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轿车发动机排气歧管模态分析 摘要：本文研究发动机排气歧管总成的模态方面的性能参数。将排气歧管离散成具有多自由度的系统，再用软件得到每个节点的坐标。通过各节点的坐标值来确定整个系统的位移变化情况，从而得到排气歧管的振动频率和固有振型。本章主要包括振动系统、模态应用、固有特性分析、响应分析、固有频率、固有振型。1 振动系统振动系统一般可分为连续系统或离散系统。具有连续分布的质量与弹性的系统，称为连续弹性体系统。弹性体是具有无限多自由度的系统，它的振动规律要用时间和空间坐标的函数来描述，其运动方程是偏微分方程。现实中的物体主要是连续系统。 在一般情况下，要对连续系统进行简化，用适当的准则将分布参数“减缩”成有限个离散的参数，这样便得到离散系统。所建立的振动方程是常微分方程。由于所具有的自由度数目上的区别，离散系统又称为多自由度系统。计算时多采用离散系统来模拟现实。2 模态的应用模态是指结构在自由振动时所具有的基本振动特性。结构模态是由结构本身的特性与材料特性所决定的，与外载等条件无关。模态分析就是用于确定结构或机器部件的振动特性(固有频率、振型、阻尼比等)的。固有频率和振型是承受动力载荷结构设计中的重要参数，也是其他动力学分析、瞬态动力学分析、谐响应分析等的起点。模态分析技术的应用十分广泛，它已经成功应用于汽车工业、航空航天、兵器等各个工程应用领域，其应用可分为以下凡方面：(1)评价现有结构系统的动态特性根据模态分析的结果，即模态频率、模态振型、模态阻尼等模态参数，对被测结构进行直接的动态性能评估。若对评估的结果不满意，可以有针对性的对局部或整体进行修改。(2)在结构动态设计中的应用以模态分析为基础的结构动态设计，是近年来振动工程界开展最为广泛的研究领域之一。有限元法为结构动态设计提供了非常有效的途径，它能够对新设计结构的动态特性进行预估，从而为其优化提供依据。(3)诊断及预报结构系统的故障利用模态分析得到的模态参数等结果进行故障判别，日益成为一种有效而实用的故障诊断和安全检验方法。如根据模态频率的变化判断裂纹的出现；根据振型的分析判断裂纹的位置；根据转子支撑系统阻尼的改变判断和预报转子的失稳；土木工程中依据模态频率的变化判断水泥桩中是否有裂纹和空隙等。(4)控制结构的辐射噪声结构辐射噪声是由于结构振动所引起的。结构振动时，各阶模态对噪声的“贡献”并不相同，对噪声贡献较大的几阶模态称为“优势模态”。抑制或放开优势模态，便可降低噪声。而优势模态的确定，必须建立在模态分析的基础之上。3固有特性分析结构的固有特性由结构本身决定，与外部载荷无关，它由一组模态参数定量描述。模态参数包括固有频率、模态振型、模态质量、模态刚度和模态阻尼比等，其中最重要的参数是固有频率、模态振型和模态阻尼比。固有特性分析就是对模态参数进行计算，其目的一是避免结构出现共振和有害的振型，二是为响应分析提供必要的依据。固有特性分析又称模态分析，模态分析的计算方法有子空间迭代法、Block Lanczos法、非对称法、阻尼法等。本文进行模态分析所采用的软件是ABAQUS6-10，它提供了子空间迭代法和Block Lanczos法两种计算方法，所以在此仅介绍这两种算法的基本原理。3.1子空间迭代法子空间迭代法是将矩阵迭代法与李兹法相结合的一种近似计算方法。它对求解自由度数较大系统的较低阶固有频率及主振型非常有效。它可以有效地克服由于等固有频率或几个频率非常接近时会收敛出现速度慢的困难。在复杂结构的振动分析中，与其它方法相比，子空间迭代法具有精度高和可靠性高的优点。它已成为复杂结构振动分析的最有效的方法之一。其基本原理如下18：设广义特征值问题由下式给出： (1.1)式中:A为N阶实对称正定或半正定矩阵；X为特征向量组成的模态矩阵；为以特征值为主对角元的对角矩阵。 设矩阵A的特征值为,且，相应的特征向量为。求解对称矩阵特征值问题的子空间迭代法是乘幂法的直接推广。与后者相比较，前者的收敛性有明显改进，设P是正整数，且RPN，X0是列规范正交初始矩阵，则计算A的R个最大特征值及相应特征向量的子空间迭代法可概述如下： (1)取列正交初始矩阵；(2)计算X=AX0；(3)进行QR分解，其中Q是列正交矩阵，R是P阶上三角矩阵；(4)形成Rayleigh商矩阵；(5)计算B的特征值及相应的特征向量 (可用Jacobi方法或QL方法)，令；(6)计算Ritz向量矩阵；(7)判断收敛性：若,则结束，否则，转到第(2)步；(8)用Sturm序列验证一算出的特征对，检查是否丢根。3.2 Block Lanczos法Block Lanczos算法是用一组向量来实现Lanczos递归计算。当计算某系统特征值所包含一定范围的固有频率时，采用分块兰索斯(Block Lanczos)法提取模态特别有效。计算时，求解从频率谱中间位置到高频端范围内的固有频率时的求解收敛速度和求解低阶频率时基本上一样快。