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数学竞赛中的椭圆问题韩保席江苏省吴江市高级中学(215200)例1(2000年全国高中数学联赛) 在椭圆(ab0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是，则ABF=_.OAFB图1分析：的三边可用、来表示，再用余弦定理或勾股定理来求角. 解：由得，即. 如图1有:，而，易见，故ABF=90. 评注：本题着眼于考查椭圆的基本量在图中的表示. 例2(1997年全国高中数学联赛)在平面直角坐标系中，若方程表示的曲线为椭圆，则m的取值范围为（ ）A(0,1) B(1,+ C(0,5) D(5,+ 分析：如果把表达式配方成椭圆标准式，由于含有项，需要对坐标轴进行旋转，而利用第二定义可以直接解决这一问题. 解：由可得：，也即：，此式表示的是点到定点的距离与到定直线的距离之比为，由第二定义及椭圆的离心率范围得：，即. OPF1B图2F2例3（第12届希望杯高二试题）设是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P使，则椭圆离心率的取值范围是： . 分析：可先利用余弦定理和均值不等式判定P点位于短轴顶点B时最大，于是. 解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为：、如图2：在中，即. 这时，又椭圆离心率小于1，故所求的范围是. OAPB图3例4(2002年全国高中数学联赛)直线与椭圆相交于、两点，该椭圆上点，使得的面积等于3这样的点共有（ ）A1个B2个C3个D4个分析：作图后可以发现，若的面积为3，则到的距离为即可. 解：如图3，若在直线上方，设，则到直线的距离：，化简得：舍去. 点不可能在直线的上方，显然在直线的下方有两个点. 评注：恰当地利用椭圆的参数方程，可以使解题过程简明扼要. OAB图4CF2例5（1996年上海市高中数学竞赛）连结椭圆的右焦点与椭圆上的动点A，作正方形（、按顺时针排列）. 则当点A沿椭圆运动一周后，动点C的轨迹方程是： . 分析：如图4，C点可以看成是由绕点顺时针旋转90后得到的. 故用向量法，可方便解决. 解：设，易知则，所以，令则消去参数有. 评注：在解几中利用向量这一崭新有力的工具，可以减少推理过程，有效地降低思维量. ABNMF图5例6（1999年全国高中数学联赛题）给定已知B是椭圆上的动点，F是左焦点，当|BA|+|BF|取得最小值时，求B点坐标. 分析：如果设B的坐标，用距离公式求|BA|+|BF|,则计算相当繁琐，而如果利用椭圆的第二定义把|BF|转化为B点到准线的距离就简单的多. 解：由题意得,. ,左准线为 过B点作左准线的垂线，垂足为点，再过点作左准线的垂线，垂足为点. 由椭圆的第二定义得：|= 于是:|+|=|+|（|长为定值）. 当且仅当点是线段与椭圆左面交点
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