08第八章习题解答.pdf

理论力学第八章习题解答 1 第八章习题解答第八章习题解答 8 1 匀质杆 AB 长 l 重 G 沿光滑的圆弧轨道运动如图示 设当 OA 在 水平位置时 53arcisn 125glvA 求此时轨道对于杆 AB 的约束力 题 8 1 图 解 以杆 AB 为研究对象 受力分析 A FN B FN G 如图示 杆 AB 作定轴转动 5 3 arcsin 5 3 sin 5 4 cos 25 24 2sin 25 7 2cos lR 8 5 12 5gl vA l g R vA 15 16 lOC 8 3 AB杆的质心加速度为OCa 2 1 OCa 2 惯性力主矢 F 和主矩 M方向如图所示 大小为 mgl l g mamF 5 2 8 3 15 16 1 1 lmamF 8 3 2 2 222 192 43 8 3 12 1 mllmmlM 题8 1答案图 理论力学第八章习题解答 2 列平衡方程式 0 Fm z O 0 192 43 5 3 8 3 2 mllmg l g 215 216 0 ix F 0sincos2cos N 1 2N AB FFFF 0 iy F 0cossin2sin 1 2N mgFFF B mg l g mlF 215 81 215 216 8 3 2 代入上式得 mgF B 43 49 N mgF A 43 37 N 理论力学第八章习题解答 3 8 2 匀质杆AB长l 重G 用两根软绳悬挂如图示 求当其中一根软绳 切断 杆AB开始运动时 另一根软绳中的拉力 题8 2图 解 建立参考基eC 连体基 1 eO 和 2 eB 设当AO被切断时 BO的角加速度为 1 AB杆的角加速度为 2 题8 2答案图 以杆AB为研究对象 受力分析如图示重力G 绳中张力 T F 杆AB作平面 运动 惯性力主矢 F 和主矩 M方向如图所示 大小为 C maF 2 C JM e C e C e tCC aaaa 222 0 2 e C a e B e B e tC aaa 112 0 1 e B a B e B aa 1 e C e BC aaa 21 e C e BC amamam 21 11 1 2 2 l mmaF e B 22 2 2 l mmaF e C 2 2 12 1 mlM 0 FmDz 0 12 1 442 2 2 2 ml l mg lml l g 5 6 2 0 FmCz 0 12 1 2 2 2 2 2 T ml l F mgF 5 2 T 理论力学第八章习题解答 4 8 3 匀质杆AB长2l 重G 一端A用长l的软绳OA拉住 一端B放 在光滑地面上如图示 设开始运动时 OA在水平位置 AB与铅垂线成 角 43 tg 速度为零 求此时AB杆的角加速度以及B点的加速度 题8 3图 解 以杆AB为研究对象 受力分析如图示重力G 绳索张力 T F 光滑面的约 束力 N F 杆AB作平面运动 惯性力主矢 F 和主矩 M方向如图所示 大小为 cxx maF cyy maF 22 3 1 2 12 1 mllmJM c 题8 3答案图 在A点建立杆AB的连体基 1 eA C是连体基1上的固定点 e C e C e tCC aaaa 111 0 1 e C a llaa e ccx 5 4 5 4 cos 1 在B点建立杆AB的连体基 2 eB C是连体基2上的固定点 理论力学第八章习题解答 5 e C e C e tCC aaaa 222 0 2 e C a llaa e ccy 5 3 5 3 sin 2 5 4 2 laa e Bcx 建立平衡方程 0 Fm zB 0 5 3 5 3 5 4 lmgFlFM yx 代入数据 AB杆的角加速度 l g 20 9 glacx 25 9 5 4 B点的加速度 g l g laa cx e B 25 18 20 9 5 4 2 理论力学第八章习题解答 6 8 4 上题中 设开始运动时 A点具有向下的速度 大小为gl 求该瞬 时杆AB的角加速度以及B点的加速度 题8 4图 题8 4答案图 解 以杆AB为研究对象 受力分析如图示重力G 绳索张力 T F 光滑面的约 束力 N F 杆AB作平面运动 lAB2 lAD 5 6 lBD 5 8 l g l gl 6 5 5 6 题8 4答案图 在A点建立杆AB的连体基 1 eA C是连体基1上的固定点 e C e C e tCC aaaa 111 e A e A e tC aaa 1 lgaa l v a e C e C A xC 5 4 12 7 cossin 11 2 在B点建立杆AB的连体基 2 eB C是连体基2上的固定点 理论力学第八章习题解答 7 e C e C e tCC aaaa 222 e B e tC aa 22 lgaaa e C e CyC 5 3 9 5 sincos0 22 惯性力主矢 F 和主矩 M方向如图所示 大小为 xCx maF yCy maF 22 3 1 2 12 1 mllmJM C 列平衡方程式 0 Fm z D 0 5 3 5 3 5 4 lmgMlFlF yx 0 5 3 3 1 3 1 25 9 25 16 15 7 222 mglmlmglmlmlmgl 杆AB的角加速度 l g 20 3 g l g lgaCx 300 139 20 3 5 4 12 7 B点的加速度 g gggaaaa e C e CCxB 150 