2018中考数学动点问题专题.pdf

中考动点专题中考动点专题 所谓 动点型问题 是指题设图形中存在一个或多个动点所谓 动点型问题 是指题设图形中存在一个或多个动点 它们在线段 它们在线段 射线或弧线上运动的一类开放性题目射线或弧线上运动的一类开放性题目 解决这类问题的关键是动中求静解决这类问题的关键是动中求静 灵活灵活 运用有关数学知识解决问题运用有关数学知识解决问题 关键关键 动中求静动中求静 数学思想 分类思想数学思想 分类思想 函数思想函数思想 方程思想方程思想 数形结合思想数形结合思想 转化思想转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查 从变换的角度和运动变化来研究三角形 四边形 函数图像等图形 通过 对称 动点动点的运动 等研究手段和方法 来探索与发现图形性质及图形变化 在解题过程中渗透空间观念和合情推理 选择基本的几何图形 让学生经历探 索的过程 以能力立意 考查学生的自主探究能力 促进培养学生解决问题的 能力 图形在动点动点的运动过程中观察图形的变化情况 需要理解图形在不同位 置的情况 才能做好计算推理的过程 在变化中找到不变的性质是解决数学 动动 点点 探究题的基本思路 这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质 二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合 动态几何 动 手操作 实验探究等方向发展 这些压轴题题型繁多 题意创新 目的是考察 学生的分析问题 解决问题的能力 内容包括空间观念 应用意识 推理能力 等 从数学思想的层面上讲 1 运动观点 2 方程思想 3 数形结合 思想 4 分类思想 5 转化思想等 研究历年来各区的压轴性试题 就 能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向 它有利于我们教师在教 学中研究对策 把握方向 只的这样 才能更好的培养学生解题素养 在素质 教育的背景下更明确地体现课程标准的导向 本文拟就压轴题的题型背景和区 分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点 专题一 建立动点问题的函数解析式专题一 建立动点问题的函数解析式 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律 是初中数学的重要内容 动点问题反映的是一种函数思想 由于某一个点或某图形的有条件地运动变化 引起未知量与已知量间的一种变化关系 这种变化关系就是动点问题中的函数 关系 那么 我们怎样建立这种函数解析式呢 下面结合中考试题举例分析 一 应用勾股定理建立函数解析式一 应用勾股定理建立函数解析式 例 1 2000 年 上海 如图 1 在半径为 6 圆心角为 90 的扇形 OAB 的弧 AB 上 有一个动点 P PH OA 垂足为 H OPH 的重心为 G 1 当点 P 在弧 AB 上运动时 线段 GO GP GH 中 有无长度保持不变的线段 如果有 请指出这样的线段 并求出相应的长度 2 设 PHx GPy 求y关于x的函数解析式 并写出函数的定义域 即自变 量x的取值范围 3 如果 PGH 是等腰三角形 试求出线段 PH 的长 解 1 当点 P 在弧 AB 上运动时 OP 保持不变 于是 线段 GO GP GH 中 有长度保持不变的线段 这条 线段是 GH 3 2 NH 2 1 3 2 OP 2 2 在Rt POH中 222 36xPHOPOH 2 36 2 1 2 1 xOHMH 在 Rt MPH 中 22222 336 2 1 4 1 9xxxMHPHMP H M N G P O A B 图 1 x y y GP 3 2 MP 2 336 3 1 x 0 x 6 3 PGH 是等腰三角形有三种可能情况 GP PH 时 xx 2 336 3 1 解得6 x 经检验 6 x是原方程的根 且 符合题意 GP GH 时 2336 3 1 2 x 解得0 x 经检验 0 x是原方程的根 但 不符合题意 PH GH 时 2 x 综上所述 如果 PGH 是等腰三角形 那么线段 PH 的长为6或 2 二 应二 应用比例式建立函数解析式用比例式建立函数解析式 例 2 2006 年 山东 如图 2 在 ABC 中 AB AC 1 点 D E 在直线 BC 上运 动 设 BD xCE y 1 如果 BAC 30 DAE 105 试确定y与x之间的函数解析式 2 如果 BAC 的度数为 DAE 的度数为 当 满足怎样的关系式 时 1 中y与x之间的函数解析式还成立 试说明理由 解 1 在 ABC 中 AB AC BAC 30 ABC ACB 75 ABD ACE 105 BAC 30 DAE 105 DAB CAE 75 又 DAB ADB ABC 75 CAE ADB ADB EAC AC BD CE AB 1 1x y x y 1 A E D C B 图 2 2 由于 DAB CAE 又 DAB ADB ABC 2 90 且函数关系式成立 2 90 整理得 2 90 当 2 90时 函数解析式 x y 1 成立 例 3 2005 年 上海 如图 3 1 在 ABC 中 ABC 90 AB 4 BC 3 点 O 是边 AC 上的一个动点 