微分几何初步 课后答案(陈维桓 著) 北京大学出版社.pdf

2 1 参数曲线 1 将一个半径为r的圆盘在XY平面内沿X轴作无滑动的滚动 写出圆盘上一点的轨迹方程 此曲线称为旋轮线 or 摆线 解 设初始位置时 圆盘中心C 0 r 考虑点M 的运动轨迹 设转过的弧度为t C 与在X轴上的投影为 M在CC 0 0 CM M C M 上的投影为 则若设NM x ty t 有 x t M C OC MC M C sinrtrt y t CN CC cosrrt 所以 M sin cosrtrt rrt 2 证明 曲线的切线与某个确定的方向成定角 证明 单位切向量 2 3 6 6 r ttt 2 2 1 1 2 2 12 rttt t 若 rt 与单位常向量 成定角 则 123 c cCc 2 123 2 1 cos 22 12 rt CrtCcc tc ta t a 为常数 222 123 1ccc 则 132 2 0 2 ccac 所以 的切线与 r t 22 0 22 的方向始终成定角 4 3 设平面曲线c与同一平面的一条曲线l相交于正则点P 且落在直线l的一侧 证明 l是曲 线c在点P的切线 证明 设曲线c 点对应 rr t P 0 tt 在与所 在 平 面 内 作 记cl 1 ll 1011 lcrr tttttt 012 s 再 作 1 i l ll i t i dist ldist l i l 记 010 ii crr tttttt 2i l 2 3 4 i 这样有 12 n llll n ll 0 r tt 201 12 nn nn r tt l tt 由为正则点 可知P 0 r t 存在 0201 0 12 nn nn r ttr tt r t tt 0 lr t 即l是cP的切 在点线 4 证明 若 曲线 r t 在点 0 t有 x 0 0t 则该曲线在的一 个邻域内 可表示成 证明 因 不妨设 则存在的一个邻域 使得 0 t yf x x zg 0 0 x t 0 0 x t 0 t 0 t xx t 在内 0 t 连续且严格递增 从而在 0 t内存在 xx t 的反函数 设为 xth 所以 在 0 t内 yy ty h xf x zz tz h xg x 即曲线在的一个邻域内可表示成 0 t yf x zg x 5 求曲线 222 1xyz 22 xyx 0z 的参数方程 222 2 1 1x 解 22 2222 11 24 xyz yz xyxxy 令 1 sin 2 yt 则 11 cos 22 xt 11 cos 22 zt 02t 该曲线的参数方程为所以 11111 s ttcos sinco 22222 r tt 2 2 曲线的弧长 1 设下面的常数 求曲线在指定范围内的弧长 0a 1 r tacht asht at 0tb 2 悬链线 x yach a 0 x 3 曳物线 cos ln sectan sin r tat attat 0 t 解 1 222 1 2 r tasht acht ar tash tch tacht 00 22 bb sr tdtachtdtash b 2 1 ttt xtyachr tt achr tsh aaa 令则 2 00 1 xx tx sr tdtshdtash aa 3 1 sin cos cos r tat at t 2222 2 00 1 sin cos2 lncos cos tt sr tdtatatdtat t 2 求下列曲线的单位切向量场 dr ds 1 圆螺旋线 cos sin 0 r tat at bt a 2 33 cos sin cos2 r tttt 解 1 sin cos r tat at b 22 11 sin cos drdr dtdr at at b dsdtdsdt ab r t 2 22 3cossin 3sincos 2sin2 r tttttt 22 1 3cossin 3sincos 2sin2 5sin cos drr t ttttt dstt r t 3 设曲线是下面两个曲面的交线 c 22 22 1 0 xyz xacha b aba 求从点 到点c0 0 a x y z的弧长 解 令 则zt tt xachybsh aa 的参数方程为 tt r tachbsht aa c 1 t bt r tshch a aa 22 22 00 zz abtz sr tdtchdtabsh aa a t e 4 求曲线 使得 rr t 2 0 1 0 5 t rr tt 解 由可得 2 t r ttt e 32 11 32 t r tttec c 为常向量 当 0t 0 0 0 1 1 0 5 rc 1 0 6 c 32 11 1 6 32 t r ttte 2 3 曲线的曲率和 Frenet 标架 1 求曲线的曲率 1 2ln 0 a rat ata t 2 323 3 3 3 rttttt 3 sin 1 cos ra ttatbta 0 t 4 33 cos sin cos2 rtt 解 1 22 22 0 aaaa r tart tttt 3 2 422 432 222 aaa r trt ttt 2 2 2 3 2 1 r trtt a t r t 2 22 33 6 33 6 6 6 r ttttrttt 22 81 2 1 r trttt t 2 2 