11 5 4 20 3 12 5 300 139 5 4 5 3 222 理论力学第八章习题解答 8 8 5 长l 重G的两根相同的匀质杆AB与CD以软绳AC与BD相连 并在AB的中点用铰链O固定如图示 求当BD被剪断的瞬间B与D点的加速 度 题8 5图 解 以系统为研究对象 主动力为重力mg和O点的约束反力 杆AB作定轴转 动 杆CD作平面运动 题8 5答案图 建立参考基eO 在O点建立AB杆的连体基 1 eO A是连体基1上的固定点 在A点建立AC杆的连体基 2 eA C是连体基2上的固定点 在C点建立CD杆的连体基 3 eC O2是连体基3上的固定点 e C e C e tCC aaaa 222 A e tC aa 2 1 2 l aA 0 2 e C a ACa e C 22 ACaCx 2 2 1 l aCy e O e O e tOO aaaa 2222 333 C e tO aa 2 3 0 2 3 e O a 33 2 2 l a e O ACa xO 2 2 22 31 2 ll a yO 惯性力主矢 F 和主矩 M方向如图所示 大小为 ACmFx 2 22 31 ll mFy 1 2 1 12 1 mlM 3 2 3 12 1 mlM 列平衡方程式 理论力学第八章习题解答 9 0 1 Fm zO 0 12 1 12 1 3 2 1 2 mlml 31 再以CD杆为研究对象 0 FmCz 0 212 1 22 2 3 2 31 l mgml ll m l l g 7 6 31 0 ix F 0 2 ACm 0 2 B点的加速度 g l aB 7 3 2 1 e D e D e tDD aaaa 333 C e tD aa 3 0 3 e D a gla e D 7 3 3 D点的加速度 0 Dx a g l g l l gl aDy 7 9 7 6 7 6 2 理论力学第八章习题解答 10 8 6 长l 重G的两根相同的匀质杆AB与CD铰接后一端A用铰链固 定 另一端C置于光滑水平面上如图示 求从图示位置无初速地开始运动时 水平面对杆的约束力 题8 6图 解 以杆AB和杆BC为研究对象 受力分析如图示G C FN Ax F Ay F 杆 AB作定轴转动 BC杆平面平行运动 在C点建立参考基eC 在A点建立AB杆的连体基 1 eA 在B点建立BC杆的连体基 2 eB 1 2 1 l aO e O e O e tOO aaaa 2222 222 12 2 laa B e tO 0 2 2 e O a 22 2 2 l a e O 惯性力主矢 F 和主矩 M方向如图所示 大小为 1 1 2 l mF 1 2 1 12 1 mlM 1 2 mlF 2 3 2 l mF 2 2 2 12 1 mlM 题8 6答案图 根据达朗贝尔原理 以整体为研究对象建立平衡方程 0 FmAz 理论力学第八章习题解答 11 0 2 3 2 2 4 3 2 2 2 1 1 l GMlFM l F 1 以杆BC为研究对象建立平衡方程 0 FmBz 0 2 3 42 3 22 2 2 3 lF l F l GM l F NC 2 代入惯性力得 0 2 3 12 1 4 3 12 1 4 1 2 2 1 2 1 2 1 2 mglmlmlmlml 3 0 2 3 4 1 4 3 12 1 4 1 1 2 2 2 2 2 lFmlmglmlml NC 4 运动学约束方程 e C e C e tCC aaaa 222 5 其中 12 laa B e tC 0 2 e C a 22 la e C 5 在y轴方向上投影 2 3 2 3 0 21 ll 得 21 代入 3 4 式得 l g 7 33 21 水平面对杆的约束力 mgF C 7 4 N 理论力学第八章习题解答 12 8 7 图中 杆AB BC为长度相等 质量不等的两匀质杆 已知从图 示位置无初速地开始运动时 BC杆中点M的加速度与铅垂线成 30 角 求两 杆质量之比 题8 7图 解 以杆AB和杆BC为研究对象 质量分别为 AB m BC m 受力分析如图示重力 gmAB gmBC和约束力 Ax F Ay F AB杆作定轴转动 BC杆作平面平行运动 建立图示连体基A 1 e B 2 e AB杆的角加速度为 1 BC杆的角加速度为 2 方向如图所示 11 2 l aO 惯性力主矢 F 和主矩 M方向如图所示 大小为 1 1 2 l mF AB 1 2 1 12 1 lmM AB MBCa mF 2 2 2 2 12 1 lmM BC 题8 7答案图 理论力学第八章习题解答 13 根据达朗贝尔原理 以整体为研究对象 建立平衡方程 0 FmA 0 44 3 2 2 2 1 1 l gmMlFM l F AB 1 以杆BC为研究对象建立平衡方程 0 FmB 0 22 3 2 2 2 l gmM l F BC 2 将惯性力代入 1 2 式 0 412 1 4 3 12 1 4 2 2 1 2 1 l gmlmlamlm l m ABBCMBCABAB 3 0 212 1 4 3 2 2 l gmlmlam BCBCMBC 4 运动学约束方程 e M e M e tMM aaaa 222 5 其中 BB e tM aaa 12 0 2 e M a 22 2 l a e M 5 式在 M a 方向上和垂直于 M a 方向上投影 2 3 22 3 21 l laM 6 