2018共创考研数学二模拟1试卷与解答.pdf

2018 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学二 模拟数学二 模拟 1 考生注意考生注意 本试卷共二十三题本试卷共二十三题 满分满分 150 分分 考试时间为考试时间为 3 小时小时 一一 选择题 选择题 1 8 小题 小题 每小题每小题 4 分分 共共 32 分分 在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中 只有一个选项符合要求只有一个选项符合要求 将所选项前的字母填在题后的括号里将所选项前的字母填在题后的括号里 1 设 设lim x f xA 则下列结论正确的是 则下列结论正确的是 A 若若0A 则则0M 当当xM 时有时有 0f x B 若若0A 则则0M 当当xM 时有时有 0f x C 若若0M 当当xM 时有时有 0f x 则则0A D 若若0M 当当xM 时有时有 0f x 则则0A B 2k C 1k D 1k B B 213 III C C 312 III D D 231 III 7 7 已知已知 1 11 4 T a 2 215 T a 3 210 1 T a 是四阶方阵是四阶方阵A的三 个不同特征值的特征向量 则 的三 个不同特征值的特征向量 则a的取值为 A 的取值为 A 4a B B 3a C C 34aa 且 D D 5a 8 8 A是三阶矩阵 是三阶矩阵 123 P 是三阶可逆矩阵 且是三阶可逆矩阵 且 11 A 22 A 3 0 A 矩阵 矩阵Q满足 满足 1 1 1 0 diag Q AQ是对角阵 则是对角阵 则Q应是 A 应是 A 1213 B B 231 C C 1223 2 D D 12231 二 填空题 9 14 小题 每小题 4 分 共 24 分 请将答案写在答题纸指点位置上 二 填空题 9 14 小题 每小题 4 分 共 24 分 请将答案写在答题纸指点位置上 9 1 ln3lnln2 32 lim 1 n n n n eee 10 设设 u 可导 且可导 且 0 1 二元函数 二元函数 exyzxy 满足满足0 zz xy 则 则 u 11 设设 f x在在 0 上单调可导 上单调可导 0 0f 1 f 为为f的反函数 若的反函数 若 12 dcos x x ef x x e ftetxx 则 则 f x 12 方程方程 1 y xy 的通解为的通解为 13 211 1 y x dxe dy 14 已知三元二次型已知三元二次型 222 123121323 222 T xaxxx xax xx x x Ax 的秩为 2 则其规范形为的秩为 2 则其规范形为 三 解答题 15 23 小题 共 94 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 三 解答题 15 23 小题 共 94 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 本小题满分本小题满分 10 分分 设函数设函数 f x是周期为是周期为 4 的周期函数 的周期函数 f x在在0 x 处可导处可导 且 且 2 0 ln 1 lim 1 x xf x xx 求曲线 求曲线 yf x 在在4x 处的切线方程 处的切线方程 16 本题满分 本题满分 10 分 设分 设 01 25 arctan 1 2 nn xxxn 证明 证明lim n n x 存在 并求它的值 存在 并求它的值 求 求 1 3 lim nn n n xx x 17 本小题满分本小题满分 10 分分 设设 f x是单调可导函数 是单调可导函数 0 1 22 ff g x是是 f x的反函数 且 的反函数 且 f x满足满足 00 1sin d sin d 11 f xx t t g tttt ee 求积分 求积分 2 2 df xx 的值 的值 18 本小题满分本小题满分 10 分分 确定常数确定常数A的最小值及常数的最小值及常数B的最大值的最大值 使得不等式使得不等式 2222 ln B xyA xy xy 在区域在区域 0 0 Dx yxy 内成立内成立 19 本小题满分本小题满分 10 分分 设设 f x在在 0 a上二阶可导 上二阶可导 0 0f 且 且 fx 在在 0 a内单调减少 证明内单调减少 证明 43 00 5 d d 6 aa a x f xxx f xx 20 