第2章——多自由度系统的振动——两自由度运动方程的建立.pdf

船体振动基础船体振动基础 1 第 章 多自由度系统的振第2章 多自由度系统的振动 一 引言 二 两自由度系统的振动二 两自由度系统的振动 2 上节课内容的回顾上节课内容的回顾 1 周期激励下系统的响应周期激励下系统的响应 P t T P t P t T P t 任何周期函数都可以展开为傅里叶级数 任何周期函数都可以展开为傅里叶级数 0 1 cossin 2 nn n a P tan tbn t 1n a 0 1 cossin 2 nn n a MxCxKxan tbn t 当当作用于系统上所产生的静变形作用于系统上所产生的静变形 2 0 上节课内容的回顾上节课内容的回顾 2 任意激励下系统的响应任意激励下系统的响应 冲击冲击 一般的有阻尼自由振动的运动方程式一般的有阻尼自由振动的运动方程式 sincos n dd t xettABAB 同时同时由于冲击产生的初始条件为由于冲击产生的初始条件为 F 同时同时 由于冲击产生的初始条件为由于冲击产生的初始条件为 0 0 x 0 F x m and 对于上述初始条件对于上述初始条件 产生的有阻尼自由振动响应为产生的有阻尼自由振动响应为 对于上述初始条件对于上述初始条件 产生的有阻尼自由振动响应为产生的有阻尼自由振动响应为 sin n d d t F xet m d m 上节课内容的回顾上节课内容的回顾 2 任意激励下系统的响应任意激励下系统的响应 1 sin n t t d o d x tfetd m 上节课内容的回顾上节课内容的回顾 2 任意激励下系统的响应任意激励下系统的响应 在在 0t 时间间隔内受到突加的矩形脉冲力作用时间间隔内受到突加的矩形脉冲力作用 P 在在 0 t1 时间间隔内受到突加的矩形脉冲力作用时间间隔内受到突加的矩形脉冲力作用 10 0 0 tt ttP tP tP 0 P 1 0tt 0 1 t t t 求 系统响应求 系统响应 上节课内容的回顾上节课内容的回顾 教材习题教材习题 教材习题教材习题 习题习题P331 19 第2章 多自由度系统的振动第2章 多自由度系统的振动 1 引言引言 实际工程问题中 经常会遇到不能简化为单自由度系统的振实际工程问题中 经常会遇到不能简化为单自由度系统的振 1 引言引言 动问题 因此有必要进一步研究多自由度系统动问题 因此有必要进一步研究多自由度系统的振动问题 的振动问题 多自由度系统多自由度系统 就是在任何瞬时 系统的位置都必须用两个 或者更多的广义坐标才能确定的系统 就是在任何瞬时 系统的位置都必须用两个 或者更多的广义坐标才能确定的系统 9 第2章 多自由度系统的振动第2章 多自由度系统的振动 1 引言引言1 引言引言 船舶作为一个刚体 具有六个自由度 在研究总纵强度时 船舶作为一个刚体 具有六个自由度 在研究总纵强度时 只考虑船舶的升沉运动和纵摇运动 即约束四个自由度 可只考虑船舶的升沉运动和纵摇运动 即约束四个自由度 可 视为两自由度系统视为两自由度系统 z y 视为两自由度系统视为两自由度系统 y 10 第2章 多自由度系统的振动第2章 多自由度系统的振动 1 引言引言1 引言引言 一般来说 工程上各种机械都是由杆 梁 板 壳一般来说 工程上各种机械都是由杆 梁 板 壳或其他元或其他元 件组成的复杂的弹性结构件组成的复杂的弹性结构 理论上都是无限自由度系统 理论上都是无限自由度系统 对于这些具有分布质量无限多自由度系统 往往要对质量和对于这些具有分布质量无限多自由度系统 往往要对质量和 11 弹性体进行弹性体进行离散化处理离散化处理 即转化为有限个自由度系统 即转化为有限个自由度系统 第2章 多自由度系统的振动第2章 多自由度系统的振动 1 引言引言1 引言引言 至于取多少个自由度 可根据工程上实际所要求的精度来确至于取多少个自由度 可根据工程上实际所要求的精度来确 定 广义坐尽可能取在能反映结构特征的那些点上 