以 点 O 为圆心作半圆 与边 AB 相切于点 D 交线段 OC 于点 E 作 EP ED 交射线 AB 于点 P 交射线 CB 于点 F 1 求证 ADE AEP 2 设 OA x AP y 求y关于x的函数解析式 并 写出它的定义域 3 当 BF 1 时 求线段 AP 的长 解 1 连结 OD 根据题意 得 OD AB ODA 90 ODA DEP 又由 OD OE 得 ODE OED ADE AEP ADE AEP 2 ABC 90 AB 4 BC 3 AC 5 ABC ADO 90 OD BC 53 xOD 54 xAD OD x 5 3 AD x 5 4 AE xx 5 3 x 5 8 ADE AEP AE AD AP AE x x y x 5 8 5 4 5 8 xy 5 16 8 25 0 x 3 当 BF 1 时 若 EP 交线段 CB 的延长线于点 F 如图 3 1 则 CF 4 P D E A C B 3 2 O F O F P D E A C B 3 1 ADE AEP PDE PEC FBP DEP 90 FPB DPE F PDE F FEC CF CE 5 x 5 8 4 得 8 5 x 可求得2 y 即 AP 2 若 EP 交线段 CB 于点 F 如图 3 2 则 CF 2 类似 可得 CF CE 5 x 5 8 2 得 8 15 x 可求得6 y 即 AP 6 综上所述 当 BF 1 时 线段 AP 的长为 2 或 6 三 应用求图形面积的方法建立函数关系式三 应用求图形面积的方法建立函数关系式 例 4 2004 年 上海 如图 在 ABC 中 BAC 90 AB AC 22 A 的半 径为 1 若点 O 在 BC 边上运动 与点 B C 不重合 设 BO x AOC 的面积为y 1 求y关于x的函数解析式 并写出函数的定义域 2 以点 O 为圆心 BO 长为半径作圆 O 求当 O 与 A 相切时 AOC 的面积 解 1 过点 A 作 AH BC 垂足为 H BAC 90 AB AC 22 BC 4 AH 2 1 BC 2 OC 4 x AHOCS AOC 2 1 4 xy 40 x 2 当 O 与 A 外切时 在 Rt AOH 中 OA 1 x OH x 2 222 2 2 1 xx 解得 6 7 x 此时 AOC 的面积y 6 17 6 7 4 当 O 与 A 内切时 在 Rt AOH 中 OA 1 x OH 2 x 222 2 2 1 xx 解得 2 7 x A B C O 图 8 H F A B C E D 此时 AOC 的面积y 2 1 2 7 4 综上所述 当 O 与 A 相切时 AOC 的面积为 6 17 或 2 1 专题二 动态几何型压轴题专题二 动态几何型压轴题 动态几何特点 问题背景是特殊图形 考查问题也是特殊图形 所以要 把握好一般与特殊的关系 分析过程中 特别要关注图形的特性 特殊角 特 殊图形的性质 图形的特殊位置 动点问题一直是中考热点 近几年考查探 究运动中的特殊性 等腰三角形 直角三角形 相似三角形 平行四边形 梯 形 特殊角或其三角函数 线段或面积的最值 下面就此问题的常见题型作简 单介绍 解题方法 关键给以点拨 一 以动态几何为主线的压轴题一 以动态几何为主线的压轴题 一 点动问题 一 点动问题 1 0909 年徐汇区 年徐汇区 如图 ABC 中 10 ACAB 12 BC 点D在边BC上 且4 BD 以点D为顶点作BEDF 分别交边AB于点E 交射线CA于 点F 1 当6 AE时 求AF的长 2 当以点C为圆心CF长为半径的 C和以点A为圆心AE长为半径的 A相 切 时 求BE的长 3 当以边AC为直径的 O与线段DE相切 时 求BE的长 题型背景和区分度测量点题型背景和区分度测量点 本题改编自新教材九上 相似形 24 5 4 例六 典型的一线三角 三等角 问题 试题在原题的基础上改编出第一小题 当 E 点在 AB 边上运动时 渗透入圆 与圆的位置关系 相切问题 的存在性的研究形成了第二小题 加入直线与圆的 位置关系 相切问题 的存在性的研究形成了第三小题 区分度测量点在直线与 圆的位置关系和圆与圆的位置关系 从而利用方程思想来求解 区分度性小题处理手法区分度性小题处理手法 1 直线与圆的相切的存在性的处理方法 利用 d r 建立方程 2 圆与圆的位置关系的存在性 相切问题 的处理方法 利用 d R r rR 建立方程 3 解题的关键是用含x的代数式表示出相关的线段 略解略解 解 1 证明CDF EBD BE CD BD CF 代入数据得8 CF AF 2 2 设 BE x 则 10 ACd 10 xAE 利用 1 的方法 x CF 32 相切时分外切和内切两种情况考虑 外切 x x 32 1010 24 x 内切 x x 32 1010 17210 x 100 x 当 C和 A相切时 BE的长为24或17210 3 当以边AC为直径的 O与线段DE相切时 3 20 BE 类题类题 一个动点 09 杨浦 25 题 四月 五月 09 静安 25 题 两个动点 09 闸北 25 题 09 松江 25 题 09 卢湾 25 题 09 青浦 25 题 二 线动问题 二 线动问题 A B C D E O l A A B C D E O l F 在矩形 ABCD 中 AB 3 点 O 在对角线 AC 上 直线l过点 O 且与 AC 垂直 交 AD 于点 E 1 