3 1 31 r trt t r t 3 1 cos sin sin cos 0 r tatat b rtat at 2 cos sin cos1 r trtabt abt at 224 3 3 2 222 4sin 2 4sin 2 t a ba r trt r tt ba 4 22 3cossin 3sincos 2sin2 r tttttt 2323 6cos sin3cos 6sin cos3sin 4cos2 rtttttttt 233222 12sincos 12sincos 9sincos r trttttttt 3 3 25 sin cos r trt tt r t 2 求曲线的密切平面方程 1 22 cos sin 0 r tat at btab 2 在 cos sin t r tat bt e 0t 处 其中0ab 解 1 sin cos cos sin 0 r tat at brtatat 2 sin cos r trtabtabt a 密切平面 0Xr 即 0Xrr trt 亦即 sincos0bt xbt yazabt 2 sin cos cos sin tt r tat bt ertatbt e cossin sincos tt r trtbettaettab 密切平面 0Xr 即 0Xrr trt 当时 0t 0 1 rarrba ab 此时 密切平面为2 xy z ab 3 求曲线 在 sin 1ln1 z xshxyy zexx 0 0 0处的曲率和 Frenet 标架 解 设曲线的参数方程为 xx syy szz s 其中是弧长参数 且对应于 点 因此函数 s0s 0 0 0 x sy sz s满足下列方程组 222 sin1 1 ln12 13 z xshxyy zexx xyz 1 2式关于求导得到 s cos4 5 1 z xchx xyy y x zezx x 令 可得到0s 1 000 3 xyz 333 0 0 333 r 3 4 5式再关于求导 得 s 22 2 2 2 0 sincos 1 1 zz xxyyzz xshx xchx xyy yy y xx ze ze zx x x 令 得到0s 121 1 00 0 0 999 9 xyzr 2 9 6 0 9 r 066622 0 000 66322 0 r r 0 4 求曲线在处的曲率和密切平面方程 222 22 9 3 xyz xz 2 2 1 解 设曲线的参数方程是 xx syy szz s 其中是弧长参数 且对应于 点 因此函数 s0s 2 2 1 x sy sz s满足 222 22 222 91 32 13 xyz xz xyz 1 2式关于求导 得 s 04 05 xxyyzz xxzz 令 得到0s 12 0 0 0 33 xyz 2 3 12 2 00 33 3 r 3 4 5式再求导 得 222 22 0 0 0 xxyyzz xxxyyyzzz xxxzzz 令 得到0s 11 00 0 0 33 xyz 11 00 33 r 022 0 00 32 0 r r r 2 2 2 222 0 00 366 密切平面 2 222 2210 366 xyz 0 即49xyz 5 设曲线的方程 2 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 t t ett r tt t et 证明 这是一条正则曲线 且在处的曲率为0t 00t 0t 证明 2 1 3 2 0 1 0 t tr te t 2 1 3 2 0 0 1 t tr te t 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 trrr 0 t r t 这是一条正则曲线 2 1 64 46 0 0 0 t trte tt 2 1 64 46 0 0 0 t trte tt 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 trrr 曲线在处的曲率为0 0t 时 2 2 1 3 1 6 12 1 0 4 1 t t r t te t r t e t 0t 2 sgn 460 0 1 r trt tt r trt 2 2 2 1 3 1 6 sgn 46 2 1 0 4 1 t t t ttte t e t 时 2 2 1 3 1 6 12 0 1 4 1 t t te t e t 0t 2 sgn 461 0 0tt 2 2 2 1 3 1 6 sgn 46 1 0 1 4 1 t t t te t e t 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0t 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1t 2 4 挠率和 Frenet 公式 1 计算 3 习题 1 中各曲线的挠率 1 2ln 0 a rat ata t 2 323 3 3 3 rttttt 3 sin 1 cos ra ttatbta 0 t 4 33 cos sin cos2 rtt 解 1 22 22 0 aaaa r tart tttt 3 2 34 2 2 2 2 2 26 0 2 1 aa rt tt r t rt