以便更定 广义坐尽可能取在能反映结构特征的那些点上 以便更 好的逼近实际的动挠度曲线好的逼近实际的动挠度曲线好的逼近实际的动挠度曲线好的逼近实际的动挠度曲线 12 多自由度系统的特点 多自由度系统的特点 各个自由度各个自由度各个自由度各个自由度彼此相互联系彼此相互联系彼此相互联系彼此相互联系某自由度的振动往某自由度的振动往某自由度的振动往某自由度的振动往各个自由度各个自由度各个自由度各个自由度彼此相互联系彼此相互联系彼此相互联系彼此相互联系 某某一一自由度的振动往某自由度的振动往某一一自由度的振动往自由度的振动往 往导致整个系统的振动往导致整个系统的振动 往导致整个系统的振动往导致整个系统的振动 运动微分方程的变量之间通常运动微分方程的变量之间通常运动微分方程的变量之间通常运动微分方程的变量之间通常相互耦合相互耦合相互耦合相互耦合 需要求需要求 需要求需要求 解联立方程解联立方程 解联立方程解联立方程 第2章 多自由度系统的振动第2章 多自由度系统的振动 2 运动微分方程的建立运动微分方程的建立2 运动微分方程的建立运动微分方程的建立 两个自由度是最简单的多自由度系统两个自由度是最简单的多自由度系统 从从单自由度系统单自由度系统到到两两 两个自由度是最简单的多自由度系统两个自由度是最简单的多自由度系统 从从单自由度系统单自由度系统到到两两 自由度系统自由度系统 振动的性质和研究的方法有质的不同 但从 振动的性质和研究的方法有质的不同 但从两自两自 由度系统由度系统到更到更多自由度系统多自由度系统的振动的振动无论是模型的简化无论是模型的简化振动振动由度系统由度系统到更到更多自由度系统多自由度系统的振动的振动 无论是模型的简化无论是模型的简化 振动振动 的微分方程的建立和求解的一般方法 以及系统响应表现出来的微分方程的建立和求解的一般方法 以及系统响应表现出来 的振动特性等 没有本质上的差别 而主要是量上差别 的振动特性等 没有本质上的差别 而主要是量上差别 因此多自由度系统的分析 只要将两自由度系统的振动理论加因此多自由度系统的分析 只要将两自由度系统的振动理论加 以推广以推广 14 以推广以推广 多自由度系统是指具有两个以上自由度以上的动力学系统多自由度系统是指具有两个以上自由度以上的动力学系统多自由度系统是指具有两个以上自由度以上的动力学系统多自由度系统是指具有两个以上自由度以上的动力学系统 二自由度系统是最简单的多自由度系统 二自由度系统是最简单的多自由度系统 汽车左右对称汽车左右对称化为平面系统化为平面系统汽车左右对称汽车左右对称 化为平面系统化为平面系统 汽车具有前后悬架 上下运动 俯仰运动汽车具有前后悬架 上下运动 俯仰运动 第2章 多自由度系统的振动第2章 多自由度系统的振动 2 运动微分方程的建立运动微分方程的建立2 运动微分方程的建立运动微分方程的建立 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 假想存在惯性力惯性力 并参与力学的平衡 惯性力 当质点受到其它物体的作用而改变其原来的运动状态时 由于质点的惯性产生对施力物体的由于质点的惯性产生对施力物体的反作用力反作用力 由于质点的惯性产生对施力物体的由于质点的惯性产生对施力物体的反作用力反作用力 称为质点的惯性力 惯性力的大小等于惯性力的大小等于 质点的质量与其加速度的乘积 方向与加速度的方向相反方向与加速度的方向相反 并作用在施力物体上 16 FI ma 第2章 多自由度系统的振动第2章 多自由度系统的振动 2 运动微分方程的建立运动微分方程的建立2 运动微分方程的建立运动微分方程的建立 质点质点的达朗贝尔原理的达朗贝尔原理 质点质点的达朗贝尔原理的达朗贝尔原理 质点在运动的每一瞬时 作用在质点上的主动力 约束反力与质点 的惯性力构成一平衡力系的惯性力构成一平衡力系 F N FI 0 质点系质点系的达朗贝尔原理的达朗贝尔原理 质点系的达朗伯原理 在质点系运动的每一瞬时 