油藏中渗流与水平井筒内流动的耦合数学模型.pdf

第36卷 第6期 中国矿业大学学报 Vol 36No 6 2007年11月 Journal of China University of Mining 国家重点基础研究发展规划 973 项目 2006CB705804 作者简介 苏玉亮 19702 男 山东省东营市人 副教授 博士 从事油田开发和多相流方面的研究 E2mail suyuliang hdpu Tel 054628391215 文章编号 100021964 2007 0620752207 油藏中渗流与水平井筒内流动的耦合数学模型 苏玉亮 张东 李明忠 中国石油大学 石油工程学院 山东 东营 257061 摘要 通过引入势的理论研究了油气两相稳定渗流问题 在描述无界地层三维稳态势基础上 结 合水平井上射孔孔眼在无界地层中产生的势分布 建立了把油层中的渗流与水平井筒内的流动 耦合的数学模型 该模型可以同时描述油藏2水平井筒内油 气两相流和原油单相流时的情况 给 出了求解的方法 并且结合实例研究了水平井水平段的流量分布和压力分布 结果表明 水平井 水平段的流量分布成明显的 凹 型曲线 其压力分布变化较为平缓 该模型为水平井的产能预测 及水平井长度的优化等提供了理论依据 关键词 水平井筒 渗流 耦合 数学模型 中图分类号 TE 35516文献标识码 A Mathematical Model Coupling Seepage in the Reservoir with Flow in the Horizontal Wellbore SU Yu2liang ZHAN G Dong LI Ming2zhong School of Petroleum Engineering China University of Petroleum Dongying Shandong 257061 China Abstract The two2phase stable flow in porous media was analyzed using potential theory Based on the description of infinite stratum three2dimensional stable potential and potential dis2 tribution of perforation borehole in horizontal wellbore a mathematical model coupling the flow in porous media with flow in horizontal wellbore was established The model can describe oil2gas two2phase and single2phase flow in reservoir2horizontal wellbore simultaneously The solution process of the model was also presented and with an example the distribution of the flux and pressure were analysed The result shows that the flux distribution curve of the hori2 zontal well is concave and the change of the pressure is small The model provides a basis for horizontal wells production forecast and length optimization Key words horizontal wellbore seepage coupling mathematical model 水平井生产时 存在着油藏内的渗流和水平井 筒内的变质量流 这2个流动过程既相互联系又相 互影响 准确描述这2个流动过程对理解水平井生 产本质具有重要意义 有些研究者已在有关方面做 了大量工作 由于问题的复杂性 少数研究者在不 考虑水平井筒内压降的情况下 研究了某些特定油 藏内三维渗流的势分布 1 几个研究者研究了水平 井筒内压降对生产动态的影响 223 有些研究者对 水平井筒气液两相变质量流的流型判别与压降计 算进行了探索性的研究 4 在数学模型的建立方 面 526 不少研究者作出了贡献 包括水平井筒变质 量流动阻力系数计算方法 7 等 有些研究者讨论了 水平井油气水三相数学模型建立 8 有些研究者给 出了单个孔眼段的压力损失计算方法 9 有些研究 第6期 苏玉亮等 油藏中渗流与水平井筒内流动的耦合数学模型 者给出了水平井二维非均质不稳定渗流场的迭代 