若直线l过点 B 把 ABE 沿直线l翻折 点 A 与矩形 ABCD 的对称中心 A 重合 求 BC 的长 2 若直线l与 AB 相交于点 F 且 AO 4 1 AC 设 AD 的 长为x 五边形 BCDEF 的面积为 S 求 S 关于x的函 数关系式 并指出x的取值范围 探索 是否存在这样的x 以 A 为圆心 以 x 4 3 长 为半径的圆与直线l相切 若存在 请求出x的值 若不存在 请说明理由 题型背景和区分度测量点题型背景和区分度测量点 本题以矩形为背景 结合轴对称 相似 三角等相关 知识编制得到 第一小题考核了学生轴对称 矩形 勾 股定理三小块知识内容 当直线l沿 AB 边向上平移时 探求面积函数解析式为区分测量点一 加入直线与圆的 位置关系 相切问题 的存在性的研究形成了区分度测量 点二 区分度性小题处理手法区分度性小题处理手法 1 找面积关系的函数解析式 规则图形套用公式或用割补法 不规则图形 用割补法 2 直线与圆的相切的存在性的处理方法 利用 d r 建立方程 3 解题的关键是用含x的代数式表示出相关的线段 略解略解 1 A 是矩形 ABCD 的对称中心 A B AA 2 1 AC AB A B AB 3 AC 6 33 BC 2 9 2 xAC 9 4 1 2 xAO 9 12 1 2 xAF x x AE 4 9 2 AF 2 1 AES AEF x x 96 9 22 x x xS 96 9 3 22 x xx S 96 81270 24 333 x 若圆 A 与直线 l 相切 则9 4 1 4 3 2 xx 0 1 x 舍去 5 8 2 x 3 5 8 2 x 不存在这样的x 使圆 A 与直线 l 相切 类题类题 09 虹口 25 题 三 面动问题 三 面动问题 如图 在ABC 中 6 5 BCACAB D E分别是边AB AC上的两个动点 D不与A B重合 且保持BCDE 以DE为边 在点A的异侧作正方形DEFG 1 试求ABC 的面积 2 当边FG与BC重合时 求正方形DEFG的边长 3 设xAD ABC 与正方形DEFG重叠部分的面积为y 试求y关于x的 函数关系式 并写出定义域 4 当BDG 是等腰三角形时 请直接写出AD的长 题型题型背景和区分度测量点背景和区分度测量点 本题改编自新教材九上 相似形 24 5 4 例七 典型的共角相似三角形问 题 试题为了形成坡度 在原题的基础上改编出求等腰三角形面积的第一小题 当 D 点在 AB 边上运动时 正方形DEFG整体动起来 GF 边落在 BC 边上时 恰 FG E C A B D 好和教材中的例题对应 可以说是相似三角形对应的小高比大高 对应的小边比 大边 探寻正方形和三角形的重叠部分的面积与线段 AD 的关系的函数解析式形 成了第三小题 仍然属于面积类习题来设置区分测量点一 用等腰三角形的存 在性来设置区分测量点二 区分度性小题处理手法区分度性小题处理手法 图3 5 图3 4 图3 3图3 2图3 1 K FG E K FG E FG E U K FG E FG E C A A C A C A C A C B D B D B D B D B D 1 找到三角形与正方形的重叠部分是解决本题的关键 如上图 3 1 3 2 重叠部分分别为正方形和矩形包括两种情况 2 正确的抓住等腰三角形的腰与底的分类 如上图 3 3 3 4 3 5 用方程 思想解决 3 解题的关键是用含x的代数式表示出相关的线段 略解略解 解 1 12 ABC S 2 令此时正方形的边长为a 则 4 4 6 aa 解得 5 12 a 3 当20 x 时 2 2 25 36 5 6 xxy 当52 x时 2 25 24 5 24 5 5 4 5 6 xxxxy 4 7 20 11 25 73 125 AD 类题类题 改编自 09 奉贤 3 月考 25 题 将条件 2 当点M N分别在边BA CA上时 去掉 同时加到第 3 题中 已知 在 ABC中 AB AC B 30 BC 6 点D在边BC上 点E在线段DC上 DE 3 DEF是等边三角形 边DF EF与边BA CA 分别相交于点M N 1 求证 BDM CEN 2 设BD x ABC与 DEF重叠部分的面积为y 求y关于x的函数解 析式 并写出定义域 3 当点M N分别在边BA CA上时 是否存在点D 使以M为圆心 BM为半 径的圆与直线EF相切 如果存在 请求出x的值 如不存在 请说明 理由 例 1 已知 O 的弦 AB 的长等于 O 的半径 点 C 在 O 上变化 不与 A B 重合 求 ACB 的大小 分析 点 C 的变化是否影响 ACB 的大小的变化呢 我们不妨将点 C 改变一 下 如何变化呢 可能在优弧AB上 也可能在劣弧AB上变化 显然这两者的结 果不一样 那么 当点C在优弧AB上变化时 ACB所对的弧是劣弧AB 它的 大小为劣弧 AB 的一半 因此很自然地想到它的圆心角 连结 AO BO 则由于 AB OA OB 即三角形 ABC 为等边三角形 则 AOB 600 则由同弧所对的圆心 角与圆周角的关系得出 ACB 2 1 AOB 300 当点 C 在劣弧 AB 上变化时 ACB 所对的弧是优弧 AB 它的大小为优弧AB的一半 由 AOB 600得 优弧AB 的度数为 3600 600 3000 则由同弧所对的圆心角与圆周 角的关系得出 ACB 1500 A B F D E M N C O B A C 因此 本题的答案有两个 