作用于质点系上的所质点系的达朗伯原理 在质点系运动的每瞬时 作用于质点系的所 有主动力 约束反力与假想地加在质点系上各质点的惯性力构成平衡 0 I FNF 17 0 0 I ioioio I iii FmNmFm FNF 第2章 多自由度系统的振动第2章 多自由度系统的振动 2 运动微分方程的建立运动微分方程的建立 例例 2 1 P362 运动微分方程的建立运动微分方程的建立 例例 2 1 P36 两自由度的弹簧质量系统两自由度的弹簧质量系统 两 两 物体均作直线平移物体均作直线平移略去摩擦力略去摩擦力物体均作直线平移物体均作直线平移 略去摩擦力略去摩擦力 及其它阻尼及其它阻尼 取两物体为研究对象取两物体为研究对象物体离开物体离开取两物体为研究对象取两物体为研究对象 物体离开物体离开 其平衡位置的位移用其平衡位置的位移用x1 x2表示 表示 在水平方向的受力如图示在水平方向的受力如图示 由牛顿由牛顿在水平方向的受力如图示在水平方向的受力如图示 由牛顿由牛顿 第二定律得第二定律得 xxkxkxm 2312222 1221111 xkxxkxm xxkxkxm 0 xkxkkx m 18 0 0 2321222 2212111 xkkxkxm xkxkkxm 第2章 多自由度系统的振动 第2章 多自由度系统的振动 自由振动微分方程自由振动微分方程 0 0 2321222 2212111 xkkxkxm xkxkkxm 矩阵形式矩阵形式 00 xkkkxm 0 2321222 xkkxkxm 矩阵形式矩阵形式 0 0 0 0 2 1 322 221 2 1 2 1 x x kkk kkk x x m m 1 0 0m M 221 kkk kkk K 2 0m 322 kkk 质量矩阵 刚度矩阵 质量矩阵 刚度矩阵 振动方程的矩阵形式振动方程的矩阵形式 MK0 xx 第2章 多自由度系统的振动第2章 多自由度系统的振动 2 运动微分方程的建立运动微分方程的建立 例例 2 2 P372 运动微分方程的建立运动微分方程的建立 例例 2 2 P37 121 2 1111 0 C MMxM aCxKxCzKz M axIM aKM ga 20 第2章 多自由度系统的振动第2章 多自由度系统的振动 2 运动微分方程的建立运动微分方程的建立 例例 2 3 P382 运动微分方程的建立运动微分方程的建立 例例 2 3 P38 系统简化成二自由度系统系统简化成二自由度系统 即一根刚性杆 车体的简化模型 支承 即一根刚性杆 车体的简化模型 支承 在两个弹簧在两个弹簧 悬挂弹簧和轮胎的模型悬挂弹簧和轮胎的模型 上上 刚性杆作跟随其质心的刚性杆作跟随其质心的在两个弹簧在两个弹簧 悬挂弹簧和轮胎的模型悬挂弹簧和轮胎的模型 上上 刚性杆作跟随其质心的刚性杆作跟随其质心的 上下垂直振动和绕刚性杆质心轴的俯仰运动 上下垂直振动和绕刚性杆质心轴的俯仰运动 以钢杆中点垂直位移和转角为广义坐标以钢杆中点垂直位移和转角为广义坐标 可以得到动力学方程可以得到动力学方程 以钢杆中点垂直位移和转角为广义坐标以钢杆中点垂直位移和转角为广义坐标 可以得到动力学方程可以得到动力学方程 0 2211 lxklxkx m 21 0 222111 llxkllxkI c 第2章 多自由度系统的振动第2章 多自由度系统的振动 2 运动微分方程的建立运动微分方程的建立 例例 2 3 P382 运动微分方程的建立运动微分方程的建立 例例 2 3 P38 0 2211 lxklxkx m 0 222111 llxkllxkI c 合并后 合并后 22 第2章 多自由度系统的振动第2章 多自由度系统的振动 3 多自由度的无阻尼振动多自由度的无阻尼振动3 多自由度的无阻尼振动多自由度的无阻尼振动 0 2212111 xkxkkx m 0 2321222 xkkxkx m 我们感兴趣的是m1和m2是否能以相同的频率和相角 我们感兴趣的是m1和m2是否能以相同的频率和相角 