少齿数齿轮副的优化设计_程伟.pdf

少齿数齿轮副的优化设计 程伟1 王保民2 1 陕西理工学院 机械工程训练中心 陕西 汉中723003 2 陕西理工学院 机械工程学院 陕西 汉中723001 摘要 为解决参数设计的问题 提高少齿数齿轮减速器的传动性能 对少齿数齿轮副的优化设计问题进行了研究 根据少齿数齿轮结构和传动的特点 建立了限制曲线数学模型 根据少齿数齿轮减速器的质量要求和理想点法 建立 了优化设计数学模型 基于 MALAB 平台和可视化技术 开发了少齿数齿轮副优化设计软件 并以 IE33 型汽油机中的 齿轮副为例 进行了优化设计 为解决少齿数齿轮副参数选取的问题提拱了一种有效的方法 有利于提高少齿数齿 轮减速器的传动质量和设计效率 关键词 少齿数齿轮副 参数设计 优化设计 MALTAB 中图分类号 TD94文献标志码 A 文章编号 1007 4414 2015 01 0118 04 Optimization Design of Less teeth Gear Pair CHENGWei1 WANG Bao min2 1 Mechanical Engineering Training Center Shaanxi University of Technology Hanzhong Shaanxi720003 China 2 School of Mechanical Engineering Shaanxi University of Technology Hanzhong Shaanxi720001 China Abstract To solve problems in parameter designing and to improve the transmission performance of less teeth gear reduc er optimization design of the less teeth gear pair is studied According to the structure and transmission characteristics of the less teeth gear limit curve mathematical models are established According to the quality requirements of less teeth gear reducer and ideal point method the mathematical model of optimization design is established The optimization design software of less teeth gear pair is developed based on MATLAB platform and visualization technology and the gear pair of IE33 gaso line engine is optimized Thus an effective method is provided for solving the problem of parameter selection of less teeth gear pair Transmission quality and design efficiency of less teeth gear reducer are improved Key words Less teeth gear pair parameter design optimization design MATLAB 0引言 少齿数齿轮减速器具有单级传动比大 结构紧 凑 重量轻等优点 在矿山 冶金 起重运输等行业具 有广泛的应用价值 少齿数齿轮减速器一般采用单 级传动 小齿轮是齿数为 1 7 的渐开线圆柱斜齿轮 因其特殊的传动结构 在满足齿轮副尺寸结构 传动 质量 承载能力等方面存在在较大的设计难题 主要 问题表现在齿顶变尖 根切 重合度低 点蚀和磨损失 效等 阻碍了少齿数齿轮减速器的推广应用 1 2 少 齿数齿轮减速器传统的设计方法是按照给定的条件 根据经验 采用类比和理论计算的方法 在满足一些 限制条件的基础上 通过试凑的方法来确定主要参 数 但由于限制条件和主要参数过多 缺少有效的方 法 很难找到符合要求的一组参数 因而设计出来的 减速器在寿命 承载能力 传动效率 平稳性等方面不 够理想 1少齿数齿轮副设计限制条件数学模型 1 1两齿轮的根切指数 1 xt1 2 h at z1 2sin2 t 2cos 1 当 1 0 无根切 1 0 会出现根切的情况 小齿轮端面最小变位系数为 xt1min h at z1sin2 t 2cos 2 1 2重合度指数 少齿数齿轮传动端面重合度总是小于 1 需要增 加轴向重合度来保证少齿数齿轮传动的平稳性和承 载能力 