分别为 300 或 1500 反思反思 本题通过点 C 在圆上运动的不确定性而引起结果 的不唯一性 从而需要分类讨论 这样由点 C 的运动变化 性而引起的分类讨论在解题中经常出现 变式变式 1 1 已知 ABC 是半径为 2 的圆内接三角形 若 32 AB 求 C 的大小 本题与例 1 的区别只是 AB 与圆的半径的关系发生了一些变化 其解题方法与上 面一致 在三角形AOB中 2 3 2 1 2 1 sin OB AB AOB 则 0 60 2 1 AOB 即 0 120 AOB 从而当点 C 在优弧 AB 上变化时 C 所对的弧是劣弧 AB 它的大小为劣弧 AB 的一半 即 0 60 C 当点C在劣弧AB上变化时 C所对的弧是优弧AB 它的大小为优弧 AB 的一半 由 AOB 1200 得 优弧 AB 的度数为 3600 1200 2400 则由同弧所对的圆心角与圆 周角的关系得出 C 1200 因此 0 60 C 或 C 1200 变式变式 2 2 如图 半经为 1 的半圆 O 上有两个动点 A B 若 AB 1 判断 AOB 的大小是否会随点 A B 的变化而变化 若变 化 求出变化范围 若不变化 求出它的值 四边形 ABCD 的面积的最大值 解 1 由于 AB OA OB 所以三角形 AOB 为等边三角形 则 AOB 600 O B A C HG F E OD C B A A B C DO 即 AOB 的大小不会随点 A B 的变化而变化 2 四边形 ABCD 的面积由三个三角形组成 其中三角形 AOB 的面积为 4 3 而 三角 形 AOD 与三角形 BOC 的面积之和为 2 1 2 1 2 1 BGAFBGOCAFOD 又由梯形 的中位线定理得三角形 AOD 与三角形 BOC 的面积之和 EHBGAF 2 1 要四边 形 ABCD 的面积最大 只需 EH 最大 显然 EH OE 2 3 当 AB CD 时 EH OE 因 此 四边形 ABCD 的面积最大值为 4 3 2 3 4 33 对于本题同学们还可以继续思考 四边形 ABCD 的周长 的变化范围 变式变式 3 3 如图 有一块半圆形的木板 现要把它截成三 角形板块 三角形的两个顶点分 别为 A B 另一个顶点 C 在半圆上 问怎样截取才能 使截出的三角形的面积最大 要求说明理由 广州市 2000 年考题 分析 要使三角形 ABC 的面积最大 而三角形 ABC 的底边 AB 为圆的直径为 常量 只需 AB 边上的高最大即可 过点 C 作 CD AB 于 点 D 连结 CO 由于 CD CO 当 O 与 D 重合 CD CO 因此 当 CO 与 AB 垂直时 即 C 为半圆弧 O C BA DAB C O 的中点时 其三角形 ABC 的面积最大 本题也可以先猜想 点 C 为半圆弧的中点时 三角形 ABC 的面积最大 故只需 另选一个位置 C1 不与 C 重合 证明三角形 ABC 的面积大于三角形 ABC1 的面积即可 如图 显然三角形 ABC1 的面积 2 1 AB C1D 而 C1D C1O CO 则三角形 ABC1 的面积 2 1 AB C1D 2 1 AB C1O 三角形 ABC 的面积 因此 对于除点 C 外的任意点 C1 都 有三角形 ABC1 的面积小于三角形三角形 ABC 的面积 故点 C 为半圆中点时 三 角形 ABC 面积最大 本题还可研究三角形 ABC 的周长何时最大的问题 提示 提示 利用周长与面积之间的关系 要三角形 ABC 的周 长最大 AB 为常数 只需 AC BC 最大 而 AC BC 2 AC2 CB2 2AC BC AB2 4 ABC 的面积 因此 ABC 的面积最大时 AC BC 最大 从而 ABC 的周长最大 从以上一道题及其三个变式的研究我们不难发现 解决动态几何问题的常见方 法有 一 一 特殊探路 一般推证特殊探路 一般推证 例 2 2004 年广州市中考题第 11 题 如图 O1 和 O2 内切于 A O1 的半径为 3 O2 的半径为 2 点 P 为 O1 上的任一点 与点 A 不重合 直线 PA 交 O2 于点 C PB 切 O2 于点 B 则PC BP 的值为 A 2 B 3 C 2 3 C DAB C1 O C O1 O2 P B A D 2 6 分析 本题是一道选择题 给出四个答案有且只有一个是正确的 因此可以取 一个特殊位置进行研究 当点 P 满足 PB AB 时 可以通过计算得出 PB 2213 22 BC AP BP AB 因此 BC 6 24 62 28 816 28 22 BPAB BPAB 在三角形 BPC 中 PC 3 62 22 BCBP 所以 PC BP 3 选 B 当然 本题还可以根据三角形相似得 BP AP PC BP 即可计算出结论 作为一道选择题 到此已经完成 但如果是一道解答题 我们得出的结论只是 一个特殊情况 还要进一步证明对一般情况也成立 例 3 如图 在等腰直角三角形 ABC 中 斜边 BC 4 OA BC 于 O 点 E 和点 F 分 别在边 AB AC 上滑动并保持 AE CF 但点 F 不与 A C 重合 点 E 不与 B A 重合 判断 OEF 的形状 并加以证明 判断四边形 AEOF 的面积是否随点 E F 的变化而变 化 若变化 求其变化范围 若不变化 求它的值 AEF 的面积是否随着点 E F 的变化而变化 若变化 求其变化范围 若不 变化 求它的值 