角的概念的推广.ppt

1 1 1角的概念的推广 1 角的概念 初中是如何定义角的 从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形 这种概念的优点是形象 直观 容易理解 但它是从图形形状来定义角 因此角的范围是 0 360 这种定义称为静态定义 其弊端在于 狭隘 生活中很多实例会不在该范围 体操运动员转体720 跳水运动员向内 向外转体1080 经过1小时 时针 分针 秒针各转了多少度 这些例子不仅不在范围 0 360 而且方向不同 有必要将角的概念推广到任意角 想想用什么办法才能推广到任意角 关键是用运动的观点来看待角的变化 2 角的概念的推广 旋转 形成角一条射线由原来的位置OA 绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB 就形成角 旋转开始时的射线OA叫做角 的始边 旋转终止的射线OB叫做角 的终边 射线的端点O叫做角 的顶点 正角 与 负角 0 角 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角 把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角 如图 以OA为始边的角 210 150 660 特别地 当一条射线没有作任何旋转时 我们也认为这时形成了一个角 并把这个角叫做零度角 0 角的记法 角 或可以简记成 角的概念扩展的意义 用 旋转 定义角之后 角的范围大大地扩大了 角有正负之分 如 210 150 660 角可以任意大 实例 体操动作 旋转2周 360 2 720 3周 360 3 1080 还有零角 一条射线 没有旋转 角的概念推广以后 它包括任意大小的正角 负角和零角 要注意 正角和负角是表示具有相反意义的旋转量 它的正负规定纯属于习惯 就好象与正数 负数的规定一样 零角无正负 就好象数零无正负一样 用旋转来描述角 需要注意三个要素 旋转中心 旋转方向和旋转量 2 旋转方向 旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两种 这是一对意义相反的量 根据以往的经验 我们可以把一对意义相反的量用正负数来表示 那么许多问题就可以解决了 1 旋转中心 作为角的顶点 思考1 一个角的始边与终边可以重合吗 如果可以 这样的角的大小有什么特点 k 360 k Z 3 旋转量 当旋转超过一周时 旋转量即超过360 角度的绝对值可大于360 于是就会出现720 540 等角度 3 象限角 为了研究方便 我们往往在平面直角坐标系中来讨论角 角的顶点重合于坐标原点 角的始边重合于x轴的正半轴 这样一来 角的终边落在第几象限 我们就说这个角是第几象限的角 角的终边落在坐标轴上 则此角不属于任何一个象限 例如 30 390 330 是第 象限角 300 60 是第 象限角 585 1300 是第 象限角 135 2000 是第 象限角等 思考2 锐角与第一象限的角是什么逻辑关系 钝角与第二象限的角是什么逻辑关系 直角与轴线角是什么逻辑关系 思考3 第二象限的角一定比第一象限的角大吗 象限角只能反映角的终边所在象限 不能反映角的大小 思考4 在直角坐标系中 135 角的终边在什么位置 终边在该位置的角一定是135 吗 思考5 与 32 角终边相同的角有多少个 这些角与 32 角在数量上相差多少 思考6 所有与 32 角终边相同的角 连同 32 角在内 可构成一个集合S 你能用描述法表示集合S吗 S k 360 k Z 即任一与 终边相同的角 都可以表示成角 与整数个周角的和 思考7 一般地 所有与角 终边相同的角 连同角 在内所构成的集合S可以怎样表示 所有与 终边相同的角连同 在内可以构成一个集合 k 360 k Z 即 任何一个与角 终边相同的角 都可以表示成角 与整数个周角的和 4 终边相同的角 注意以下四点 k Z 是任意角 k 360 与 之间是 号 如k 360 30 应看成k 360 30 终边相同的角不一定相等 但相等的角 终边一定相同 终边相同的角有无数多个 它们相差360 的整数倍 例1 在0 到360 范围内 找出与下列各角终边相同的角 并判断它是哪个象限的角 1 120 2 640 3 950 12 解 120 360 240 240 的角与 120 的角终边相同 它是第三象限角 640 360 280 280 的角与640 的角终边相同 它是第四象限角 950 12 3 360 129 48 129 48 的角与 950 12 的角终边相同 它是第二象限角 例2 写出与下列各角终边相同的角的集合S 并把S中在 360 720 间的角写出来 1 60 2 21 3 363 14 解 1 S k 360 60 k Z S中在 360 720 间的角是 1 360 60 280 0 360 60 60 1 360 60 420 2 S k 360 21 k Z S中在 360 720 间的角是0 360 21 21 1 360 21 339 2 360 21 699 3 k 360 363 14 k Z S中在 360 720 间的角是 2 360 363 14 356 46 1 360 363 14 3 14 0 360 363 14 363 14 思考8 终边在x轴正半轴 负半轴 y轴正半轴 负半轴上的角分别如何表示 x轴正半轴 k 360 k Z x轴负半轴 180 k 360 k Z y轴正半轴 90 k 360 k Z y轴负半轴 270 k 360 k Z 思考9 终边在x轴 y轴上的角的集合分别如何表示 终边在x轴上 S k 180 k Z 终边在y轴上 S 90 k 180 k Z 思考10 第一 二 三 四象限的角的集合分别如何表示 第一象限 S 0 k 360 90 k 360 k Z 第二象限 S 90 k 360 180 k 360 k Z 第三象限 S 180 k 360 270 k 360 k Z 第四象限 S 270 k 360 360 k 360 k Z 思考8 如果 是第二象限的角 那么2 2分别是第几象限的角 90 k 360 180 k 360 180 k 720 2 360 k 720 45 k 180 2 90 k 180 课堂练习 1 锐角是第几象限的角 第一象限的角是否都是锐角 小于90 的角是锐角吗 区间 0 90 内的角是锐角吗 答 锐角是第一象限角 第一象限角不一定是锐角 小于90 的角可能是零角或负角 故它不一定是锐角 区间 0 90 内的角是锐角 2 已知角的顶点与坐标系原点重合 始边落在x轴的正半轴上 作出下列各角 并指出它们是哪个象限的角 1 420 2 75 3 855 4 510 答 1 第一象限角 2 第四象限角 3 第二象限角 4 第三象限角 3 已知 角的终边相同 那么 的终边在 Ax轴的非负半轴上By轴的非负半轴上Cx轴的非正半轴上Dy轴的非正半轴上 A 4 终边与坐标轴重合的角的集合是 A k 360 k Z B k 180 k Z C k 90 k Z D k 180 90 k Z C 5 已知角2 的终边在x轴的上方 那么 是 A第一象限角B第一 二象限角C第一 三象限角D第一 四象限角 C 6 若 是第四象限角 则180 是 A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角 C 7 在直角坐标系中 若 与 终边互相垂直 那么 与 之间的关系是 A 90oB 90oC k 360o 90o k ZD k 360o