本小题满分本小题满分 11 分分 设平面区域为设平面区域为 01 01Dxy f x y满足表达式满足表达式 2 1 D xyf x y dxdyf x y 令令 1 t I tf x t dx 求求 1 0 I t dt 21 本小题满分本小题满分 11 分分 设曲线设曲线yy x 在在 1 1 4 点与直线点与直线4430 xy 相切 且相切 且yy x 满足方 程 满足方 程6yy 求该曲线在相应于 求该曲线在相应于 1 1 x 上的点上的点x y 处曲率 处曲率 22 本小题满分本小题满分 11 分分 设设A是三阶矩阵 是三阶矩阵 9 18 18 T b 方程组 方程组 Axb有通解 有通解 12 2 1 02 0 11 2 2 TTT kk 其中 其中 1 k 2 k为任意常数 求为任意常数 求A及及 100 A 23 本小题满分本小题满分 11 分分 已知矩阵已知矩阵 121100 021010 13000a 与 AB等价 等价 I 求常数 求常数a的值 的值 II 求可逆阵 求可逆阵 P Q 使使 PAQB 数学二 模拟数学二 模拟 1 参考答案 参考答案 一一 选择题 选择题 1 8 小题 小题 每小题每小题 4 分分 共共 32 分分 1 解 由极限的保号性知答案应该为 解 由极限的保号性知答案应该为 B 2 解 解 1 1 1 ln 1 1 1 nn xnxn f xenxx enx x 11 3000 3 1 1 limlimlim1 cos 1 sin1 2 nn xxx f xn nxn nx a g x axx x 故 故40 4an 答案 答案 B 3 解法一 交点处 解法一 交点处x坐标满足方程坐标满足方程 3 30 xxk 令 令 32 3 3 1 f xxxk fxxf x 在在 1 与与 1 上单增 在上单增 在 1 1 上单减 且上单减 且lim x f x lim x f x 1 2fk 1 2fk 由题设 由题设 有有 1 0f 即 即2k 答案 答案 A 解法二 图形法 解法二 图形法 3 3yxx 的图形为如图所示 的图形为如图所示 4 解 有题设知 解 有题设知 2 x xef x 是偶函数是偶函数 F x必为奇函数必为奇函数 又又 f x有界有界 因而因而0M 使得对使得对 x 均有均有 f xM 相应的有相应的有 222 00 d d 1 22 xx ttx MM F xtef tttef tte 因此因此 F x是有界的奇函数答案为是有界的奇函数答案为 A 5 解 由 解 由 22 0 0 lim1 x y f x y xy 可得 可得 00 0 0 0 0 0 0 0 0 lim0 0 0 lim0 xy xx f xffyf ff xy 220 0 0 0 0 0 0 0 lim0 xy x y f x yffxfy xy 答案应该是 D 答案应该是 D 6 解 记 解 记 22 123 1 1 max 1DxyDxyDxy 则有 则有 213 DDD 且函数 且函数 cos xy在各个区域上取值均为正 因此有在各个区域上取值均为正 因此有 213 III 答案为 答案为 7 7 解 解 将 123 作为A的列向量组 将其化为阶梯形即可确定a的取值 123 是三个 不同特征值的特征向量 必线性无关 由 由 2 114114 21501528 2101021041 TT aa aaa aaaa 114 01528 00 4 5 3 5 T a aa aaaa 可知可知5a 仅 A 入选 答案为 D 仅 A 入选 答案为 D 8 解 因 A 中向量 解 因 A 中向量 13 是是A的不同特征值的特征向量的线性组合 故不是的不同特征值的特征向量的线性组合 故不是A的特征向量 排除 A B 中 的特征向量 排除 A B 中 3 1 的排列顺序与其对角阵中特征值的排列顺序不一致 排除 B D 中 的排列顺序与其对角阵中特征值的排列顺序不一致 排除 B D 中 23 不是不是A的特征向量 排除 D 仅 C 入选 答案为 C 二 填空题 9 14 小题 每小题 4 分 共 24 分 请将答案写在答题纸指点位置上 的特征向量 排除 D 仅 C 入选 答案为 C 二 填空题 9 14 小题 每小题 4 分 共 24 分 请将答案写在答题纸指点位置上 9 解 因为 解 因为 ln 1 2 3 k kn k 因而函数 因而函数 f x在在 0 上单增 当 上单增 当0 x 时有时有 arctan 0 0f xxxf 由此可得数列 由此可得数列 