C O1O2 P B A F E O C B A 分析 本题结论很难发现 先从特殊情况入手 最特殊 情况为E F分别为AB AC中点 显然有 EOF为等腰直 角三角形 还可发现当点 E 与 A 无限接近时 点F 与点C 无限接近 此时 EOF 无限接近 AOC 而 AOC 为等腰 直角三角形 几种特殊情况都可以得出 EOF 为等腰直 角三角形 一般情况下成立吗 OE与OF相等吗 EOF为直角吗 能否证明 如果它们成立 便可以推出三角形 OFC 与三角形 OEA 全等 一般情况下这两个 三角形全等吗 不难从题目的条件可得 OA OC OCF OAE 而 AE CF 则 OEA OFC 则 OE OF 且 FOC EOA 所以 EOF EOA AOF FOC FOA 900 则 EOF 为直角 故 EOF 为等腰直角三角形 二 二 动手实践 操作确认动手实践 操作确认 例 4 2003 年广州市中考试题 在 O 中 C 为弧 AB 的中点 D 为弧 AC 上 任一点 与 A C 不重合 则 A AC CB AD DB B AC CBAD DB D AC CB 与 AD DB 的大小关系不确定 分析 本题可以通过动手操作一下 度量 AC CB AD DB 的长度 可以尝 试换几个位置量一量 得出结论 C 例 5 如图 过两同心圆的小圆上任一点 C 分别作小圆的直径 CA 和非直 径的弦 CD 延长 CA 和 CD 与大圆分别交于点 B E 则下列结论中正确的是 A ABDE B ABDE C ABDE D ABDE 的大小不确定 分析 本题可以通过度量的方法进行 选 B D C B A E D C B A O 本题也可以可以证明得出结论 连结 DO EO 则在三角形 OED 中 由于 两边之差小于第三边 则 OE OD DE 即 OB OA3 动点 M N 同时从 B 点出发 分别沿 B A B C 运动 速度是 1 厘米 秒 过 M 作直线垂直于 AB 分别交 AN CD 于 P Q 当点 N 到达终点 C 时 点 M 也随之停 止运动 设运动时间为 t 秒 1 若 a 4 厘米 t 1 秒 则 PM 厘米 2 若 a 5 厘米 求时间 t 使 PNB PAD 并求出它们的相似比 3 若在运动过程中 存在某时刻使梯形 PMBN 与梯形 PQDA 的面积相等 求 a 的取值范围 4 是否存在这样的矩形 在运动过程中 存在某时刻使梯形 PMBN 梯形 PQDA 梯形 PQCN 的面积都相等 若存在 求 a 的值 若不存在 请说明理由 评析 本题是以双动点为载体 矩形为背景创设的存在性问题 试题由浅入 深 层层递进 将几何与代数知识完美的综合为一题 侧重对相似和梯形面积 等知识点的考查 本题的难点主要是题 3 解决此题的关键是运用相似三角形 的性质用 t 的代数式表示 PM 进而利用梯形面积相等列等式求出 t 与 a 的函数 关系式 再利用 t 的范围确定的 a 取值范围 第 4 小题是题 3 结论的拓展应 用 在解决此问题的过程中 要有全局观念以及对问题的整体把握 4 以双动点为载体 探求函数最值问题 例 4 2007 年吉林省 如图 9 在边长为 82cm 的正方形 ABCD 中 E F 是对 角线 AC 上的两个动点 它们分别从点 A C 同时出发 沿对角线以 1cm s 的相 同速度运动 过 E 作 EH 垂直 AC 交 Rt ACD 的直角边于 H 过 F 作 FG 垂直 AC 交 Rt ACD 的直角边于 G 连结 HG EB 设 HE EF FG GH 围成的图形面积为 AE EB BA 围成的图形面积为这里规定 线段的面积为 0 E 到达 C F 到达 A 停止 若 E 的运动时间为 x s 解答下列问题 1 当 0 X 2 若 y 是与的和 求 y 与 x 之间的函数关系式 图 10 为 备用图 求 y 的最大值 解 1 以 E F G H 为顶点的四边形是矩形 因为正方形 ABCD 的边长为 82 所以 AC 16 过 B 作 BO AC 于 O 则 OB 89 因为 AE x 所以 因为HE AE x EF 16 2x 所以 2x 当时 4x x 16 2x 解得 x1 0 舍去 x2 6 所以当 x 6 时 2 当 0 x 8 时 y x 16 2x 4x 2x2 20 x 当 8 x 16 时 AE x CE HE 16 x EF 16 2 16 x 2x 16 所以 x 2x 16 所以 y 16 x 2x 16 4x 2x2 52x 256 当 0 x 8 时 y 2x2 20 x 2 x 5 2 50 所以当 x 5 时 y 的最大值为 50 当 8 x 16 时 y 2x2 52x 256 2 x 13 2 82 所以当 x 13 时 y 的最大值为 82 综上可得 y 的最大值为 82 评析 本题是以双动点为载体 正方形为背景创设的函数最值问题 要求学 生认真读题 领会题意 画出不同情况下的图形 根据图形建立时间变量与其 它相关变量的关系式 进而构建面积的函数表达式 本题在知识点上侧重对二 次函数最值问题的考查 要求学生有扎实的基础知识 灵活的解题方法 良好 的思维品质 在解题思想上着重对数形结合思想 分类讨论思想 数学建模等 思想的灵活运用 专题四 函数专题四 函数中因动点产生的相似三角形问题中因动点产生的相似三角形问题 例题例题 如图 1 已知抛物线的顶点为 A 2 1 且经过原点 O 与 x 