2 1 22 1 0 21 l l 7 得 12 2 把 M a代入 3 4 式 0 412 1 16 3 8 3 3 1 2 2 2 2 1 2 1 2 l gmlmlmlmlm ABBCBCBCAB 0 212 1 16 3 8 3 2 2 2 2 1 2 l gmlmlmlm BCBCBCBC 由上述方程得 l g 11 6 1 l g 11 12 2 两杆质量之比 3 14 BC AB m m 理论力学第八章习题解答 14 8 8 一质量为m的斜面置于光滑水平面上 在斜面上 又放一质量为 m1的匀质圆柱如图示 设圆柱与斜面间的摩擦因数为f 求圆柱在斜面上作 纯滚动的条件 题8 8图 题8 8答案图 解 以系统为研究对象 斜面作平动 圆柱作平面平行运动 建立图示参考基O e 连体基A 2 e 连体基B 1 e e tA r AA aaa 22 12 aa e tA 惯性力主矢 F 和主矩 M方向如图所示 大小为 1 1 maF 11 e 21 2 amamF tA r 21 3A amF 2 C JM 其中 2 r 2 ra A 题8 8答案图 根据达朗贝尔原理 以系统为研究对象列平衡方程 0 ix F 0cos 3 2 1 FFF 0cos r 21111 A amamma 理论力学第八章习题解答 15 1 r 21 1 cos mm am a A 1 以圆柱为研究对象列平衡方程 0 FmA 0 f MrF 0 2 1 r 22 1f r a rmrF A r 21f 2 1 A amF 2 0 FmC 0 2 1 sincos 0sincos r 22 1 r 21111 3 2 r a rmramrgmram MrFmgrF A A r 2 2 3 sincos A aga 3 0 1 y F 0sincos 111N amgmF C 4 解之得 2 11 1r 2 cos2 3 sin 2 mmm gmm a A 5 2 11 1 1 cos2 3 cossin2 mmm gm a 6 当圆柱在斜面上纯滚动时 fFF CNf 以 5 6 代入 2 4 后再代入上式化简可得 圆柱在斜面上作纯滚动的条件为 tan 3 1 1 mm mm f 理论力学第八章习题解答 16 8 9 质量为m1的单摆 其支点固定于一圆轮的中心O 圆轮则放在一粗 糙的水平面上如图示 设圆轮的质量为m 可以看作匀质圆盘 求在图示位置无 初速地开始运动时轮心的加速度 题8 9图 解 以圆轮和单摆 质点 为研究对象 受力分析如图示二物体的自重和 f F N F 圆轮作平面平行运动 建立参考基eA 和圆轮连体基 1 eO raO 1 r 1 e 1BBtB aaa OtB aa e 1 la B2 r 1 惯性力主矢 F 和主矩 M方向如图所示 大小为 rmF 1 1 rmF 11 2 lmF 21 3 1 2 2 1 mrM 题8 9答案图 根据达朗贝尔原理 以系统为对象列平衡方程式 0 FmD 0sin cos cos 2 3 1 mglrlFrlFMrF 再以质点为对象列平衡方程式 0 Fmo 0sincos 1 2 3 glmlFlF 理论力学第八章习题解答 17 0sin cos cos 2 1 111211 22 1 glmrlrmrllmmrrm 0sincos 111 2 21 glmlrmlm 上式消去 2 cossin sin 2 3 1 2 1 mgrmm 轮心的加速度 2 1 1 sin23 2sin mm mg raO 理论力学第八章习题解答 18 8 10 计算下列机构在图示位置平衡时主动力之间的关系 构件的重量以 及摩擦阻力均可略去不计 题8 10图 解 a 该机构有一个自由度 由虚位移原理 有 0 C xFM 1 用速度法 根据运动学关系 ABD lv 00 60cos30cos xCD vv 速度投影定 理 同一刚体上不同的二点速度在其连线上的投影相等 ABxC lv 3 所以有虚位移的关系 lSD 00 60cos 30cos CD xS 3 lxC 代 入 1 式 3 lFM FlM3 用坐标法 cos2lxC sin2 lxC 0 60 代入 1 式可得 题8 10 a 答案图 理论力学第八章习题解答 19 b 该机构有一个自由度 由虚位移原理 有 0 MSF B 1 根据运动学关系 DCD lv 根据相对刚体运动的任意点的速度公式 DCDD lvv 2 1 2 1 e DCDB lvv e 2 所 以 有 虚 位 移 的 关 系 lSD 2 1 2 1 e lSS DD 将 2 e lSS DB 代入 1 式 0 MFl FlM 题8 10 b 答案图 C 该机构有一个自由度 由虚位移原理 有 0 C yFM 1 根据作用点的运动学关系 速度法 rvA cos cos BA vv 速 度投影定理 cos2sin 290cos CBB vvv cos cos cos2sin r vC 所以有虚位移的关系 rSA cos cos BA SS cos 2sin 290cos CBB ySS 将 cos cos cos2sin r yC代入 1 0 cos cos cos2sin r FM 理论力学第八章习题解答 20 ctgtg Fr M 2 题8 10 c 答案图 理论力学第八章习题解答 21 8 11 重kN1 0的板用等长而平行的杆AB与CD支持如图示 设杆重可以 不计 