rt t a t r trt 2 22 33 6 33 6 6 6 r ttttrttt 2 2 2 6 0 6 1 31 rt r t rt rt t r trt 3 1 cos sin sin cos 0 r tatat b rtat at 2 22 2 cos sin 0 cos1 rtatat r t rt rt b bat r trt 4 22 3cossin 3sincos 2sin2 r tttttt 3232 2 6sin21cossin 6cos21sincos 8sin2 8 25sin2 rtttttttt r t rt rt t r trt 2323 6cos sin3cos 6sin cos3sin 4cos2 rtttttttt 2 求 3 习题 3 中的曲线在处的挠率 0 0 0 解 曲线 sin 1ln1 z xshxyy zexx 3331 12 0 0 3339 99 rr 原题中的方程组 再求导 得 222 33 2 3 3 24 0 3cos3sin 1212 3 11 zzz xxxyyyzzz cos 1 xchx xshx xxchx xyy yy yyy y x xxxxx xxx ze ze zze zx xx 令 得到0s 83 03 818181 r 3 2 0 0 0 1 0 2 0 rrr r 3 设曲线的挠率是非零常数 求曲线 rr s 1 rss ds 的曲率和挠率 解 1 r 2 1 r 2 1 2r 32 1 2 35 22 rrr rr 2 32 r rr rr rrr 4 证明 满足条件 2 2 11 d ds 常数的空间挠曲线或是常曲率的曲线或是球面上的 一条曲线 证明 11111dddd r dsdsdsds 因 2 2 11 d ds 常数 故两边对求导 s 212111 0 dddd dsdsdsds 两边同数乘 2 1111 0 dddd dsdsdsds 1 0 d ds 时 11 0 dd dsds 从而 111 0 dd r dsds 0 111d rr ds 0 r 为常向量 0 rrc 为常数 即曲线是球面上的一条曲线 c 1 0 d ds 时 为常数 即曲线为常曲率的曲线 5 试求沿曲线定义的向量场 s 使得以下各式同时成立 sssssssss 解 因 s 沿曲线定义 可设 sa ssb ssc ss s 则有 sabcsbc sabcsac sabcsab 0 abc ssss 6 证明 1 若曲线在每一点处的切线都经过一个定点 则该曲线必是一条直线 2 若曲线在每一点处的密切平面都经过一个定点 则该曲线必是一条平面曲线 3 若曲线在每一点处的法平面都经过一个定点 则该曲线必是一条球面曲线 证明 1 设定点为 则有 即c 0r scr s 0r scs 对上式求导 有 0r scr s 即 0r sc 故或 总有该曲线是一条直线 0r sc 0 2 设定点为c 则有 0rc 对上式求导 得到 0rc 0 或 后一种情况为题 1 总有该曲线是平面曲线 0rc 3 设定点为c 则有 即 0rc 0rcr 也等价于 0 d rcrc ds 即 rcc 该曲线是球面曲线 7 设 123 r ssss 是定义在曲线 r s 上的单位正交标架场 命 3 1 i ijj j d ds 1 证明 3i 0 ijji 证明 0 j i ijjiijji d d ss dsds 8 证明 曲线 33 22 1 1 11 332 sss r ss 以 s 证明 111 1 222 ss r sr s s 为曲线弧参 2 112 0 4 14 1 4 1 r sr s ss s 33 22 2 2 112 1 1 0 88 4 1 r r r r sss s r 111 222 ss sr s 11 0 22 r sss s r s 111 222 ss sss 9 如 果是 曲 线的 切 线 象 证 明 该 曲 线 的 曲 率 和 挠 率 分 别 是 s rr s 2 1 2 1 d ds 并求它的 Frenet 标架场 证明 2 32 32 2 3 2 2 1 1 d ds 2 1 1 2 1 1 10 rr t r tttt 33 sgn 证明 2222 rrrrrr 23 r 222 rrrrr 2 23 r rr sgn rr 33 sgn 2 5 曲线论基本定理 1 如果一条曲线的切向量与一个固定的方向成定角 则称该曲线为定倾曲线 或一般螺线 这 样的曲线可以看成是柱面上与直母线成定角的曲线 证明 曲线 0 是定倾曲线的充要 条件是它的挠率与曲率之比是常数 证明 设曲线 为弧参 是一定倾曲线 则 rr s s a st saconst 对上式求导 得 即 0sa 0sa 0 即 s 与一固定方向垂直 22 010 0 0 2 0 d ds 即const 若c c为常数 则cc 两边对求积分 得sca a 为常向量 数乘 0ca 即ac r s 为定倾曲线 2 设c 为常数 写出这条曲线的参数方程 c 证明 令 则 0 s t ss ds dt s ds c dds dtdt d c dt d c dt 2 2 2 1 ddd cc dtdtdt 解得 22 cos 1sin 1Ac tB c t 2 1 22 222222 cos1sin12cos 1sin 11c t Ac t