轴的 另一个交点为 B 求抛物线的解析式 用顶点式求得抛物线的解析式为 xx 4 1 y 2 若点 C 在抛物线的对称轴上 点 D 在抛物线上 且以 O C D B 四点为 顶点的四边形为平行四边形 求 D 点的坐标 连接 OA AB 如图 2 在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 P 使得 OBP 与 OAB 相似 若存在 求出 P 点的坐标 若不存在 说明理由 例 1 题图 图 1 O A B y x O A B y x 图 2 分析 1 当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线 为四边形的边和对角 线来考虑问题以 O C D B 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论 按 OB 为边和对角线两种情况 2 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 求相似三角形的第三个顶点时 先要分析已知三角形的边 和角 的特 点 进而得出已知三角形是否为特殊三角形 根据未知三角形中已知边与已知 三角形的可能对应边分类讨论 或利用已知三角形中对应角 在未知三角形中利用勾股定理 三角函 数 对称 旋转等知识来推导边的大小 若两个三角形的各边均未给出 则应先设所求点的坐标进而用函数解 析式来表示各边的长度 之后利用相似来列方程求解 练习练习 1 1 已知抛物线 2 yaxbxc 经过 5 3 33 0 2 PE 及原点 0 0 O 1 求抛物线的解析式 由一般式 得抛物线的解析式为 2 25 3 33 yxx 2 过P点作平行于x轴的直线PC交y轴于C点 在抛物线对称轴右侧且 位于直线PC下方的抛物线上 任取一点Q 过点Q作直线QA平行于y轴交x轴 y x E Q P C B O A 于A点 交直线PC于B点 直线QA与直线PC及两坐标轴围成矩形OABC 是否 存在点Q 使得OPC 与PQB 相似 若存在 求出Q点的坐标 若不存在 说 明理由 3 如果符合 2 中的Q点在x轴的上方 连结OQ 矩形OABC内的四个 为什三角形OPCPQBOQPOQA 之间存在怎样的关系 么 练习练习 2 2 如图 四边形 OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片 点 A 在 x轴上 点 C 在y轴上 将边 BC 折叠 使点 B 落在边 OA 的点 D 处 已知折叠 5 5CE 且 3 tan 4 EDA 1 判断OCD 与ADE 是否相似 请说明理由 2 求直线 CE 与x轴交点 P 的坐标 3 是否存在过点 D 的直线l 使直线l 直线 CE 与x轴所围成的三角形 和直线l 直线 CE 与y轴所围成的三角形相似 如果存在 请直接写出其解析 式并画出相应的直线 如果不存在 请说明理由 练习练习 3 3 在平面直角坐标系xOy中 已知二次函数 2 0 yaxbxc a 的图象与x轴交于AB 两点 点A 在点B的左边 与y轴交于点C 其顶点的横坐标 O x y 练习 2 图 C B E D A 为 1 且过点 2 3 和 312 1 求此二次函数的表达式 由一般式 得抛物线的解析式为 2 23yxx 2 若直线 0 l ykx k 与线段BC交于点D 不与点BC 重合 则是否 存在这样的直线l 使得以BOD 为顶点的三角形与BAC 相似 若存在 求 出 该 直 线 的 函 数 表 达 式 及 点D的 坐 标 若 不 存 在 请 说 明 理 由 10 30 03 ABC 3 若点P是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点 试比较锐角PCO 与ACO 的大小 不必证明 并写出此时点P的横坐标 p x的 取值范围 练习练习 4 4 2008 广东湛江市 如图所示 已知抛物线 2 1yx 与x轴交于A B两 点 与y轴交于点C O y C l x B A 1x 练习 3 图 o C B A x 练习 4 图 P y 1 求A B C三点的坐标 2 过点A作AP CB交抛物线于点P 求四边形ACBP的面积 3 在x轴上方的抛物线上是否存在一点M 过M作MG x轴于点G 使以A M G三点为顶点的三角形与 PCA相似 若存在 请求出M点的坐标 否则 请说明理由 练习练习 5 5 已知 如图 在平面直角坐标系中 ABC 是直角三角形 90ACB 点AC 的坐标分别为 30 A 10 C 3 tan 4 BAC 1 求过点AB 的直线的函数表达式 点 30 A 10 C B 13 39 44 yx 2 在x轴上找一点D 连接DB 使得ADB 与 ABC 相似 不包括全等 并求点D的坐标 3 在 2 的条件下 如PQ 分别是AB和AD上 的动点 连接PQ 设APDQm 问是否存在这样的 m使得APQ 与ADB 相似 如存在 请求出m的值 如不存在 请说明理由 参考参考答案答案 例例题题 解 由题意可设抛物线的解析式为1 2x ay 2 抛物线过原点 1 20 a0 2 4 1 a 抛物线的解析式为1 2x 4 1 y 2 即xx 4 1 y 2 A C O B x y C O A B D y x 图 1 如图 1 当 OB 为边即四边形 OCDB 是平行四边形时 CD