但不同的振幅作简谐振动 假设在振动两个质量按同样频率和相位角作简谐振动假设在振动两个质量按同样频率和相位角作简谐振动 假设在振动两个质量按同样频率和相位角作简谐振动假设在振动两个质量按同样频率和相位角作简谐振动 tAxsin 11 最简单最特殊形式的解 tAxsin 22 11 最简单 最特殊形式的解 23 其中振幅A其中振幅A1 1与A与A2 2 频率 和相位角 都为待定常数 频率 和相位角 都为待定常数 第2章 多自由度系统的振动第2章 多自由度系统的振动 3 多自由度的无阻尼振动多自由度的无阻尼振动3 多自由度的无阻尼振动多自由度的无阻尼振动 0 2212111 xkxkkx m 为了书写简便为了书写简便 引入符号引入符号 0 2321222 xkkxkx m 为了书写简便为了书写简便 引入符号引入符号 KK 2 K 2 K 21 KK d 1 21 m KK a 1 2 m K b 2 2 m K c 2 21 m KK d 0b 0 0 212 211 dxcxx bxaxx 这是二阶常系数性齐次联立微分方程组 第一个方程中 包含 bx 这是二阶常系数性齐次联立微分方程组 第一个方程中 包含 bx2 2项 第二个方程中包含 cx项 第二个方程中包含 cx1 1项 称为项 称为耦合项耦合项 如果耦合项均为零如果耦合项均为零时 方程组便成为两个独立的单自由 度系统自由振动的微分方程 时 方程组便成为两个独立的单自由 度系统自由振动的微分方程 第2章 多自由度系统的振动第2章 多自由度系统的振动 3 多自由度的无阻尼振动多自由度的无阻尼振动 0bxax x 3 多自由度的无阻尼振动多自由度的无阻尼振动 tAxsin 0 0 212 211 dxcxx bxaxx tAx tAx sin sin 22 11 代入运动微分方程组可得代入运动微分方程组可得 sin t sin t 不恒等于零不恒等于零 2 12 sin 0aAbAt sin t sin t 不恒等于零不恒等于零 2 12 sin 0cAdAt 0 21 2 bAAa 25 0 2 2 1 21 AdcA 所以 所以 第2章 多自由度系统的振动第2章 多自由度系统的振动 0 2 bAAa 0 0 2 2 1 21 AdcA bAAa 这是这是A A1 1和A和A2 2的线性齐次代数方程组的线性齐次代数方程组 显然 A显然 A1 1 A A2 2 0 是它的解 但这只对应于系统处于静平 0 是它的解 但这只对应于系统处于静平 衡的情况衡的情况 不是我们所需的解 不是我们所需的解 A A1 1和A和A2 2具有非零性解的充要条件是系数行列式等于零具有非零性解的充要条件是系数行列式等于零 2 b 0 2 2 2 dc ba 0 242 bcadda 该方程唯一确定了频率该方程唯一确定了频率 所需满足的条件所需满足的条件 26 该方程唯一确定了频率该方程唯一确定了频率 所需满足的条件所需满足的条件 称为称为频率方程频率方程或或特征方程特征方程 第2章 多自由度系统的振动第2章 多自由度系统的振动 0 242 bdd 频率方程是频率方程是 2 2的二次代数方程的二次代数方程 它的两个特征根为它的两个特征根为 0 242 bcadda 频率方程是频率方程是 2 2的二次代数方程的二次代数方程 它的两个特征根为它的两个特征根为 2 2 bd dada m 21 KK a 2 m K b 22 2 2 1 bcad m dd 2 1 m 1 m 2 K c 21 KK d bc dada 22 m 2 m 2 m 弹簧刚度和质量恒为正数 a b c d的值都是正数弹簧刚度和质量恒为正数 a b c d的值都是正数 27 2 1 2 2 和都是实根由于和都是实根由于ad ad bc bc 2 1 和都是正数和都是正数 第2章 多自由度系统的振动第2章 多自由度系统的振动 固有频率固有频率 固有频率固有频率 2 1 2 2 和和 称为振动系统的固有频率 