解法 10 刘想平等将水平井看成由沿其长度方向 的许多微段线汇组成 导出了油层内三维稳态渗流 的压力分布 并根据质量守恒原理及动量定理 还 导出了水平井筒内变质量流动的压降计算公 式 11213 本文通过引入势的理论来研究油气两相稳 定渗流问题 建立了把油层中的渗流与水平井筒内 的流动耦合的数学模型 该模型可用于水平井产能 研究及水平井长度的优化等方面 1无界地层中三维稳态势分布 对于均质 各向同性的无界地层 油气两相稳 定渗流的数学模型为 对油相 Kro S o p B p p 0 1 对气相 C p Krg S o g p p p Bo p Kro S o o p p 0 2 式中 Kro Krg分别为油相和气相的相对渗透率 o g分别为油和气的黏度 Bo p 为原油的体积 系数 是压力的函数 p为气体在单位体积脱气油 内的溶解量 重量 是压力的函数 C p ga p ga为大气压力下气体的重率 通过单位地层断面并流到地面的气体总体积 包括自由气和溶解气 与纯油体积的比称为生产 油气比R R可表示为 R Krg S o Kro S o o p g p Bo p g ga Rg p 3 式中 g ga B p 为气体的体积系数 当为理想气 体时 g ga p Rg p p ga 为溶解油气比 它表 示单位体积脱气原油内溶解气换算到大气压下的 气体体积 对于油气稳定渗流来讲 生产油气比为常数 因此只要确定了产油量qo 则就可以通过下式确 定产气量qg qg R qo 4 下面研究油的产量 引入一个新的压力函数 H 并定义为 H Ko S o o p B o p dp C 5 将式 5 代入油的综合渗流方程式 1 中 得 2H Ko S o Bo p o p p KKro S o Bo p o p p K Kro S o Bo p o p p 0 6 由此可见 引入H函数以后 油气两相稳定渗 流油相的综合微分方程满足拉普拉斯方程 因此可 以引入势的理论来研究油气两相稳定渗流问题 根据达西定律 vo Ko p Bo p o p p 7 式中 vo为地面的渗流速度 由压力函数H的定义式 5 得 H Ko p Bo p o p p 8 因此 vo H 9 式中 H就定义为势 通常又称为速度势 对于单相油的稳定渗流问题 势函数可定义为 H K oBo p 10 下面求解空间一点的势的分布 设想在空间有一数学点M 在它周围存在一 个力场 流线若流向此点后消失 M 点为点汇 可 以想象在M点周围存在一个无穷大的渗流场 液 体渗流所经过的表面为球面 以M点为中心 以任 意r为半径的球形表面的渗流速度为 voBo p Qo 4 r2 11 式中 Qo表示为地下的产油量 根据方程式 9 对于点汇来说 dH dr Qo 4 r2Bo p 12 分离变量并积分得空间势的表达式为 H Qo 4 Bo p r C 13 对于单相油来说 空间势的表达式和式 13 相 同 不同的仅仅是压力函数H的表达式 2单个射孔孔眼在无界地层中产生的势 如图1所示 无界地层中有一水平井 设只在 其上x1处射有一个孔眼 该孔眼垂直于水平井筒 轴线 这里研究该孔眼在地层中产生的势 357 中国矿业大学学报 第36卷 图1 无界地层中水平井及单个射孔孔眼位置示意图 Fig 1Scheme of a horizontal well and one perforating position in an unbounded reservoir 设水平井水平段离xoy平面距离为zw 井筒 半径为rw 射孔孔眼长度为Lp 则射孔孔眼轴线两 端点坐标分别为 x 1 rwsin zw rwcos x1 r w Lp sin zw rw Lp cos 其中 为射孔 孔眼轴线与z轴的偏转角 定义oz线朝y轴正方向 转动 转到与射孔孔眼轴线在yoz平面的投影重合 时的角度 描述孔眼轴线这一空间直线的方程为 x x1 y rw Lp t sin z zw rw Lp t cos 14 0 t 1 对于均质 各向同性的无界地层 油气两相流 中原油流向射孔孔眼的稳定渗流服从拉普拉斯方 程式 6 设流体从此孔眼流入井筒的地下流量为 q 由于孔眼长度很短 可假设此线汇为流量均匀分 布的线汇 则射孔孔眼在地层中任一点 x y z 产 生的势为 H x y z q 4 BoLp Lp 0 ds x 0 x 2 y0 y 2 z0 z 2 C 15 其中 x 0 y0 z0 为射孔孔眼轴线上任一点 ds d x d y d zdt 16 式中 d x d x t dt d y d y t dt d z d z t dt 17 由式 14 得 d x 0 d y Lpsin dt d z Lpcos dt 18 代入式 16 中 有 ds Lpdt 19 x 0 y0 z0 为射孔孔眼轴线上任一点 应满 足式 