OB 由1 2x 4 1 0 2 得4x 0 x 21 B 4 0 OB 4 D 点的横坐标为 6 将 x 6 代入1 2x 4 1 y 2 得 y 3 D 6 3 根据抛物线的对称性可知 在对称轴的左侧抛 物线上存在点 D 使得四边形 ODCB 是平行四边 形 此时 D 点的坐标为 2 3 当 OB 为对角线即四边形 OCBD 是平行四边形 时 D 点即为 A 点 此时 D 点的坐标为 2 1 如图 2 由抛物线的对称性可知 AO AB AOB ABO 若 BOP 与 AOB 相似 必须有 POB BOA BPO 设 OP 交抛物线的对称轴于 A 点 显然 A 2 1 直线 OP 的解析式为x 2 1 y 由xx 4 1 x 2 1 2 得6x 0 x 21 P 6 3 过 P 作 PE x 轴 在 Rt BEP 中 BE 2 PE 3 PB 13 4 PB OB BOP BPO PBO 与 BAO 不相似 E A O A B P y x 图 2 同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的 P 点 所以在该抛物线上不存在点 P 使得 BOP 与 AOB 相似 练习练习 1 1 解 1 由已知可得 333 755 3 0 42 0 ab ab c 解之得 25 3 0 33 abc 因而得 抛物线的解析式为 2 25 3 33 yxx 2 存在 设Q点的坐标为 mn 则 2 25 3 33 nmm 要使 BQPB OCPPBQ CPOC 则有 33 33 nm 即 2 25 3 3 3 33 33 mm m 解之得 12 2 32mm 当 1 2 3m 时 2n 即为Q点 所以得 2 32 Q 要使 BQPB OCPQBP OCCP 则有 33 33 nm 即 2 25 3 3 3 33 33 mm m 解之得 12 3 33mm 当3m 时 即为P点 当 1 3 3m 时 3n 所以得 3 33 Q 故存在两个Q点使得OCP 与PBQ 相似 Q点的坐标为 2 32 3 33 3 在RtOCP 中 因为 3 tan 3 CP COP OC 所以30COP 当Q点的坐标为 2 3 2 时 30BPQCOP O x y 图 1 C B E D 3 1 2 A 所以90OPQOCPBQAO 因此 OPCPQBOPQOAQ 都是直角三角形 又在RtOAQ 中 因为 3 tan 3 QA QOA AO 所以30QOA 即有30POQQOAQPBCOP 所以OPCPQBOQPOQA 又因为QPOPQAOA 30POQAOQ 所以OQAOQP 练习练习 2 2 解 1 OCD 与ADE 相似 理由如下 由折叠知 90CDEB 1290 139023 又90CODDAE OCDADE 2 3 tan 4 AE EDA AD 设 AE 3t 则 AD 4t 由勾股定理得 DE 5t 358OCABAEEBAEDEttt 图 2 O x y C B E D P M G l N A F 由 1 OCDADE 得 OCCD ADDE 8 45 tCD tt 10CDt 在DCE 中 222 CDDECE 222 10 5 5 5 tt 解得 t 1 OC 8 AE 3 点 C 的坐标为 0 8 点 E 的坐标为 10 3 设直线 CE 的解析式为y kx b 103 8 kb b 解得 1 2 8 k b 1 8 2 yx 则点 P 的坐标为 16 0 3 满足条件的直线l有 2 条 y 2x 12 y 2x 12 如图 2 准确画出两条直线 练习练习 3 3 解 1 二次函数图象顶点的横坐标为 1 且过点 2 3 和 312 由 1 2 423 93212 b a abc ab 解得 1 2 3 a b c 此二次函数的表达式为 2 23yxx 2 假设存在直线 0 l ykx k 与线段BC交于点D 不与点BC 重合 使 得以BOD 为顶点的三角形与BAC 相似 在 2 23yxx 中 令0y 则由 2 230 xx 解得 12 13xx 10 30 AB 令0 x 得3y 03 C 设过点O的直线l交BC于点D 过点D作DEx 轴于点E 点B的坐标为 30 点C的坐标为 0 3 点A的坐标为 10 4345 ABOBOCOBC 22 333 2BC 要使BODBAC 或BDOBAC 已有BB 则只需 BDBO BCBA 或 BOBD BCBA 成立 若是 则有 3 3 29 2 44 BO BC BD BA 而45OBCBEDE 在RtBDE 中 由勾股定理 得 2 22229 2 2 4 BEDEBEBD y x B E A O C D 1x l 解得 9 4 BEDE 负值舍去 93 3 44 OEOBBE 点D的坐标为 3 9 4 4 将点D的坐标代入 0 ykx k 中 求得3k 满足条件的直线l的函数表达式为3yx 或求出直线AC的函数表达式为33yx 则与直线AC平行的直线l的函数表 达式为3yx 此时易知BODBAC 再求出直线BC的函数表达式为 3yx 联立33yxyx 求得点D的坐标为 3 9 4 4 若是 则有 3 4 2 2 3 2 BO BA BD BC 而45OBCBEDE 在RtBDE 中 由勾股定理 得 2222 2 2 2 2 BEDEBEBD 解得 2BEDE 负值舍去 321OEOBBE 点D的坐标为 12 将点D的坐标代入 0 ykx