较低的一个称为第一阶固有频称为振动系统的固有频率 较低的一个称为第一阶固有频 率率 简称简称基频基频 较高的一个称为第二阶固有频率较高的一个称为第二阶固有频率 率率 简称简称基频基频 较高的一个称为第二阶固有频率较高的一个称为第二阶固有频率 28 第2章 多自由度系统的振动第2章 多自由度系统的振动 固有振型固有振型 固有振型固有振型 将特征值将特征值 2 1 2 2 和和 分别代回方程组分别代回方程组 0 0 2 21 2 AdA bAAa 12 和和 0 2 2 1 AdcA 2 1 1 2 caA v 对应于对应于 22 和和 任一式任一式 2 2 2 2 2 1 1 1 1 caA dbA v 对应于对应于 2 1 2 2 和和 振幅A振幅A1 1和A和A2 2之间之间 2 2 2 2 1 2 2 dbA v 有两个确定的比值 有两个确定的比值 这个比值称为这个比值称为振幅比振幅比这个比值称为这个比值称为振幅比振幅比 虽然振幅大小与初始条件有关 但当系统按任一固有频率振动虽然振幅大小与初始条件有关 但当系统按任一固有频率振动 时时 振幅比却和固有频率一样只决定于系统本身的物理性质振幅比却和固有频率一样只决定于系统本身的物理性质 29 时时 振幅比却和固有频率一样只决定于系统本身的物理性质振幅比却和固有频率一样只决定于系统本身的物理性质 固有振型 主振型 固有振型 主振型 22 对应于对应于 2 1 2 2 和 振幅A 和 振幅A1 1和A和A2 2 之间有两个确定的比值 之间有两个确定的比值 tAxsin 11 tAxsin 22 11 两个质量任一瞬时的位移的比值两个质量任一瞬时的位移的比值x x x x 也同样是确定的也同样是确定的 两个质量任一瞬时的位移的比值两个质量任一瞬时的位移的比值x x1 1 x x2 2也同样是确定的也同样是确定的 并且等于振幅比 并且等于振幅比 o在振动过程中系统各点位移的相对比值都可由振幅比确定在振动过程中系统各点位移的相对比值都可由振幅比确定 o振幅比决定了整个系统的振动形态振幅比决定了整个系统的振动形态 称为称为主振型主振型 o振幅比决定了整个系统的振动形态振幅比决定了整个系统的振动形态 称为称为主振型主振型 与与 1 1对应的振幅比对应的振幅比 1 1称为称为第一阶主振型第一阶主振型 与与 1 1对应的振幅比对应的振幅比 1 1称为称为第一阶主振型第一阶主振型 与 与 2 2对应的振幅比 对应的振幅比 2 2称为称为第二阶主振型 第二阶主振型 固有振型 主振型 固有振型 主振型 2 1 bc dada 2 2 m 2 1 2 1 1 1 1 2 1 d c b a A A v bc 2 1 22 m 2 2 2 2 2 1 2 2 2 d c b a A A v 0 22 1 2 1 bc dada b v 0 1 22 2 b dada b 0 22 1 2 1 bc dada b v 0 1122 m b lKlK c I lKlK c 表明两种主振动如以相同的角位作比较 第一阶主振动的质心位移表明两种主振动如以相同的角位作比较 第一阶主振动的质心位移 远大于第二阶主振动的质心位移远大于第二阶主振动的质心位移 第一阶主振动以上下垂直振动为第一阶主振动以上下垂直振动为远大于第二阶主振动的质心位移远大于第二阶主振动的质心位移 第一阶主振动以上下垂直振动为第一阶主振动以上下垂直振动为 主 其主振型如图 所示 主 其主振型如图 所示 表明两种主振动如以相同的角位作比较表明两种主振动如以相同的角位作比较 第一阶主振动的质心第一阶主振动的质心表明两种主振动如以相同的角位作比较表明两种主振动如以相同的角位作比较 第一阶主振动的质心第一阶主振动的质心 位移远大于第二阶主振动的质心位移 第一阶主振动以上下垂位移远大于第二阶主振动的质心位移 第一阶主振动以上下垂 直振动为主直振动为主 其主振型如图所示其主振型如图所示 直振动为主直振动为主 