BABc tc t 2 2 1 1 0 A B AB 可取 1 2 Ae Be 则 22 cos 1 sin 1 0c tc t d dt 两边关于t积分 得 22 2 1 sin 1 cos 1 0 1 c tc ta c 对 2 1 222 12 2 c 2 12 sin 1cos 11 1 1 ac t ec t ea c 令上式中及0t 2 1 t c 可得 2 2 0 1 c eaa c 令 2 2 1 t c 及 2 3 2 1 t c 可得 1 0e a 于是有与 均垂直 a 1 e 2 e 3 2 1 c ae c 22 2 1 sin 1 cos 1 1 c tc t c c 关于求积分 最终得到 s 22 200 1 sin1 cos1 1 ss rcs ds dscs ds ds cs c 3 证明 曲线 3sin 2cos 3sinr tttttt 和 1 2cos 2sin 22 uu r uu 是合同 的 证明 13cos 2sin 3cosr tttt 3sin 2cos sinrtttt 3cos 2sin cosrtttt 2 3cos2 4sin 2cos2 3r trtttt 8r rr r rr 32 11 44 rr rrr 1 sin cos 1 22 uu ru 1 11 cos sin 0 2222 uu ru 1 11 sin cos 0 4242 uu ru 11 11 sin cos 22 22 2 uu ruru 1 8r rr 111 11 11 32 111 11 44 rrr rr rrr 11 r t 与合同 1 r u 4 证明 曲线 1 crcht sht t 与曲线 2 22 uu ee cru 1 在空间的一个刚体运动 下是合同的 试求使与合同的刚体运动 3 E 1 c 2 c 解 s 22 tttt eeee chtht tt 11 0 22 11 0 0 1 10 2222 001 tt ee t 且 11 0 22 11 0 22 001 1 c 2 是正交阵 故和c合同 2 6 曲线在一点的标准展开 1 若在两条曲线之间可以建立一个点对应 使得在对应点这两条曲线有公共的主法线 则称这 两条曲线互为共轭曲线 若一条曲线有非平凡的共轭曲线 则称它为 Bertrand 曲线 证明 在互 为共轭的曲线的对应点之间的距离为常数 并且在对应点处的切线成定角 12 c c 证明 设其中一条曲线的 Frenet 标架为 1 c 1111 r ssss 1 s 另一条曲线以 的弧参为参数 可记做 2 c 1 c s 21 r ss r s 两边关于s求导 得 221111111 1r 1 两边数乘 1 得0 s sc 常数 21 r sr ssc 即与在对应点之间的距离为常数 1 c 2 c 12 1212 d ds 11222121221 0 r 12 ss c 常数 即与在对应点处的切线成定角 1 c 2 c 2 证明 曲率和挠率 均不为 0 的曲线是 Bertrand 曲线的充要条件是 常数 0 1st 证明 设曲线c r 为其弧参 且曲率k和挠率 r s s 均不为 0 若为 Bertand 曲线 则由上题知 其非平凡共轭曲线为 r s 1 r sr ss 其中 为 非 0 常数 两边关于求导 得s 1 1r 1 1 2 22 1 1 1 1 r r 由题 1 的结论可知 11 2 22 1 cos cos 1 0 0 为一定值 于是有 0 1 ctg 即 0 1ctg 取 0 ctg 即得结论成立 令 1 r sr ss 只需证明为 1 r r 的共轭曲线 即 1 已知 1 2 22 1 1 1 1 22 sgn 1 s 两边关于求导 可得 111 22 sgn r 1 即为的一非平凡共轭曲线 从而 1 r s r s r s 为 Bertrand 曲线 3 若在曲线 1 c 2 c 1 c 2 c 2 c 1 c 1 c 2 c 1 c 1 rr s s 1c c 2 211 r sr scss c 1 s c1 证明 设 其中是 2211 cr sr sss s 1 r 的弧参 已知法线与 2 r 1 平行 则 2 与 1 垂直 也即 2 r 与 1 垂直 21 1r 11 21 10r 即sc 得证 4 设的 方 程 是 1 c 1 rr s 1 s 试 求的 渐 缩 线的 方 程 提 示 设的 方 程 为 且要求 1 c 1 s 2 c 2 c 21 r sr sss 1 rs 2 1 以此确定 和 证明 由题意 设 22111 cr sr sssss 1 则 211111 1 r 2 因为的渐缩线 故有 2 c 1 c 11 ssssrs 112 0r 即 222 1111111 0 1 0 22 111 1 0 0 1 22 1 1 arctan 1 1 1 tan s ds 21111 11 11 tan r sr sss dss ss 5 证明 若平面曲线的曲率中心轨迹是正则曲线 则它是原曲线的一条渐缩线 证明 设平面曲线为 为弧参 则 r r s s 1 1 r sr ss s 两边关于s求导 得 1 1 s rsss ss 因为平面曲线 r s 0s 1 1 rss s 1 r s 为正则曲线 1 0 rss 从而曲率中心轨迹是原曲线的一条渐缩线 6 经过曲率中心 