k 中 求得2k 满足条件的直线l的函数表达式为2yx 存在直线 3l yx 或2yx 与线段BC交于点D 不与点BC 重合 使得以 BOD 为顶点的三角形与BAC 相似 且点D的坐标分别为 3 9 4 4 或 12 3 设过点 03 10 CE 的直线3 0 ykxk 与该二次函数的图象交于点P 将点 10 E 的坐标代入3ykx 中 求得3k 此直线的函数表达式为33yx 设点P的坐标为 33 xx 并代入 2 23yxx 得 2 50 xx 解得 12 50 xx 不合题意 舍去 512xy 点P的坐标为 512 此时 锐角PCOACO 又 二次函数的对称轴为1x 点C关于对称轴对称的点 C 的坐标为 2 3 当5 p x 时 锐角PCOACO 当5 p x 时 锐角PCOACO 当25 p x 时 锐角PCOACO 练习四练习四 解 1 令0y 得 2 10 x 解得1x 令0 x 得1y A 1 0 B 1 0 C 0 1 2 OA OB OC 1 BAC ACO BCO 45 AP CB PAB 45 过点 P 作 PE x轴于E 则 APE为等腰直角三角形 令 OE a 则 PE 1a P 1 a a 点 P 在抛物线 2 1yx 上 2 11aa 解得 1 2a 2 1a 不合题意 舍去 PE 3 x B E A O C 1x P C 图 1 C P B y A o x 四边形ACBP 的面积S 1 2 AB OC 1 2 AB PE 11 2 12 34 22 3 假设存在 PAB BAC 45 PA AC MG x轴于点 G MGA PAC 90 在 Rt AOC中 OA OC 1 AC 2 在 Rt PAE中 AE PE 3 AP 3 2 设 M 点的横坐标为m 则 M 2 1 m m 点 M 在y轴左侧时 则1m 当 AMG PCA时 有 AG PA MG CA AG 1m MG 2 1m 即 2 11 3 22 mm 解得 1 1m 舍去 2 2 3 m 舍去 当 MAG PCA时有 AG CA MG PA 即 2 11 23 2 mm 解得 1m 舍去 2 2m M 2 3 点 M 在y轴右侧时 则1m 当 AMG PCA时有 AG PA MG CA AG 1m MG 2 1m 2 11 3 22 mm 解得 1 1m 舍去 2 4 3 m M 4 7 3 9 当 MAG PCA时有 AG CA MG PA G M 图 3 C B y P A o x G M 图 2 C B y P A o x 即 2 11 23 2 mm 解得 1 1m 舍去 2 4m M 4 15 存在点 M 使以A M G 三点为顶点的三角形与 PCA相似 M 点的坐标为 2 3 4 7 3 9 4 15 练习练习 5 5 解 1 点 30 A 10 C 4AC 3 tan43 4 BCBACAC B点坐标为 13 设过点AB 的直线的函数表达式为ykxb 由 0 3 3 kb kb 得 3 4 k 9 4 b 直线AB的函数表达式为 39 44 yx 2 如图 1 过点B作BDAB 交x轴于点D 在RtABC 和RtADB 中 BACDAB RtRtABCADB D 点为所求又 4 tantan 3 ADBABC 49 tan3 34 CDBCADB 13 4 ODOCCD 13 0 4 D 3 这样的m存在 在RtABC 中 由勾股定理得5AB 如图 1 当PQBD 时 APQABD 则 13 3 4 13 5 3 4 m m 解得 25 9 m 如图 2 当PQAD 时 APQADB A B C D Q O y x 图 1 P A B C D Q O y x 图 2 P 则 13 3 4 13 5 3 4 m m 解得 125 36 m 例例 1 20081 2008 福建福州福建福州 如图 已知 ABC是边长为 6cm 的等边三角形 动点P Q同时从A B两点出发 分别沿AB BC匀速运动 其中点P运动的速度是 1cm s 点Q运动的速度是 2cm s 当点Q到达点C时 P Q两点都停止运动 设运动 时间为t s 解答下列问题 1 当t 2 时 判断 BPQ的形状 并说明理由 2 设 BPQ的面积为S cm 2 求 S与t的函数关系式 3 作QR BA交AC于点R 连结PR 当t为何值时 APR PRQ 分析分析 由t 2 求出 BP 与 BQ 的长度 从而可得 BPQ的形状 作 QE BP 于点 E 将 PB QE 用t表示 由 BPQ S 2 1 BP QE 可得 S 与t的函数关系式 先证得四边形 EPRQ 为平行四边形 得 PR QE 再由 APR PRQ 对应边成比例列方程 从而t值可求 解解 1 BPQ 是等边三角形 当 t 2 时 AP 2 1 2 BQ 2 2 4 所以 BP AB AP 6 2 4 即 BQ BP 又因为 B 60 0 所以 BPQ 是等边三角形 2 过 Q 作 QE AB 垂足为 E 由 QB 2t 得 QE 2t sin60 0 3t 由 AP t 得 PB 6 t 所以 BPQ S 2 1 BP QE 2 1 6 t 3t 2 3 t 2 3 3t 3 因为 QR BA 所以 QRC A 60 0 RQC B 600 又因为 C 600 所以 QRC 是等边三角形 这时 BQ 2t 所以 QR RC QC 6 2t 因为 BE BQ cos60 0 2 1 2t t AP t