其主振型如图所示其主振型如图所示 第二阶主振动以杆绕质心轴的俯仰振动为主 其主振型如下第二阶主振动以杆绕质心轴的俯仰振动为主 其主振型如下 图所示图所示图所示图所示 ll lKlK 2211 lKlK 如果如果0 1122 m lKlK b0 1122 c I lKlK c 0 0 dcx baxx 中耦合项均为零 简化为 中耦合项均为零 简化为 0 ax x 0 d 0 dcx 0 d 相当于两个单自由度系统各自独立地作不同固有频率的主振动相当于两个单自由度系统各自独立地作不同固有频率的主振动相当于两个单自由度系统各自独立地作不同固有频率的主振动相当于两个单自由度系统各自独立地作不同固有频率的主振动 KK a 21 m a 1 ll 22 bc dada 2 2 2 1 22 m c I lKlK d 2 22 2 11 2 静力耦合和动力耦合静力耦合和动力耦合 静力耦合和动力耦合静力耦合和动力耦合 一般情况下两自由度系统振动微分方程组为一般情况下两自由度系统振动微分方程组为 一般情况下两自由度系统振动微分方程组为一般情况下两自由度系统振动微分方程组为 0 212111112111 xkxkxmxm 0 222121222121 xkxkxmxm 0 0 dcx baxx 方程组中坐标之间有耦合的情况称为方程组中坐标之间有耦合的情况称为 静力耦合静力耦合或或弹性耦合弹性耦合 静力耦合静力耦合或或弹性耦合弹性耦合 静力耦合和动力耦合静力耦合和动力耦合 以弹簧支承处的位移x以弹簧支承处的位移x1 1与x与x2 2为独为独 立座标建立振动微分方程立座标建立振动微分方程立座标建立振动微分方程立座标建立振动微分方程 x x1 1与x与x2 2同x与同x与 之间有如下关系 之间有如下关系 11 lxx 22 lxx ll 转换后得转换后得 21 2112 ll xlxl x 21 21 ll xx 代入代入 2211 lxKlxKxm 可得可得 代入代入 222111 lxlKlxlKI c 可得可得 ll 2211 21 2112 xKxK ll xlxl m 222111 21 21 xlKxlK ll xx Ic 静力耦合和动力耦合静力耦合和动力耦合 2211 21 2112 xKxK ll xlxl m 222111 21 21 xlKxlK ll xx Ic 0 221212112112 xllKxllKxmlxml 0 221221211121 xlllKxlllKxIxI cc 该方程组中不仅座标有耦合该方程组中不仅座标有耦合 而且包含加速度的项也有耦合而且包含加速度的项也有耦合 该方程组中不仅座标有耦合该方程组中不仅座标有耦合 而且包含加速度的项也有耦合而且包含加速度的项也有耦合 这种加速度之间有耦合的情况 称为这种加速度之间有耦合的情况 称为动力耦合动力耦合或或惯性耦合 惯性耦合 如果选取的座标恰好可使微分方程组的耦合项全等于零 既无 静力耦合 又无动力耦合 就相当于两个单自由度系统 如果选取的座标恰好可使微分方程组的耦合项全等于零 既无 静力耦合 又无动力耦合 就相当于两个单自由度系统 这时的坐标就称为这时的坐标就称为主坐标主坐标 主坐标主坐标 能够使振动微分方程组完全解耦的广义坐标能够使振动微分方程组完全解耦的广义坐标 主坐标主坐标 能够使振动微分方程组完全解耦的广义坐标能够使振动微分方程组完全解耦的广义坐标 在特殊情况下在特殊情况下 由于结构上的安排由于结构上的安排 可以找到明显的主座标可以找到明显的主座标在特殊情况下在特殊情况下 由于结构上的安排由于结构上的安排 可以找到明显的主座标可以找到明显的主座标 c c为汽车的回转半径为汽车的回转半径 2 cc mI 0 0 221221211121 221212112112 xlllKxlllKxIxI xllKxllKxmlxml cc 第一式乘以 分别与第二式乘以l第一式乘以 分别与第二式乘以l1 1相加相加 2 c 2222 llllll 0 