14 即 x0 x1 y0 rw Lp t sin z0 zw rw Lp t cos 20 将式 19 20 代入式 15 中 得 H x y z q 4 BoLp 1 0 L pdt x1 x 2 rwsin Lptsin y 2 z w rwcos Lptcos z 2 1 2 C 积分上式 并化简得 H x y z q 4 BoLp ln r Lp r Lp C 21 式中 r x 1 x 2 y1 y 2 z1 z 2 x 1 x 2 y2 y 2 z2 z 2 y1 rw sin y2 rw Lp sin z1 zw rwcos z2 zw rw Lp cos 式 21 为水平井上单个射孔孔眼在无界地层 中产生的势 3水平井上N个射孔孔眼在无界地层中 产生的势 对于上 下均为封闭边界 四周无边界的无限 大油藏 本文称此油藏为无限大油藏 油气两相流 中原油流向水平井的渗流定解问题除了满足拉普 拉斯方程式 6 外 还应满足如下的边界条件 外边界条件 5H 5z 0 z 0 5H 5z 0 z h 内边界条件 5H 5x 0 水平井线汇上各点 对于无限大油藏 水平井上第i个孔眼在油层 中任一点产生的势Hi 可根据镜像反映原理 由 式 21 得 Hi x y z qi 4 BoLpi n i 2nh z1i 2nh z2i x y z i 2nh z1i 2nh z2i x y z ci i为下式定义的函数 i 1 2 x y z ln ri Lpi ri Lpi 其中 ri x i x 2 y1i y 2 1 z 2 x i x 2 y2i y 2 2 z 2 y1i rwsin i y2i rw Lpi sin i 457 第6期 苏玉亮等 油藏中渗流与水平井筒内流动的耦合数学模型 z1i zw rwcos i z2i zw rw Lpi cos i 式中 h为含油厚度 Lpi为第i个孔眼的长度 qi为 从第i个孔眼流入水平井筒的流量 xi为第i个孔 眼处的x坐标 i为第i个孔眼与z轴的偏转角 1 2为变量 可以看出 上述级数并不收敛 选取常数 2Lpi nh 使其收敛 则有 Hi x y z qi 4 Bo i ci 22 式中 i 1 Lpi i z 1i z2i x y z i z1i z2i x y z n 1 i 2nh z1i 2nh z2i x y z i 2nh z1i 2nh z2i x y z i 2nh z1i 2nh z2i x y z i 2nh z1i 2nh z2i x y z 2Lpi nh 水平井上N个射孔孔眼在油藏中产生的势为 H x y z N i 1 qi 4 Bo i C 23 式中 C为常数 由式 23 得 He N i 1 qi 4 Bo ei C 24 由式 23 和式 24 得 H x y z He N i 1 qi 4 Bo i ei 25 式中 He为泄油边界处的势 在计算 i时涉及 i和xi的计算 下面分别讨 论 311关于 i的计算 i i 1 i 1 2 3 N 式中 i为第i个孔眼的偏转角 为射孔相位角 图2 水平井横截面示意图 Fig 2Lateral section scheme of horizontal well 在矿场水平井射孔实践中 出于对射孔后生产 过程中防砂的考虑 一般在水平井筒横截面的上半 部分 即图2中AB C不射孔 只在其下半部分 ADC射孔 在实践中大多在下半部分互成120度 处即图2中E F处交错射孔 对于这种射孔方案 有 i i 1 1 i 11200 26 i 1 2 3 N 式中 0为E处孔眼的偏转角 312关于xi的计算 考虑到便于生产过程中作业 增产措施施工和 控制水平段生产等 一般水平井射孔采用分段射 孔 且两射孔段间留一段 盲管 不射孔 设水平井 上共射开Ns段 第j段的射开长度为Lj 射孔密度 为npj 第j段和第j 1段之间的未射段 盲管 长 度为Lbj 并规定L0 0 Lb0 0 则 xi xw1 j 1 k 0 L k Lbk 1 npj i 1 2 j 1 k 0 Lknpk 27 式中 xw1为水平井跟端横坐标 在式 27 中 j的取值应由下式来确定 j 1 k 0 npLkPb Pwf时耦合数学模型的建立 当油藏压力高于泡点压力 而井底流压低于泡 点压力时 则在井筒附近区域会脱气 出现油 气两 相流动 而在远离井筒的区域 压力仍高于饱和压 力 仍为原油做单相流动 可以利用引入的势函数 H来描述油 气两相流和原油单相流时的情况 当 计算的水平井上的压力高于泡点压力时 原油的 流动可以利用式 10 所表示的势函数H来描述 当计算的水平井上的压力低于泡点压力时 原油的 流动可以利用式 5 所表示的势函数H来描述 411油藏内流动模型 这里规定水平井跟端在x 0处 指端在x L处 557 中国矿业大学学报 第36卷 