问在板上作用多大的水平力 使杆能在 30 时平衡 题8 11图 题8 11答案图 解 根据虚位移原理 建立参考系eA 所有主动力的虚功0 W 0 xFyG 重力作用点y坐标为 1 sinCly cos ly C1为常数 F力作用点x坐标为 2 cosCx sin lx C2为常数 0sin cos FllG kN173 0 sin cos GF 理论力学第八章习题解答 22 8 12 上题中 设在AB杆上作用一力偶M来维持平衡 求此力偶的大小 已知杆长0 2m 如果力偶作用在板上 则结果有无不同 题8 12图 题8 12答案图 解 根据虚位移原理 建立参考系eA 所有主动力的虚功0 W 0 yGM 重力作用点y坐标为 1 sinCly cos ly C1为常数 0cos GM kN017 0cos GlM 如果力偶作用在板上 力偶在系统的任何虚位移 平动 过程中均不做功 则0 W 系统不能平衡 理论力学第八章习题解答 23 8 13 杆AB CD由铰链C联结 并由铰链A D固定如图示 在AB杆 上作用一铅垂力F 在CD杆上作用一力偶 其矩为M 不计杆重 求支座D处 的约束力 题8 13图 解 首先解除固定铰链D的x方向的约束 代之以 xD F约束力 则系统有一个自 由度 根据虚位移原理有 0 W 0 DxDB xFMyF 1 根据运动学的关系可以得到 ABC av 2 ABB av 3 BC vv 3 2 E为CD 杆的速度瞬心 AB C DC a v 2 ABDCxD bbv 2 所以有虚位移的关系 2 ayC 3 ayB BC yy 3 2 2 a yC 2 bbxD 将以上关系式代入 1 0 2 2 3 bFMaF xD b FaM F xD 2 32 题8 13答案图 理论力学第八章习题解答 24 其次解除固定铰链D的y方向的约束代之以 yD F 约束力 系统有一个自由 度 CD杆为瞬时平动 角速度为零 M此时做功为零 根据虚位移原理有 0 W 0 DyDB xFyF 1 根据运动学关系有 ABC av 2 ABB av 3 CD杆为瞬时平动 角速度为 零 M此时做功为零 所以 DC vv 速度法 所以得到虚位移的关系 2 ayC 3 ayB DC yy 将以上关 系式代入 1 023 aFaF yD FF yD 2 3 理论力学第八章习题解答 25 8 14 三根相同的匀质杆用铰链连接后 一端用铰链固定 一端有水平力F 作用如图示 设杆重G 求平衡时的 角 题8 14图 题8 14答案图 解 系统有三个自由度 广义坐标 表示各杆与铅垂线的夹角 主动 力为F与G 建立惯性基如图示 主动力的虚功为 321 yGyGyGxFW 把主动力作用点的位置坐 标用广义坐标来表示 并对坐标取变分 cos 2 1 l y sin 2 1 l y cos 2 1 cos 2 ly sin 2 1 sin 2 ly cos 2 1 cos cos 3 ly sin 2 1 sin sin 3 ly sinsin sin lx cos cos cos lx 系 统 在 此 位 置 平 衡 对 应 于 广 义 坐 标 的 广 义 力 为 零 令 0 0 0 则 sin 2 1 l y sin 2 ly sin 3 ly cos lx 对应于广义坐标 的广义力 0 sin 2 sin sin cos 1 l GlGlGlF W Q G F 5 2 tan G F 5 2 arctan 理论力学第八章习题解答 26 8 15 上题中 已知平衡时 0 45 求 与 解 系统有三个自由度 广义坐标 表示各杆与铅垂线的夹角 主动力 为F与G 图与上题相同 主动力的虚功为 321 yGyGyGxFW 把主动力作用点的位置坐 标用广义坐标来表示 并对坐标取变分 cos 2 1 l y sin 2 1 l y cos 2 1 cos 2 ly sin 2 1 sin 2 ly cos 2 1 cos cos 3 ly sin 2 1 sin sin 3 ly sinsin sin lx cos cos cos lx 系统在此位置平衡 对应于广义坐标 的广义力为零 令0 0 0 则0 1 y sin 2 2 l y sin 3 ly cos lx 对应于广义坐标 的广义力 0 sin 2 sin cos 1 l GGlFl W Q G F 3 2 45tantan 平衡时 2 3G F 系统在此位置平衡 对应于广义坐标 的广义力为零 令0 0 0 则 sin 2 1 l y sin 2 ly sin 3 ly cos lx 对应于广义坐标 的广义力 0 sin 2 sin sin cos 1 l GGlGlFl W Q G F 5 2 tan 平衡时 5 3 arctan 系统在此位置平衡 对应于广义坐标 的广义力为零 令0 0 0 理论力学第八章习题解答 27 则0 1 y 0 2 y sin 2 3 l y cos lx 对应于广义坐标 的广义力 0 sin 2 cos 1 l GFl W Q G F2 tan 平衡时 3tanarc 理论力学第八章习题解答 28 8 16 匀质杆AB重G长l 约束在一光滑的固定铅直圆形容器中 圆的半 径为r 求此杆的平衡位置 并讨论其稳定性 题8 16图 解 如图建立惯性基 广义坐标为 以O点为零势能面 杆AB的势能为 sin 2 4 22 lr mgV 2r l 当杆处于平衡位置时 