0 221212121 2 1121 2 11 2 221 2 2121 2 121 2 12 2 xllllKxlllKxlmxlm xllKxllKxlmxlm cc cccc 0 22121 2 2121 2 1 2 1121 2 xllllKxlllKxllm ccc 主坐标主坐标 能够使振动微分方程组完全解耦的广义坐标能够使振动微分方程组完全解耦的广义坐标 主坐标主坐标 能够使振动微分方程组完全解耦的广义坐标能够使振动微分方程组完全解耦的广义坐标 在特殊情况下在特殊情况下 由于结构上的安排由于结构上的安排 可以找到明显的主座标可以找到明显的主座标在特殊情况下在特殊情况下 由于结构上的安排由于结构上的安排 可以找到明显的主座标可以找到明显的主座标 c c为汽车的回转半径为汽车的回转半径 2 cc mI 0 0 221221211121 221212112112 xlllKxlllKxIxI xllKxllKxmlxml cc 第一式乘以 分别与第二式乘以l第一式乘以 分别与第二式乘以l1 1相减相减 2 c 0 2222 xllKxllKxlmxlm 0 0 221 2 2212121122 2 12 2 221212112112 xlllKxllllKxlmxlm xllKxllKxlmxlm cc cccc 0 221 2 2 2 212121 2 1221 2 xlllKxllllKxllm ccc 0 22121 2 2121 2 1 2 1121 2 xllllKxlllKxllm ccc 0 221 2 2 2 212121 2 1221 2 xlllKxllllKxllm ccc 在汽车设计中希望一个轮子在行车时受到跳动不传动另一个轮在汽车设计中希望一个轮子在行车时受到跳动不传动另一个轮 在汽车设计中希望一个轮子在行车时受到跳动不传动另一个轮在汽车设计中希望一个轮子在行车时受到跳动不传动另一个轮 子上去 可使车体质量分布和前后轮的位置之间满足条件 子上去 可使车体质量分布和前后轮的位置之间满足条件 21 2 ll c 上面方程组中将无耦合项上面方程组中将无耦合项 成为成为 0 1 2 22 11 1 x m lK x c c 上面方程组中将无耦合项上面方程组中将无耦合项 成为成为 0 2 2 22 22 2 x m lK x c c c 这时弹簧支承处的位移x这时弹簧支承处的位移x1 1和x和x2 2便是主坐标便是主坐标 两个独立的主振动的固有频率为 两个独立的主振动的固有频率为 22 llKlK 212 22 22 llKlK 2 211 2 22 11 1 ml llK m lK c c 1 212 2 22 2 ml llK m lK c c 2 如果同时满足两个条件 如果同时满足两个条件 2211 lKlK 21 2 ll c 0 1 2 22 11 1 x m lK x c KK 0 2 2 22 22 2 x m lK x m c c 由可得由可得 m KK 21 21 m c 特征值出现两个相等的实根特征值出现两个相等的实根 即两个固有频率相等即两个固有频率相等 特征值出现两个相等的实根特征值出现两个相等的实根 即两个固有频率相等即两个固有频率相等 这时对应的主振型将不是唯一的 这时对应的主振型将不是唯一的 振动方程组解耦振动方程组解耦 k1k2 F1F 2 k 3 k1k2 m 1 m 2 xx 1 2 k 3 两自由度弹簧 质量 系统 两自由度弹簧 质量 系统 1 2 振动微分方程组振动微分方程组 12212111 Fxkxkkxm 振动微分方程组振动微分方程组 22321222 Fxkkxkxm 1122111 0 0 F F x x kkk kkk x x m m 矩阵形式 矩阵形式 2232222 0Fxkkkxm 2Fkxkxxm 如果m如果m1 1 m m2 2 m k m k1 1 k k2 2 k k3 3 k k 1211 2Fkxkxxm