n x是单调递减的 又是单调递减的 又0 n x 由单调有 界收敛原理知 由单调有 界收敛原理知lim n n x 存在 设存在 设lim n n xa 对等式 对等式 1 arctan nn xx 两边同时取极限可得两边同时取极限可得arctanaa 解得 解得lim0 n n xa 2 2 32 00 arctan1 1 limlim 33 xx x xx x xx 由 由lim0 n n x 可得可得 1 3 1 lim 3 nn n n xx x 17 解 解 对等式对等式 00 1sin d sin d 11 f xx t t g ttt t ee 两边关于两边关于x同时求导可得同时求导可得 1sin sin 11 x x xfxx ee 上式两边同时在区间 上式两边同时在区间 2 2 上积分后可得上积分后可得 22 22 1sin d sin d 11 x x xfxxxx ee 注意到 注意到 2222 2222 d d d 2 xfxxxf xf xxf xx 2 222 222 1sinsinsin sin ddd 1111 xx xxx xxxx eeee 22 2 22 00 sinsin 0 dsin 114 xx xx xxdx ee 18 解 解 由题设可知由题设可知 22 22 22 ln max min ln x yDx yD xy ABxyxy xy 令令 23 ln 1 ln 1 0 0 0 rr g rrg rre g e rre 所以 所以re 是函数是函数 g r取得 极大值 同时也是最大值 且有 取得 极大值 同时也是最大值 且有 1 g e e 相应的有 相应的有 22 xye 时 函数时 函数 22 22 ln xy xy 取得最大值 所 以应取 取得最大值 所 以应取 1 A e 设设 22 ln f x yxyxy 令 令 2 22 22 2 22 22 2 ln 0 2 ln 0 x y x y fx yyxy xy xy fx yxxy xy 上述方程组的第一式乘以上述方程组的第一式乘以x减去第二式乘以减去第二式乘以y可得可得 22 22 2 0 xy xy xy 由此可得函数 由此可得函数 f x y在在D内的 驻点满足 内的 驻点满足yx 把它代入到方程组的第一个式子中去可得 把它代入到方程组的第一个式子中去可得 2 1 ln 2 0 2 xxxx e 因而 因而 f x y 在在D内的驻点为内的驻点为 11 22ee 因为驻点唯一 且实际问题有解 可知 因为驻点唯一 且实际问题有解 可知 min 111 222 Bff eee 19 证明 令 证明 令 3 0 5 d 0 6 x x F xtt f tt xa 则 则 0 0F 且 且 43 0 15 d 0 0 66 x F xx f xt f tt F 3 1 6 Fxx xfxf x 0 xa 由拉格朗日中值定理知存在 由拉格朗日中值定理知存在 0 x 使得 使得 0 f xffx 0 0f 因此有 因此有 f xfx 由此可得 由此可得 4 1 6 Fxxfxf fx 单减 因而当单减 因而当 0 xa 时有时有 0Fx 即函数 即函数 F x 在在 0 a是单减函数 当是单减函数 当 0 xa 时有时有 0 0F xF 由此可得函数 由此可得函数 F x在区间在区间 0 a上单减 因而有上单减 因而有 343 000 25 d d d 0 0 36 aaa aa F att f ttx f xxx f xxF 即有 即有 43 00 5 d d 6 aa a x f xxx f xx 因此应该 取 因此应该 取 3 4 2 2yy 分离变量再积分后可得 分离变量再积分后可得 1 4 2 42 2yxC 由 由 1 1 4 y 可得 2 0C 所以有 所以有 432 1 3 4 yxyxyx 因此所求曲率 因此所求曲率 2 33 26 22 3 11 yx k yx 22 解 由题设知 22 解 由题设知 1 2 1 0 T 与与 2 2 0 1 T 为为 0Ax的基础解系 即有 的基础解系 即有 11 0 0 A 22 0 0 A 于是 0 为 于是 0 为A的二重特征值 的二重特征值 1 与与 2 为对应于为对应于 12 0 的特征向量 又的特征向量 又 1 2 2 T 为其特解 故 为其特解 故 Ab 即 即 191 21892 2182 A 于是 于是 3 9 为为A的另一个特征值 的另一个特征值 为其对应为其对应 3 9 的特征向量