许用端面重合度和总重合度一般要求 a 0 5 和 1 5 端面重合度指数 2 1 2 z1 tg at1 tg t z2 tg at2 tg t 3 式中 a为设计值 当 2 0 符合端面重合度的要 求 2 0 端面重合度不够 总重合度指数 21 btan m t 4 式中 为设计值 当 21 0 符合总重合度的要 求 21 0 总重合度不够 811 设计与制造2015 年第 1 期 第 28 卷 总第 135 期 机械研究与应用 收稿日期 2014 12 04 基金项目 汉中市科技发展专项计划项目 编号 2013hzzx 67 作者简介 程伟 1986 男 湖北咸宁人 硕士 助理工程师 研究方向 新型机械传动的设计与研究 1 3两齿轮齿顶厚度指数 为了避免小齿轮齿顶变尖 通常要求齿顶厚 sat 0 小齿轮齿顶厚指数为 3 sat1 da1 4xt1 tan t 2z1 tan t t inv at1 5 式中 sat为设计值 当 3 0 小齿轮不会出现齿顶 变尖的情况 3 0 小齿轮齿顶会变尖 有些情况下 允许变尖 并通过削尖的方法来保证接触强度 1 4干涉指数 41 tan t z2 z1 tan at2 tan t tan t 2 h at xt1 z1sin tcos t 6 42 tan t z1 z2 tan at1 tan t tan t 2 h at x2t z2sin tcos t 7 当 41 42 0 不发生干涉 41或 42 0 发生干 涉 1 5节点外啮合指数 5 z1 2 cos t cos t 1 h at xt1 8 当 5 0 不出现节点外啮合情况 5 0 出现节 点外啮合情况 1 6等滑动系数程度指数 6 tan at2 tan t 1 z1 z 2 tan t tan at2 1 z1 z 2 tan at1 tan t 1 z2 z 1 tan t tan at1 1 z2 z1 9 6越小越 两齿轮最大滑动系数差值越小 抗磨 损和胶合能力越强 磨损和胶合是少齿数齿轮传动 的主要破坏形式之一 1 7法向最小侧隙指数 7 z1 z2 inv t inv t 2tan t jn 2mttan tcos t cos b a1 a mt 10 7 0 时 选取法向侧隙符合要求或在法向侧隙 给定下的选取的参数符合要求 7 0 时 需要调整 法向侧隙或参数 1 8接触强度指数 由于节点不在少齿数齿轮副的啮合线上 普通齿 轮的接触应力公式不再适用于少齿数齿轮 可以取实 际啮合线的中点作为齿面接触强度的应力计算 点 3 则有 81 H ZE Kp 槡Mn 11 82 F Fa 12 当 81 82 0 接触强度符合要求 2优化设计数学模型的建立 2 1目标函数的建立 1 大 小齿轮齿根处最大滑动系数差值越小 对齿轮副的抗胶合能力和耐磨性越有利 则建立目标 函数 min f1 X 1 2 2 变位系数之和越大或小齿轮齿根处的类几 何压力系数越小 接触强度越好 则建立目标函数 min f2 X xt xt2 min f3 X 3 减小体积可以减小使用空间 节省材料以及 降低成本 则建立目标函数 min f4 X 4 1 i2 21 z1mt1 2 a1cos t1 cos t1 a 2 2设计变量的确定 一般情况下 输入功率 P1 小齿轮转速 n1 实际 中心距 a1 传动比 i21是给定的设计始条件 齿轮副的 主要参数为 小齿轮齿数 z1 端面模数 mt 螺旋角 小齿轮变位系数 xt1 压力角 n 齿宽系数 a 小齿轮 齿宽 b a1 a 则设计变量为 X x1 x2 x3 x4 x5 x6 T z1 mt xt1 n a T 2 3约束条件 1 边界约束条件 小齿轮为主动轮 为保证其弯曲强度 模数一般 要大于 2 螺旋角对少齿数齿轮的齿形和传动质量影 响很大 选择重合度要兼顾强度 平稳性及齿形 为了 弥补端面重合度 a的不足一般都采用较大的齿宽 压力角小 传动效率高 重合度大 噪音小 但轮齿的 强度差 压力角大 承载能力强 寿命高 需要根据设 计要求来选取 一般情况下 为了便于小齿轮加工 压 力角为 20 边界约束条件如表 1 所示 表 1边界约束条件 设计变量 z1mn xt1 n a 下限128 xt1min15 上限835 25 0 5 2 齿形和传动质量约束 1 0 3 0 41 0 42 0 xt2 1 7 0 911 机械研究与应用 2015 年第 1 期 第 28 卷 总第 135 期 设计与制造 0 5 1 5 81 82 0 2 4优化方法 少齿数齿轮传动相比与普通齿轮 由于其特殊的 结构 限制条件和质量要求更多 追求某一项质量指 标没有意义 必须综合协调各质量指标 因此 少齿数 齿轮副的优化设计需要采用多目标优化设计 若对 其进行单目标优化设计时 必须将其它目标转换成限 制条件 求解多目标优化设计的基本方法是评价函 数法 4 借助几何或应用中的直观背景构造评价函 数 将多目标优化问题转变成单目标优化问题 然后 用单目标优化的方法求解 