并与密切平面垂直的直线称为曲率轴 证明 球心在点的曲率轴上 经过点的球面与曲线在 0s 0r rr s 0s 处有二阶以上的切触 提示 只要证明 2 2 2 0 00 111 lim00 0 s rc s r s0c 证 明 2 2 0 000 2 s r srso s 曲 率 轴 上 的 点 可 表 示 为 0 1 00r 0c 故只需证明题中提示 2 2 2 0 00 111 lim 000 s r srcc s 2 2 2 0 2 0 0 11 lim 000 2 s s sc s c 2 222 0 2 0 00 111 lim 2 s sscc s 2 22 0 20 2222 0 00 4 lim0 11 2 s s sscc 7 与曲线在一点有三阶以上切触的球面称为密切球面 试求曲线 rr s 在点处的密切球 面的中心 s 解 设在点处的密切球面的中心 rr s s 1123 r sr sssssss 则 222 123 R ssss 且 2 2 1 3 0 lim0 s r ssr sRs s 球面半径 Taylor 展开 有 r ss 2 3 11 6 s r ssr sssss 23 2 26 ss sss s 33 3 6 ss sssos 2 2 112 2 1 r ssr ssssss 2332 312 123 333 sss sssssosss 22 s 2 312 12 2 0 1 0 333 sss sssssss 123 2 1 0 s sss sss 12 2 1 s r sr sssss sss 2 7 平面曲线 1 求下列平面的相对曲率 r 1 椭圆 cos sin 02rat btt t 解 sin cos cos sinrat btratb 33 22222222 sincos r xyx yab xyatbt 2 双曲线 racht bsht 解 rasht bchtracht bsht 3 22222 r ab a sh tb ch t 3 抛物线 2 rt t 解 1 2 0 2rtr 3 22 2 14 r t 4 摆线 sin 1 cosra ttat 解 1 cos sin sin cosratatrat at 1 222cos r at 5 悬链线 t rt ach a 解 1 1 0 tt rshrch aaa 2 1 r t ch aa 6 曳物线 cos ln sectansin 0 2 raaa 解 2 sin sin cos cos sin coscos a raaraaa tan r a 2 设在平面极坐标系下 曲线方程为 为极角 为极距 求曲线的相对曲率的表达 式 22 3 222 cos sin sincos cossin cos2sin sin2cos 2 r r r r 解 3 已知曲线的相对曲率为 2 1 1 r s s 其中为弧参 求此平面曲线的参数方程 s 2 0 2 0 2 0 22 00 00 00 1 0arctan 1 0cos arctanln 1 0sin arctan11 ln 1 11 s s s xy sdss s x sxs dsss y sys dss r ssss 解 不妨设 则 4 求第 1 题中各类曲线的曲率中心轨迹 1 椭圆 cos sin 02rat btt 2222 33 22 11 c sincos 1cossin r ty xbta atbt r tt r ttab ab 解 曲率中心轨迹为 os sint 2 双曲线 racht bsht 2222 2222 33 11 1 r ty xbcht a b ch ta sh t r abba r ttch tsh t ab 解 曲率中心轨迹为 sht 3 抛物线 2 rt t 2 32 11 2 1 4 11 4 3 2 r ty x t r r tttt 解 曲率中心轨迹为 1t 4 摆线 sin 1 cosra ttat 2 11 sin 22cos 1 sin 1 cos r ty xat a at r r tta ttat 解 曲率中心轨迹为 1 cost 5 悬链线 t rt ach a 2 11 1 12 2 2 r t ty xsh at r sh a att r tttshach aa 解 曲率中心轨迹为 1 6 曳物线 cos ln sectansin 0 2 raaa 1 cos sin cos 1 sec ln sectan r a aa r raa 解 曲率中心轨迹为 5 求下列曲线的渐伸线 1 圆周 222 xya 0 2 cos sin cos sin sin cos cossin sincos t r tat at s srtdtatt a ssss r saasr s aaaa sss r sr scssacsacs aaa s a 解 所求渐伸线方程为 2 悬链线 x yach a 0 2 t t r tt ach a t srtdtash a tt cashcash rtt aa r tr tcasht tt a chchrt aa 解 所求渐伸线方程为 3 摆线 sin 1 cosr tttt 0 2 1 cos sin 4cos 2 4cossinsin 3coscos 22 t rttt t srtdt rttt r tr tcttctc rt 2 t 解 