0cos 2 4 d d 22 lr mg V 得0cos 由此得平 衡位置 2 3 2 21 讨论该位置的稳定性 求 sin 2 4 d d 22 2 2 lr mg V 得 0 d d 2 2 2 1 V 稳定 0 d d 2 3 2 2 2 V 不稳定 所以平衡位置 2 1 稳定 2 3 2 不稳定 理论力学第八章习题解答 29 8 17 匀质杆AB重G 长0 6m 质量为10kg 0 时弹簧无变形 弹 簧刚度系数2 0 kkN m 不计两小球的质量 求平衡时的 角 并说明平衡的 稳定性 题8 17图 题8 17答案图 解 如图建立惯性基 广义坐标为 以弹簧原长位置为重力势能零势面 系统 的势能为 cos 22 cos 2 1 2 ll mgllkV 当系统处于平衡位置时 0 2 cos sinsin 2 sin cos 2 2 1 d d mg llklmg l lllk V 由此得平衡位置 0sin 0 1 59 0 2 1cos kl mg 8 53 2 讨论该位置的稳定性 求 sin sin 2 cos cos d d 2 2 kll mg llkl V 当 0 1 时 043 29 2d d 2 2 V 稳定 所以平衡位置0 1 时不稳定 8 53 2 时稳定 理论力学第八章习题解答 30 8 18 滑块A在一光滑斜面B上滑下如图所示 如果斜面与水平面间的摩 擦阻力可以忽略不计 则当A下滑的同时 斜面在水平面上滑动 设A与B的 质量分别为m1与m2 试用第二类拉格朗日方程求斜面运动的加速度以及A在斜 面上滑下的相对加速度 题8 18图 题8 18答案图 解 如图建立惯性基eO 与斜面B的连体基 1 1 eO 系统有二个自由度 取B 的连体基的基点在x轴上的坐标x1与滑块A相对于斜面B的连体基 1 1 eO 的坐 标 2 x 为广义坐标 T 21 xxq 系统的动能为 cos2 2 1 2 1 21 2 1 2 21 2 12 xxxxmxmT 以斜面顶端为重力的零势面 斜面的势能为常数 则系统的势能为 sin 21 xgmV 系统的拉格朗日函数为 sin cos2 2 1 2 1 2121 2 1 2 21 2 12 xgmxxxxmxmVTL cos 21121 1 xmxmm x L 0 1 x L cos 1121 2 xmxm x L sin 1 2 gm x L 代入拉氏第二类方程 得到系统的动力学方程为 0cos 21121 xmxmm 0sincos 11121 gmxmxm 解之得 理论力学第八章习题解答 31 斜面的加速度为 g mm m x sin 2 2sin 2 2 1 1 1 滑块A在斜面上滑下的相对加速度为 g mm mm x 2 2 1 21 2 sin sin 理论力学第八章习题解答 32 8 19 上题中 设A为质量为m1的圆柱 并假定圆柱与斜面间有足够的摩 擦阻力阻止相对滑动 试用第二类拉格朗日方程求斜面运动的加速度以及圆柱中 心A相对于斜面的加速度 题8 19图 题8 19答案图 解 如图建立惯性基eO 与斜面B的连体基 1 1 eO 系统有二个自由度 取B 的连体基的基点在x轴上的坐标x1与滑块A相对于斜面B的连体基 1 1 eO 的坐 标 2 x 为广义坐标 T 21 xxq 系统的动能为 222 121 2 1 2 21 2 12 2 1 2 1 cos2 2 1 2 1 r x rmxxxxmxmT 以斜面顶端为重力的零势面 斜面的势能为常数则系统的势能为 sin 21 xgmV 系统的拉格朗日函数为 sincos 4 3 2 1 21211 2 21 2 121 xgmxxmxmxmmVTL cos 21121 1 xmxmm x L 0 1 x L cos 2 3 1121 2 xmxm x L sin 1 2 gm x L 代入拉氏第二类方程 得到系统的动力学方程为 0cos 21121 xmxmm 0sincos 2 3 11121 gmxmxm 解之得 理论力学第八章习题解答 33 斜面的加速度为 g mmm m x 2 121 1 1 cos2 3 2sin 圆柱中心A相对于斜面的加速度为 g mmm mm x 2 121 21 2 cos2 3 sin 2 理论力学第八章习题解答 34 8 20 长l的匀质杆AC与BC以铰链C连接 A端用铰链固定 B端沿光 滑水平面运动如图所示 开始时 60 速度为零 求运动到 30 杆AC的 角加速度 两杆均重G 题8 20图 题8 20答案图 解 如图建立参考基A e 系统为一自由度 取独立坐标 为广义坐标 其中AC 杆作定轴转动 BC杆作平面运动 S为BC杆的速度瞬心 二杆的角速度大小相 等 系统在一般位置的动能 势能分别为 2222 2 1 2 1 3 1 2 1 DD JmvmlT 或写成 222 2 1 3 1 2 1 S JmlT 其中 S J 为BC杆相对于速度瞬心的转动惯量 2cos 2 2 2 12 1 222 l l l lmmlJS sin 2 2 l mgV 系统的拉格朗日函数为 sin2cos 2 1 6 5 2222 mglmlmlVTL 0 t L L中不显含时间t 且为定常约束 系统有能量积分 0 VT Cmglmlml sin2cos 2 1 6 5 2222 当0 60 时 代入上式得mglC 2 3 当 30 时 代入上式得 l g 13 7 6 