对于射孔完井水平井 设其上总射孔数为N 流体从第i个射孔孔眼流入井筒的流量为qi 水平 井筒内第i个射孔孔眼处的压力为pwi 则可根据 式 25 得到N个含有qi pwi的方程式 Aq B 30 其中 q q1 q2 q3 qN T A 11 e1 12 e2 13 e3 1N eN 21 e1 22 e2 23 e3 2N eN 31 e1 32 e2 33 e3 3N eN N1 e1 N2 e2 N3 e3 NN eN B 4 Bo H e Hw1 4 Bo H e Hw2 4 Bo H e Hw3 4 Bo H e HwN 式中 ji为油藏水平井上 i在第j段线汇中点处 的值 ei 为 i在泄油边界处的值 值得注意的是 各个射孔孔眼处的压力pwi及 泄油边界处的压力pe隐含在势函数H中 若给定 pwi pe便可以求出He Hwi 具体做法如下 对每个具体油田 可以根据高压物性试验得出 的Bo p o p 与p的关系曲线 求得任一p值下 的Bo p o p 值 而式 5 中的Ko S o 则要根 据油气比R 常数这一关系 当给出油气比为某 常数时 利用式 3 求得任一压力下的Krg Kro 又 有Krg Kro S关系曲线求出饱和度S 再根据相 对渗透率曲线求出相应的Kro S o 进而求出 Ko S o 这样就求出了在某个油气比数值下在某 压力时的 Ko Bo o 值 再给出另一压力值又可求出另 一相应的 Ko Bo o 值 如此作出 Ko Bo o p关系曲线 便 可以通过下式计算He Hwi He Hwi pe pwi Ko Bo o dp 31 对于单相油的稳定渗流问题 He Hwi的计 算可由 式 10 得到 He Hwi K oBo p e pwi 32 这样有式 30 得到qi pwi i 1 2 3 N 共2N个未知数 即可表示为 F1 q i pwi 0 33 可计算出水平井筒第j段的压降 412 井筒内流动模型 若计算的水平井上第j段的井筒压力pwi pb 则按照射孔完成水平井筒内变质量单相液流压 力降计算模型进行计算 若计算的水平井上第j段 的井筒压力pwi pb 则可利用式 10 计算势函数 若p0wi pb 则可利用式 5 计算势函数 4 计算矩阵B 5 用求解线性代数方程的任何一种方法如高 斯消去法求解式 30 得到qi 记为q0i 6 将上步求出的qi代入式 34 中 更新pwi 此值可作为下一次迭代的初值 7 重复2 6 步 求出n 1步p n 1 wi q n 1 i后 比较n 1步和n步的pwi qi值 若对事先给定的精 度 1 2 有 max j N p n 1 wi p n wi 1 max j N q n 1 i q n i Pb Pwf时计算实例 5 1计算参数 某区块油层 流体及压裂水平井参数 边界压 力pe为19 MPa 井底流pwf为16 MPa 井与供给 边界的距离为600 m 油层厚度h为12 m 水平渗 透率Kh0125 m2 垂直渗透率Kv为0115 m2 地 层油黏度 o为1 mPa s 原油密度为850 kg m3 地层油体积系数Bo为11052 水平井长度L为600 m 井筒半径rw为01075 m 射孔密度为16孔 m 孔眼直径为12 mm 孔眼深度Lp 0125 m 射孔 相位角 90 相对粗糙度010001 512计算步骤 求解步骤如下 1 首先建立空间直角坐标系 以3个点为例 如下图3 图3 水平井及单个射孔孔眼位置示意图 Fig 3Scheme of a horizontal well and one perforating position 假 设z轴为水平井垂直段的中心线 x轴为水 平井水平段的中心线 2 以三维为例 经过计算 得到 11 12 13 21 22 23 31 32 33 e1 e2 e3 进而可以得到 A 3 假设pwi pwf 16 MPa 经过计算可以得 到B 4 计算矩阵Aq B 得到qi 并用上述迭代法 最终得到单孔流量q 压力p 513结果与分析 1 流量分布 图4为计算得到的流量分布图 由图4可以看 出 在跟端和趾端 0 600 m处 流量较大 原因是 在跟端和趾端的供给范围较大 而中间各点的供给 范围相对较小 而且较为平均 所以流量变化也相 对平缓 呈现处明显的 凹 型曲线 图4 流量分布 Fig 4Distribution of the flux 2 压力分布 图5为计算得到的压力分布图 由图5可以看 出 水平段的压力变化很小 尤其是中间的部分 变 化平缓 近似线性分布 在两端有个突变 可能是流 量突变所导致 图5 压力分布 Fig 5Distribution of the pressure 6结论 1 通过引入势的理论描述了无界地层中三维 稳态势分布以及水平井上射孔孔眼在无界地层中 产生的势分布 可得到单射孔孔眼在无界地层中产 