所求渐伸线方程为 3 1 曲面的定义 222 222 222 222 222 222 1 1 coscos cossin sin 22 1 seccos secsin tan 22 xyz abc rabc xyz abc rabc xyz abc 写出椭球面 单叶双曲面 双叶双曲面 椭圆抛物面 双曲抛物面的参数方程 解 椭球面 其中 单叶双曲面 其中 双叶双曲面 22 22 2 22 22 1 tancos tansin sec 0 2 2 1 cos sin 2 2 2 rabc xy z ab r u vauv buvu xy z ab r u va uvb uvuv 其中 椭圆抛物面 双曲抛物面 222 22 222222 2 1N 0 0 1 0 01 0 221 1 111 2 3 xyzSu v uvuv xyz uvuvuv 在球面上 命 对于赤道平面上的任一点P 可作唯一的一条直线经过N P两点 它与球面有唯一的一个交点P 证点P 的坐标是 它给出了球面上去掉北极N的剩余部分的正则参数表示 求球面上去掉南极S的剩余部分的类似的参数表示 求上面两种参数表示在公共部分 22 222222 3 2 1 1 1 1211 1 0 NP NP u vu v txtu ytv zt uv xyztuvt u vtu tvt 所给出的参数变换 对于P 点 记对应的南极投影 北极投影 解 令则 P 在球面上 22 222222 221 2P 11 uvuv uvuvuv 1 由对称性 过点S P的直线与球面有唯一交点 22 222222 2222 3 1 11 221 2 11 u vu v xy uv zz uvu xyz uvuvuv uv uv uvuv 1 v 对于P 点 记对应的南极投影 北极投影 由知 由知 代入有 222 222 3 111 1 1 111 222 xyzxzxzyy abcacacbb xzy u acb xzy u acb yaacc vxuvuzuv buuu 把单叶双曲面 双曲抛物面写成直纹面形式的参数方程 解 单叶双曲面 即 一直母线为 令则 22 22 1 2 1111 0 2222 2 2 2 22 u u acac ruuvubu uuuu xyxyxy zz ababab xy c ab xy cz ab uavaubvb vz ucxy uu r 双曲抛物面 即 一直母线为 令则 0 1 22 uauba b v u u 3 1 23 4 121324 121324 4 14 OP 1OPOP1PPP P OPOPPPP P iiii t ix y z ttrt rt r 已知空间E 中四个点P的坐标过线段PP 与P P 上有相同分比的点 所作的直线构成一直纹面 写出此直纹面的参数方程 考察它是正则曲面片的条件 解 1324 121312241324 1PPP P 1PPPP PPP PPPP P0 t rrt 故正则只需 2 22 22 2 2 12 111 2 22 22 5 cos sin cossin 2cos0 2 cos 0 0 0 4 2 cos 2 cos sin 4 r r u vuv uv bvxaya uvauva uauvuuav c c r vbv a r vavavv bv ab 求正螺旋面与圆柱面的交线 及其曲率 挠率 解 将正螺旋面的参数表示代入圆柱面方程 得到或 代回正螺旋面的参数表示 交线分别是 2 22 2 4 b ab 3 2 切平面和法线 2 2 1 0 0 0 0 0 0 rcr dr drr r r drrc 证明 一个曲面是球面它的所有法线通过一个定点 证明 因是切向量 可知 是法向量 则法向量过点 移动坐标轴使所有法线过点 则 也是法向量 2 cos sin sin cos 0 cos sin cos sin cossin cossin uv uv r u vf vu f vu g v rf vu f vurfvu fvu g v rrf v g vu f v g vuf v fv xf vuyf vuzg v f v g vuf v g vu 证明 一个曲面是旋转面的充分必要条件是它的所有法线与一条固定的直线都相交 证明 设 法线的参数方程为 0 0 0 0 0 0 0 0 uv f v fv f v fv g vZ g v ZZh u v r u vx u vy u vz u vr u vh u vrr xyz xyzh uuu xyz xyzh vvv 显然在法线上 也在 轴上 即法线总与Z轴相交 不妨设曲面S的所有法线与 轴重合 法线与 轴的交点为曲面 的 方程为 则即 S 22 22 2222 2222 2 2 0 cos sin xy z zh uu xy z zh vv xyxy uv zz uv xyzf st xyf z Srf zf zzS 与 是函数相关的 故 函数 的方程可表示为即 为旋转面 3 X 0 X 0 0 0 uv r u vavl urvlurl u u vavl uvlu va rx y f x y 证明 一个曲面是锥面的充要条件是它的所有切平面都经过一个定点 证明 点处的切平面 取总有 在 上 不妨设定点为原点 曲面 则 1 0 0 1 0 10 010 xxyy xyxy x yx rfrf rr rr r r f 0 y ff