2 将L代入拉氏第二类方程 得到系统的动力学方程为 0cos2sin2cos 3 5 2222 mglmlmlml 将 30 l g 13 7 6 2 代入上式得 l g 21 1 理论力学第八章习题解答 35 8 21 上题中 设在BC杆上装一轮子 轮子与杆的重量相等 可以看作 匀质圆盘 在水平面上作纯滚动 其他条件相同 求AC杆在 30 时的角加速 度 题8 21图 题8 21答案图 解 如图建立参考基A e 系统为一自由度 取独立坐标 为广义坐标 运动分 析 AC杆作定轴转动 BC杆作平面运动 S1为其速度瞬心 二杆的角速度大小 相等 轮子作平面运动 S2为其速度瞬心 系统在一般位置的动能 势能分别为 2222 21 2 1 2 1 3 1 2 1 BSS JJmlT 其中 2cos 2 2 2 12 1 222 1 l l l lmmlJS 22 2 1 2 mrmrJS rl r vB B sin2 sin 2 2 l mgV 系统的拉格朗日函数为 VTL 0 t L L中不显含时间t 且为定常约束 系统有能量积分CVT Cmglml sin sin32cos 2 1 6 5 222 当0 60 时 代入上式得mglC 2 3 当 30 时 代入上式得 lg l g 275 0 13 8 3 2 将L代入拉氏方程 得到系统的动力学方程为 0 cos2sin4 2cos4 3 14 lg 将 30 lg275 0 2 代入上式得 lg68 0 理论力学第八章习题解答 36 8 22 求图示系统 1 与 2 的振动周期 已知重物的质量为m 弹簧 的刚度系数为k 滑轮的质量可以不计 题8 22 1 图 题8 22 2 图 1 解 以重物在静平衡位置为基点建立参考基O e 如图示 静止时 以系统为研究对象 s为弹簧的静伸长 0 1 FmO 02 skrmgr skmg 2 题8 22 1 答案图 运动时 系统为一自由度 广义坐标取x 重物作直线平动 重物动能 2 2 1 xmT 以静平衡位置和弹簧的原长位置分别为重力场和弹性力 场的零势能面 系统的势能为 222 2 2 1 2 2 1 xkssxkmgxV 系统的拉格朗日函数为 22 2 2 1 kxxmVTL 代入第二类拉氏方程 动力学方程为 04 kxxm m k n 4 2 k m T n 2 2 解 以重物在静平衡位置为基点建立参考基O e 如图示 静止时 以系统为研究对象 s为弹簧的静伸长 0 1 FmO 02 skrrmg skmg 2 理论力学第八章习题解答 37 题8 22 2 答案图 运动时 系统为一自由度 广义坐标取x 重物作直线平动 重物动能 2 2 1 xmT 以静平衡位置和弹簧的原长位置分别为重力场和弹性力 场的零势能面 系统的势能为 222 2 1 2 1 2 1 2 1 xkssxkmgxV 系统的拉格朗日函数为 22 8 1 2 1 kxxmVTL 代入第二类拉氏方程 动力学方程为 0 4 1 kxxm m k n 4 2 k m T n 4 2 理论力学第八章习题解答 38 8 23 匀质圆轮的质量为m 半径为r 可在固定水平面上无滑动地滚动 匀质杆AB的质量为m 长度为3r 其A端与轮心用光滑铰链连接 如图所示 试用第二类拉格朗日方程建立系统的运动方程 并写出系统的初级积分 题8 23图 题8 23答案图 解 如图建立惯性基O e 与均质杆AB的连体基C 1 e 系统有两个自由度 取圆 柱的质心在x轴上坐标x和连体基 1 e 的姿态角为广义坐标 T xq 系统动 能为 2222222 3 12 1 2 1 cos 2 3 2 2 3 2 1 2 1 2 1 2 1 rmrxrxm r x mrxmT cos 2 3 2 3 4 5 222 xr m mrxm 以圆轮中心A位置为重力势能的零势面 系统的势能为 cos 2 3 rmgV 系统的拉格朗日函数为 cos 2 3 cos 2 3 2 3 4 5 222 rmgxr m mrxmVTL sin 2 3 cos 2 3 2 5 2 mrmrxm x L dt d 0 x L sin 2 3 cos 2 3 3 xmrxmrmr L dt d sin 2 3 sin 2 3 mgrxmr L 代入拉氏第二类方程得 0sin3cos35 2 rrx 0sin2cos grx 系统作微幅振动时 sin 1cos 约去二阶微量则方程可化为 理论力学第八章习题解答 39 035 rx 02 grx 从而得系统的运动微分方程为 0 7 5 r g 因为0 x L 即x为循环坐标 系统有相应的循环积分 广义动量守恒 所以 1 C x L 1 cos 2 3 2 5 Cmrxm 因为0 t L L中不显含时间t 且T是广义速度的二阶齐函数 系统有能 量积分 所以 2 CVT 2 222 cos 2 3 cos 2 3 2 3 4 5 Crmgxr m mrxm 理论力学第八章习题解答 40 8 24 质量为m的匀质圆柱在一三角形的斜边上作纯滚动 斜面的质量为 m 置于光滑水平面上 其上有刚度系数为k的弹簧平行于斜面系在圆柱体的轴 心O上 设角 30 试用第二类拉格朗日方程建立系统的运动微分方程 题8 24图 题8 24答案图 解 如图建立惯性基O e 与斜面的连体基O1 1 e 斜面连体基基点取在圆柱静平 衡位置 静止时 0 1 ix F 0sin skmg