基于理想点法 构造少齿数齿轮副多目标优化的 评价函数 先求解 p 个单目标问题的解 f i min x nfi x i 1 2 p 并构造评价函数 y 3 i 1 fi x f i 槡 再求解 min f x p i 1 fi x f i 槡 2 将其最优解 x 作为多目标问题的最优解 少齿数齿轮副优化设计属于非线性的约束优化 问题 MATLAB 优化工具箱采用序列二次规划法 SQP 来求解这种优化问题 它是将原问题化为一系 列的二次规划子问题进行求解 再通过使用 BFGS 法 构造变尺度矩阵 以保留超线性收敛性 最后调用 fmincon 函数求解得到最优解 5 3优化设计软件开发及实例 3 1基于 MATLAB GUI 软件开发 MATLAB 可视化设计模块 GUI 除了开发软件 功能外 还可使用 MATLAB 优化函数 并且具有强大 的数值计算功能 复合运算功能和图像处理功能 方 便优化计算和可视化对话框的开发 6 MATLAB GUI 模块可构建含有图形窗口 图轴 按钮 菜单 文 本框等图形对象的可视化界面 这些是人机交流信息的 途径和方式 其功能的实现是基于 C 语言编写的底层程 序 创建一个 GUI 的过程大致分为9 步 如图1 图 1创建 GUI 的基本步骤 基于理想点法的少齿数齿轮副优化设计流程 输 入已知参数数据 包括输入功率 小齿轮转速 传动 比 中心距等 设置限制条件 包括边界约束条件 传 动性能约束条件等 单目标优化 将各单目标优化的 结果作为已知条件输入到多目标优化对话框中 进行 理想点法的多目标优化 输出结果 包括齿数 大小齿 轮变位系数 端面重合度等 附加功能 包括齿轮副啮 合图 接触强度计算等 根据优化设计的流程 设计 各环节的界面和要实现的功能 基于 MATLAB GUI 编辑界面和编写底层程序 检测修改无误后 acc 编 译成软件 3 2IE33 汽油机传动结构的优化设计 由文献 7 可知 IE33 汽油机功率为 p 0 4 kW 小齿轮最高转速为 n1 6 000 r min 该机采用一 对少齿数齿轮副减速 其中心距 a 60 mm 其余参数 数据如表 2 所示 表 2基本参数数据 参 数小齿轮大齿轮 z254 xt1 20 16 d4 105110 84 da10115 b2015 m1 75 20 31 507 28 242 0 481 1 426 H MPa1495 5 172 表 3优化结果 参 数小齿轮大齿轮 z254 xt0 62080 5569 b3020 m1 75 20 32 h an 0 8 c n 0 2 0 5949 2 8916 H MPa1097 41 max2 904 这对少齿数齿轮经过较长时间跑合才能正常工 作 原因是小齿轮根部已经发生过渡曲线干涉 重合 度不高 齿顶变尖 工作一段时间后 破坏形式是点蚀 021 设计与制造2015 年第 1 期 第 28 卷 总第 135 期 机械研究与应用 和磨损 为了保证有一定的寿命 采用了硬齿面 并对 表面进行了修研 再通过适当跑合降低接触应力 在不改变中心距 两齿轮齿数及模数的情况下 以提高重合度和接触强度及减小最大滑动系数差为 目标 对齿轮副进行优化设计 参数数据输入如图 2 所示 图 2输入参数 图 3齿轮副啮合图 如表 3 所示 采用理想点法对少齿数齿轮副进行 多目标优化设计的结果与传统试凑法设计出来的结 果相比 端面重合度提高了 0 5949 0 481 0 481 23 68 接触强度提高了 1495 1097 41 1495 26 59 最大滑动系数差降低了 5 172 2 904 5 172 43 85 并且齿轮副不存在齿顶变尖和根切 的问题 齿轮副啮合图如图 3 所示 4结论 1 对少齿数齿轮传动的限制条件进行了分析 建立了相应的数学模型 建立了少齿数齿轮副优化设 计的模型 包括目标函数 设计变量 约束条件 优化 方法 保证了少齿数齿轮减速器的传动性能 2 为少齿数齿轮副的参数设计提供了一种新 的更合理有效的方法 解决了综合考虑各限制因素和 质量要求协调地设计主要参数的难题 3 基于 MATLAB GUI 平台和可视化技术开发 了少齿数齿轮副优化设计软件 大大提高了设计效 率 参考文献 1 王保民 张国海 李鹏 少齿数渐开线圆柱齿轮传动研究现状 综述 J 陕西理工学院学报 自然科学版 2010 26 1 1 4 2 王宁侠 王鸿 王乃信 少齿数渐开线圆柱齿轮机构的研究 J 机械科学与技术 2000 15 6 941 943 3 张国海 王保民 蒋学全 少齿数齿轮传动接触强度的研究 J 机械设计 2004 21 8 16 18 4 李万祥 工程优化设计与 MATLAB 实现 M 北京 清华大学出 版社 2010 5 席平原 应用 MATLAB 工具箱实现机械优化设计 J 机械设计 与研究 2003 19 3 40 42 7 6 罗华飞 MATLAB GUI 设计学习手记 M 北京 北京航空航天 大学出版社 2011 7 施