x yxfyf xyf x y x f x yF y 依题意 与 共面 即 该曲面为锥面 222 222 000 000 4 1 xyz a b cabcc abc c bb a xyz xyzf ab 假定在方程中 为常数且为参数当 时 方程给出一族椭球圆 当时 方程给出一族单叶双曲面 当时 方程给出一族双叶双曲面 证明 过空间中不在各坐标轴上的任一点有且恰有分别属 于这三族曲面的三个二次曲面 且它们沿交线是彼此正交的 证明 对于空间中任一点令 123 222 111 222 222 22 3 1 0 0 0 0 1 2 3 1 1 i c c c bb a fcc bb affcfc fbfb fa cc bb afi xyz abc xyz abc xy ab 其中 分别在 上单增 且 故存在唯一确定的使得 这样就确定了三个二次曲面 椭球面 单叶双曲面 双叶双曲面 2 33 000 000 222 000 222222 000 1 1 2 3 1 0 i iii ij ijijij ijijijij z c xyz xyzni abc xyz n n aabbcc xxyyzz ij aabbcc 三个二次曲面在点处的法向量记为则 故它们沿交线是彼此正交的 5 cos sin 2 1 2 t uv uv rvu vu vcut ve cr r crr 设S是圆锥面 为S上一条曲线 方程为 将 的切向量用的线性组合表示出来 证明的切向量平分了 与 的夹角 12 2sin cos cos sin 1 22 cos cos 22 t uvuv uv uv uv uv u drdudv rtrrre r dtdtdt rvu vu vruu rtr trtr t rtr trtr t rtr trtr t rtr t 解 得证 4 v rtr t 3 3 曲面的第一基本形式 1 求下列曲面的第一基本形式 1 cos sin 2 cos sin ruv uvv ruv uvuava 其中 是常数 22 222 2 2222 22 1 cos sin 0 sin cos cossin1 0 2 u v uuvv rvv ruv uvv ErvvFr rGruV IEduFdudvGdvduuv dv 解 22 2 22 22 22 2 2 cos sin sin cos 1 2 1 2 u v uuvv rvvu ruv uv a EruFr rauGrua 22 IEduFdudvGdvu duau dudvuadv 2 设曲面的参数方程是 22 2222222 22 auavuva r uvauva uva 求它的第一基本形式 2222 222222222222 2222 222222222222 22 22 22222222 2 2222 2 44 42 4 44 0 4 u v uv auvaauva u r uvauvauva auva uvaa v r uvauvauva aa ErFGr uvauva a I uva 解 22 dudv 3 设在曲面上一点 由二次方程 22 20PduQdudvRdv 确定了两个切方向 证明 这两个正方向彼此正交的充分必要条件是 20ERFQGP 2 22 1212 1212 121212121212 1212 1212 2020 2 0 2 0 dudu PduQdudvRdvPQR dvdv d ud ud u d uQR d vd vPd v d vP d r d rd r d rEd ud uF d ud vd vd uGd vd v d u d ud ud u EFG d v d vd vd v RQ EFG PP ER 证明 两个切方向正交 20FQGP 4 求球面上与经线交成定角的轨线方程 22222222 0 0 2 0 222222222 coscos cossin sin cos 0 cos cos coscos raaa EaFGaIada d drra d drr aaa d 解 设球面 对于球面上的经线 常数 d 0 设所求曲线 方向向量 与经线 方向向量 d d 的夹角为定角 则 2 222 2 0 0 22 0 000 0 1 coscos tan cos 1 0 tan tanln sectan 2cos tanln sectan c rc 两边积分 得 5 已知曲面的第一基本形式为 2222 Iduuadv 求 1 曲线 的交角 12 0 CuvCuv 与0 2 曲线 22 123 22 aa Cuv Cuv Cv 1 所构成的曲边三角形的边长和各个内角 3 曲线和 所围成的曲边三角形的面积 uav uav 1v 222222 12 22 2222222 22 222222 1 0 1 0 0 0 cos 2 IduuadvEFGua uvdudvdudv uvuv C C drrdu uuadv v drr duuadvuuav dv vuadv v dvuadvvua 解 由得 对两边微分 得 对两边微分 得 设的交角为则 22 22 2 2222 2 2 1 0 0 cos 1 1 1 1 arccos 1 v adv va a advav a a 1 在交点处 交角为 123 2 0 0 1 1 22 aa C C COAB 的交点为 2 11 2242 00 7 44 26 