生的势以及N个射孔孔眼在油藏中产生的势 2 分析了水平井上水平段的流量和压力分 布 流量分布呈现 凹 型曲线 在跟端和趾端 0 600 m处 流量较大 水平段中间部分流量较小 水 平段的压力变化很小 尤其是中间的部分 变化平 缓 近似线性分布 在两端有个突变 是流量突变所 导致 3 通过引入势函数建立了能够同时描述油藏 水平井筒内油 气两相流和原油单相流时耦合数 学模型 并提供了计算方法 迭代法 建立了把 油层中的渗流与水平井筒内的流动耦合的数学模 型 为水平井的产能预测及水平井长度的优化等方 面提供理论依据 参考文献 1 AZAR2NEJAD F TORTIKE W S FAROUP A et al Distribution around sources with finite length horizontal and vertical partially penetrating wells and fractures part I steady state fluid flow J SPE 1996 35270 1432153 2 DIKKEN BEN J KONINKLIJ KE Pressure drop in horizontal wells and Its effect on production per2 formance J SPE 1990 19824 128 3 NOVY R A MOBIL R CORP D Pressure drops in horizontal wells when can they be Ignored J SPE 1995 24941 29235 4 刘想平 郭呈柱 蒋志祥 等 油层中渗流与水平井 筒内流动的耦合模型 J 石油学报 1999 20 3 82286 LIU Xiang2ping GUO Cheng2zhu J IANG Zhi2xiang 757 中国矿业大学学报 第36卷 et al The model coupling fluid flow in the reservoir with flow in the horizontal wellbore J Acta Petrolei Sinica 1999 20 3 82286 5 王瑞和 张玉哲 步玉环 等 射孔水平井产能分段 数值计算 J 石油勘探与开发 2006 33 5 6302 633 WANG Rui2he ZHANG Yu2zhe BU Yu2huan et al A segmentally numerical calculation method for esti2 mating the productivity of perforated horizontal wells J PetroleumExpoloration and Development 2006 33 5 6302633 6 吴淑红 刘翔鹗 郭尚平 水平段井筒管流的简化 模型 J 石油勘探与开发 1999 26 4 64265 WU Shu2hong LIU Xiang2he GUO Shang2ping A simplified model of flow in horizontal wellbore J Peroleum Exploration and Development 1999 26 4 64265 7 周生田 张琪 李明忠 等 水平井变质量流研究 进展 J 力学进展 2002 32 1 1192127 ZhOU Sheng2tian ZHANG Qi LI Ming2zhong et al The advances on the varible mass flow in hrizontal wells J Advances In Mechanics 2002 32 1 1192127 8 刘想平 张兆顺 刘翔鹗 等 水平井筒内与渗流耦 合的流动压降计算模型 J 西南石油学院学报 2000 22 2 36240 LIU Xiang2ping ZHANG Zhao2shun LIU Xian2ge et al A model to calculate pressure drops of horizontal wellbore varible mass flow coupled with flow in a res2 ervolr J Journal of Southwest Petroleum Institute 2000 22 2 36240 9 于乐香 周生田 张琪 水平井筒流体变质量流动 压力梯度模型 J 石油大学学报 自然科学版 2001 25 4 47248 YULe2xiang ZHOUSheng2tian ZHANG Qi Pressure gradient model for variable mass flu