s为弹簧的静伸长 系统有两个自由度 取斜面在x轴上的坐标x和圆柱质心相对于连体基 1 e 的 坐标 1 x 为广义坐标 T 1 xxq 系统的动能为 1 2 1 2212 1 22 1 2 cos 4 3 2 1 2 1 cos2 2 1 2 1 xxmxmxm r x mrxxxxmxmT 以静平衡位置和弹簧的原长处为重力场和弹性力场的零势能面 系统的 势能为 2 1 22 11 2 1 2 1 sinxkxxxkxmgV 系统的拉格朗日函数为 2 11 2 1 2 2 1 cos 4 3 xkxxmxmxmVTL 代入第二类拉氏方程得到系统的动力学方程 0 2 3 2 1 xx 0 2 3 2 3 11 xkxmxm 理论力学第八章习题解答 41 8 25 刚度系数为k的水平弹簧 一端固定 另一端与质量为m的滑块A 相连 匀质直杆AB的质量为m 长度为l 其A端与滑块铰接 假设各处摩擦 忽略不计 试用第二类拉格朗日方程写出系统的运动微分方程 题8 25图 题8 25答案图 解 如图建立惯性基O e 与均质杆的连体基C 1 e 系统有两个自由度 取滑块A 的质心在x轴上的坐标x和连体基 1 e 的姿态角 为广义坐标 T xq 系统 动能为 22222 12 1 2 1 cos 2 2 2 2 1 2 1 ml l x l xmxmT cos 2 1 6 1 222 xmlmlxm 以惯性基x轴和弹簧的原点处为重力场和弹性力场的零势能面 系统的势能 为 cos 2 2 1 2 0 l mglxkV 系统的拉格朗日函数为 cos 2 2 1 cos 2 1 6 1 2 0 22 l mglxkxmlmlxmVTL sin 2 1 cos 2 1 2 2 mlmlxm x L dt d 0 lxk x L sin 2 1 cos 2 1 3 1 2 xmlxmlml L dt d sin 2 sin 2 1l mgxml L 代入拉氏方程得系统的动力学方程 0sin3cos32 0 2sincos4 0 2 gxl lxkmlmlxm 系统作微振动则 sin 1cos 约去二阶微量则方程可化简为 理论力学第八章习题解答 42 0 24 0 lxkmlxm 0323 glx 理论力学第八章习题解答 43 8 26 图示系统中 长为2b 质量为m的匀质杆AB由刚度系数为k的弹 簧悬挂在固定面上 弹簧的原长为b 其质量可以忽略不计 系统在铅垂面内运 动 试用第二类拉格朗日方程写出系统的运动微分方程 题8 26图 题8 26答案图 解 如图建立惯性基O e 弹簧连体基O 1 e 匀质杆连体基A 2 e A 2 e 的基点 取在杆端A点 系统有三个自由度 连体基 1 e 的姿态角 连体基 2 e 的基点在连体基 1 e 上的 坐标x1 连体基 2 e 的姿态角 系统的位形坐标为 T 1 xq A在连体基 1 e 上是动点 r 1 e 1A AA vvv 1 e 1 xv A 1 r 1 xv A AB杆质心C 在连体基 2 e 上是固定点 e 2 e 2CtCC vvv 其中 2 e 2 b v C AtC vv e 2 C v 在惯 性基上的投影为 coscossin 11 bxxv xC sinsincos 11 bxxv yC 杆的动能为 22 11 2222 1 2 1 22222 2 2 6 1 sin 2 cos 2 2 1 2 12 1 2 1 2 1 2 1 2 1 mbxbbxbxxm bmvvmJmvT yCxCCC 以弹簧原点处为弹性势能零势能面 过O点的水平面为重力势能的零势 能面 系统势能为 coscos 2 1 2 1 bxmgbx k V 系统的拉氏函数为 理论力学第八章习题解答 44 coscos 2 6 1 sin 2 cos 2 2 1 1 2 1 22 11 2222 1 2 1 bxmgbx k mbxbbxbxxmVTL sin 1 1 bxm x L cos cos sin d d 2 1 1 bbbxm x L t cos cos 1 2 1 1 mgbxkbxm x L cos 1 2 1 bxxm L sin sin cos cos 2 d d 1 2 11111 2 1 bxbxxbbxxxxm L t sin cos sin 111 mgxxbbxm L 2 11 2 3 1 sin cos mbxbbxbm L 2 11 2 11111 2 3 1 sin cos d d mbxbbxbxxbxbxbbxbm L t sin cos sin 11 mgbxxmb L 代入拉氏第二类方程可得系统的动力学方程 0cos cos sin 1 2 1 2 1 mgbxkmxmbxm 0sin sin 2 cos 1 2 111 mgxbxbxmx 0sin sin cos 22 3 4 1 2 1111 mgbxbxxxxbmb 理论力学第八章习题解答 45 8 27 求图示系统 1 和 2 的振动周期 已知A为匀质圆盘 质量为 mA 小车B质量为mB 弹簧的刚度系数为k 圆盘在车上只能作纯滚动而轨道 的摩擦力可以不计 题8 27 1 图 题8 27 2 图 解 1 如图建立惯性基O e 系统有两个自由度 分别取小车B和圆盘A质心 在惯性参考基中的坐标 1 x 2 x为广义坐标 系统动能为 21222 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 