7 6 adu OAuadvvvdva dv OBaABa 的弧长 的弧长 11122233 Cd uad vCd uad vCv0 在上 在上 在上 d 13 222224 2 113 2 1212 222222 1122 2 cos 3 1 4 22 arccos arccos 33 cos1 0 d ud uv A d uuad vd uv v ABA d ud ua d vd v O d ua d vd ua d v O 123 3 0 0 1 1 C C COAaBa 的交点为 1 22222 0 22 2 ln 33 a u a DD AEGF dudvua dudvua dudva 2 21 3 5 保长对应和保角对应 1 cos sin 02 cos sin 02 tt rachachtt aa rvu vu auuv 证明 在悬链面 与正螺旋面之间 存在保长对应 22222 2222 2222 tt Ichdta chd aa Ivadudv tt a chva uvashuII aa t uvash a 证明悬链面的第一基本形式为 正螺面的第一基本形式为 令则有从而可算得 因此 悬链面与正螺旋面之间有保长对应 2 cos sinsin ra conuv auv b uv 证明 曲面和一个旋转面能够建立 保长对应 2 22 2 22 2 coscos 2 cossin 2 22222 2 cos cossin 22 4 cos sin uvuvuvuvuv raab uvuv uvarvu vubu Ivb dudv rf vu f vu g v Ifv dufvgv dv 证明曲面可化为 令 则曲面又化为 2 设旋转面为则 令 222 2 2 2222 222222 2 cos 22 4 1 4 2 ln4 4cos 4sin 2 ln4 2 cos 22 uvuv uuvva fvvbfvgv f vvbg vbvvbII rvbuvbubvvb uvuv uva 则 只需满足 可取便有 因此曲面和旋转面 可建立保长对应 3 证明 平面到它自身的任意一个保长对应必定是平面上的一个刚体运动 或 与关于一条直线的反射的合成 22 22 0 0 T T r u vu vIdudv ru vu vIdudv uf u v vg u v fg dududu uu JIdudvdudv JJIdudv fgdvdvdv vv IIJJ 证明设 设 为两平面之间的一个保长对应 且记 由于故有1 1 1 J JJ 即 为正交矩阵 从而保长对应为平面上一刚体运动 当det时 或刚体运动与关于一条直线的反射的合成 当det时 4 cos sin rf uv f uv g u 试建立旋转面与平面的保角对应 2 2222 2 2 222 2 22 2 2 2 2 2222 22 0 2 0 u Ifugu dufu dv fugu fududv fu ru vIdudv fuguftgt dududvdvudt vv fuft Ifu I 解 旋转面的第一基本形式为 平面的第一基本形式为 令 可取 则有 故所求的保 2 2 2 0 u ftgt udt vv ft 角对应为 5 试建立第2题中的曲面与平面的保角对应 22 11 2222222 1111 22 22222 1 111 222 1 0 2 coscos 2 cossin 2 22222 22 4cos4 4sin sin 4cos4 cos ru vIdudv uvuvuvuvuv raab uvuv uv Iavb duav dv av avbdudv avb 解 设平面其第一基本形式为 曲面 令则曲面的第一基本形式为 22 2222 1 11 222 1 sin cos av dududvdv avb 令 2 2 1 11 2 ln coscos b uu vvv a 可取 222 1 2 2 2 4cos4 ln coscos 222 IavbI uvuvuvb uv a 则有 故所求的保长对应为 3 6 可展曲面 2 234 2 234 23 2 1 1 2 33 12 2 33 2 6 46 0 2cossin sincos 2 cos vu v ruuuv u u ruu uvuuvl u uuuuuul uul ulu ruuvvvuvv uv rv 证明 曲面是可展曲面 证明 证明 是可展曲面 它是哪一类可展 曲面 证明 sin sin cos 1 sin cos 1 0 3 2 0 2 0 0 0 2 v vuvvvvtl v vvvl v ul ulurvtvr ra uvb uvuv rau buv abuuvl u ua bluul ulu 且 即 为切线面 证明不是可展曲面 证明 40ab 2 12 0 r r ss r sr sts rsr sts r ssssssssss r sss 证明 挠率不为 的曲线的主法线和次法线分别生成的直纹面都不是可展曲面 证明 设曲线为弧参 主法线和次法线分别生成的直纹面为 0 0 sr ssss 得证 3 1 22 2 0 r s tr stssssa stl s arl a l l 对于挠率不为 的曲线 是否有单参数法线族构成可展曲面 若有 求出所有可能的 这种可展曲面 解 单参数法线生成的直纹面 则 若为可展曲面 则 2 0 2 1 0