生产一件一等品要获利2元 生产一件二等品要获利1元 若生产了大量产品 求平均每件获得的利润 X21 1P1 21 31 62 1 2 1 1 3 1 1 6 7 6 2020 1 9 中级概率1 63 例5 某保险公司售出30000万份人身意外保险 每份20元 A级理赔率为1000万之1 理赔额为40万并退保险费 B级理赔率为1000万之6 理赔额为10万并退保险费 C级理赔率为100万之2 理赔额为5万并退保险费 求保险公司获得的利润 20 30000万 20 1000万之1 1000万之6 100万之2 40万 1000万之1 10万 1000万之6 5万 100万之2 30000万 2020 1 9 中级概率1 64 三 常用离散随机变量的分布1 二项分布1 1二项分布的记法1 2二项分布的概率函数 2020 1 9 中级概率1 65 例1 一批产品的不合格品率为千分之三 从中随机抽取10个 求抽到了一件不合格品的概率 2020 1 9 中级概率1 66 例2 一批产品的不合格品率为1 从中随机抽取10个 求抽到了不合格品的概率 例3 一批产品的不合格品率为10 从中随机抽取10个 求抽到了不合格品的概率 2020 1 9 中级概率1 67 例4 一批产品的不合格品率为千分之三 从中随机抽取10个 求抽到了不合格品的概率 2020 1 9 中级概率1 68 中P26P Y 1 P Y 0 P Y 1 P 1 X 3 P X 0 P X 1 P X 3 P X 5 P X 6 P X 7 P X 8 2020 1 9 中级概率1 69 1 3二项分布的均值 方差与标准差 2020 1 9 中级概率1 70 例1 设随机变量X服从二项分布b n p 已知E X 2 Var X 1 6 则两个参数n与p为 np 2np 1 p 1 6n 10p 0 2例2 设随机变量X服从二项分布b n p 已知E X 3 Var X 2 7 则两个参数n与p为 np 3np 1 p 2 7n 30p 0 1 2020 1 9 中级概率1 71 2 两点分布当n 1时 二项分布退化为两点分布2 1两点分布的概率函数 2020 1 9 中级概率1 72 2 2两点分布的均值 方差与标准差 2020 1 9 中级概率1 73 3 泊松分布3 1泊松分布的记法3 2泊松分布的概率函数 2020 1 9 中级