r xx rmxmxmT AAB 以弹簧的原点为弹性势能的零势能面 系统势能为 2 02 2 1 lxkV 拉格朗日函数为 2 02 21222 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 lxk r xx rmxmxmVTL AAB 2 1 121 1 xxmxm x L AB 2 1 121 1 xxmxm x L dt d AB 0 1 x L 2 1 122 2 xxmxm x L AA 2 1 122 2 xxmxm x L dt d AA 2 2 kx x L 代入拉氏第二类方程可得系统的动力学方程 0 2 21 xmxmm AAB 1 03 212 kxxmxm AA 2 由 1 式得 BA A mm xm x 2 2 1 代入 2 整理得 0 3 2 22 x mmm mmk x ABA BA 2 3 2 BA ABA mmk mmm T 题8 27 1 答案图 理论力学第八章习题解答 46 解 2 如图建立惯性基O e 和小车的连体基O1 1 e 系统有两个自由度 取 小车质心在惯性参考基中的坐标x和圆盘质心相对于连体基 1 e 的坐标 1 x 为广义 坐标 系统动能为 2122 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 r x rmxxmxmT AAB 以弹簧的原点为弹性势能的零势能面 系统势能为 2 01 2 1 lxkV 拉格朗日函数为 2 01 2122 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 lxk r x rmxxmxmVTL AAB 代入拉氏第二类方程可得系统的动力学方程 0 1 xxmxm AB 1 0 2 3 11 xkxmxm AA 2 由 1 得 BA A mm xm x 1 代入 2 整理得 0 3 2 11 x mmm mmk x BAA BA 2 3 2 BA BAA mmk mmm T 题8 27 2 答案图 理论力学第八章习题解答 47 8 28 上题中 设开始运动时 系统处于静止而弹簧有一伸长 求此时 小车B的加速度 解 1 上题解得系统的运动微分方程为 0 2 21 xmxmm AAB 1 03 212 kxxmxm AA 2 得 0 3 2 22 x mmm mmk x ABA BA 弹簧有初始伸长x2 3 2 2 ABA BA mmm mmk x 代入 1 式 ABBA A mm k mm xm x 32 2 1 向左 2 上题解得系统的运动微分方程为 0 1 xxmxm AB 1 0 2 3 11 xkxmxm AA 2 得 0 3 2 11 x mmm mmk x BAA BA 弹簧有初始伸长 1 x 3 2 1 BAA BA mmm mmk x 代入 1 式 BABA A mm k mm xm x 3 2 1 向右 理论力学第八章习题解答 48 8 29 上题中 求当弹簧回到原长时 小车的速度 解 1 上题解得系统拉格朗日函数为 2 02 21222 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 lxk r xx rmxmxmVTL AAB 由0 1 x L 即x1为循环坐标 系统有相应的循环积分 广义动量守恒 1 1 C x L 即 1121 2 1 Cxxmxm AB 1 由0 t L 系统有能量积分 2 2 02 21222 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 Clxk r xx rmxmxmVT AAB 2 由初始条件t 0时 0221 0 0lxxx 代入上述两式得积分常数 2 21 2 1 0 kCC 则式 1 2 可表示为 0 2 1 121 xxmxm AB 3 22 02 21222 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 klxk r xx rmxmxm AAB 4 当时间t 时弹簧恢复原长即0 02 lx时 4 式即为 221222 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 k r xx rmxmxm AAB 5 由 3 式 12 2 x m mm x A AB 代入 5 式得 3 2 1 BABA A mmmm km x 理论力学第八章习题解答 49 2 上题解得系统拉格朗日函数为 2 01 2122 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 lxk r x rmxxmxmVTL AAB 由0 x L 即x为循环坐标 系统有相应的循环积分 广义动量守恒 1 C x L 即 11 Cxxmxm AB 1 由0 t L 系统有能量积分 2 01 2122 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 lxk r x rmxxmxmVT AAB 2 由初始条件t 0时 011 0 0lxxx 代入上述两式得积分常数 2 21 2 1 0 kCC 则式 1 2 可表示为 11 Cxxmx