该方法特别适用于大型对称结构的特征值求解问题。其具体步骤如下：初始化(1)确定Block Lanczos法块宽q与生成步数r：(2)选取初始向量矩阵；(3)设定每次移轴的最大迭代次数。移轴(1)计算移轴，应设法保证它不是特征值；(2)分解移轴刚度矩阵；(3)Sturm序列校核。 迭代次，完成后转向(1)对k=0,1,2,.r解，然后将对已收敛的特征向量以及作M正交归一化，并形成。在此过程中形成；(2)求解阶标准特征值问题；(3)形成新的近似特征向量；(4)按模态误差判断特征值和特征向量的收敛，移出己收敛的特征向量；(5)如果达到了预期的特征值个数，退出；否则将未收敛的前q个近似向量作为初始向量进行下一次迭代。4 响应分析响应分析的目的是计算结构在动载荷作用下，节点位移、速度和加速度的变化规律。因此响应分析的任务就是求解二阶常微分方程组:求解上述方程组的数值方法主要有振型叠加法和直接积分法。4.1 振型叠加法振型叠加法适合于阻尼矩阵可以对角化的情况。该法是根据矩阵与模态矩阵的正交性，即 式中，模态矩阵是各阶模态振型组成的矩阵，。利用模态变换 (1.2)将微分方程组化为以模态坐标(x)表示的、互不耦合的二阶微分方程:式中:，由于均为对角矩阵，因此上述方程实际上包括n个独立的线性微分方程: 分别求解这n个方程，就可以求出n个值，再回代到式（1.2），就可以求出动态响应。根据结构振动理论，在动载荷的作用下，结构动态响应可以表示为其各阶主模态振型的线性叠加，即: （1.3）式中:为组合系数，又称为模态坐标。这就是模态变换式(12)的物理意义，也是振型叠加法的由来。由于结构的动态响应主要由少数低阶模态决定，式(1.3)的叠加项可以取得少些，从而使方程的阶次得到缩减。4.2 直接积分法当不能采用振型叠加法时，可用直接积分法求解微分方程。该方法是一种纯粹的数值方法，不涉及任何物理概念。其基本思想是：把一个连续时间区间离散为n+1个离散点，每两个离散点之间具有相同的时间间隔 (T为周期)，由初始状态t=0开始，逐步求出每个时间离散点，2，3,，T上的状态向量(通常由位移、速度、加速度等组成)，最后求出的状态向量就是动态响应解。在直接积分法中，是假定初始时刻t=0的解为已知条件下，逐步由一个离散点的解计算下一个离散点的解，即求时刻的解是以t时刻解为基础的，因此该法又称为逐步积分法。由于状态变量本身就是未知的，所以为了由前一时刻的解推算下一时刻的解，就需要假设状态变量的变化规律。不同形式的假设就形成了具体的直接积分法，如威尔逊法、纽马克法、中心差分法等。由以上数值分析步骤可以看出，有限元法可以将一组非常复杂的偏微分方程式转换成一组很简单的线性方程式，这就是有限元法得以成功的原因之一。5 固有频率5.1 模型描述a）原模型描述采用四面体单元，单元数量为308323，节点数量为44487，单元类型为C3D4如图1。b）优化后模型描述采用四面体单元，单元数量为296832，节点数量为42564，单元类型为C3D4如图2。 图1原模型 图2优化后模型5.2固有频率a）原模型固有频率 1阶2阶3阶4阶5阶6阶固有频率（Hz）939.181179.51917.02023.02364.52732.3对应转速(r/min）2817535385575106069070793581969表1 原模型固有频率及对应的转速b）优化后模型固有频率1阶2阶3阶4阶5阶6阶固有频率（Hz）1702.11993.62127.02424.32789.12995.8对应转速(r/min）510635980863810727298367389874表2 优化后模型固有频率及对应的转速由上面表1.1可以看出，原模型的固有频率不在发动机常用工作转速（3000r/min）之内，因此不会引起排气歧管的共振。由表1.2可以看出，优化后模型的固有频率每阶都不在发动机常用转速之内，从而避开了由于发动机的振动而引起的排气歧管的共振现象。由表1.1和表1.2对比可知：优化后的模型的固有频率较原模型的固有频率各阶都提高了，说明优化后的强度提高了。6 固有振型6.1 振型描述a）原模型振型描述，见表1.3振动阶次振型描述1阶（图1.3）催化器末端沿绕X轴前后振动2阶（图1.4）催化器部位分别绕X,Y轴扭转振动的合成振动3阶（图1.5）排气歧管末端分别沿Y,Z轴方向振动的合成振动4阶（图1.6）4号排气歧管部位分别绕X,Y轴扭转振动的合成振动5阶（图1.7）催化器部位分别绕X,Y轴扭转振动的合成振动6阶（图1.8）4号排气歧管部位围绕X进行扭转振动表3原模型振型描述b）优化后振型描述，见表1.4振动阶次振型描述1阶（图1.9）催化器末端分别绕X,Y轴扭转振动的合成振动2阶（图1.10）催化器部位分别绕X,Y轴扭转振动的合成振动3阶（图1.11）催化器部位分别绕X,Z轴扭转振动的合成振动4阶（图1.12）4号排气歧管部位分别绕X,Y轴扭转振动的合成振动5阶（图1.13）排气歧管末端分别绕X,Y轴扭转振动的合成振动6阶（图1.14