欧拉角定义.doc

A.1 欧拉角的定义在三维空间中刚体（或坐标系）定点转动具有三个自由度，需要三个广义坐标才能完整描述。所谓广义坐标，它是描述系统位形所需的一组独立参数，或最少参数。欧拉角是三个一组的角参数广义坐标，最早由欧拉（Euler）提出而得名。与方向余弦矩阵和四元数相比，欧拉角表示法除参数的数目最少外，其物理含义通常更加直观、更容易理解。但是，欧拉角的定义是不唯一的，根据坐标系绕其轴的旋转顺序不同，存在多种定义方式：首先绕三个坐标轴中的任意一轴转动，有3种情形；接着绕除第一次转轴外的任意一轴转动，有2种情形，最后绕除第二次转轴外的任意一轴转动，又有2种情形，因此，总计存在种定义方式。一般在给出欧拉角参数表示坐标系旋转时，都得指出相应的欧拉角定义方式。图A-1和图A-2给出了12种定义方式中的两种。 图A-1 按313方式定义欧拉角 图A-2 按312方式定义欧拉角在图A-1中，假设为右手直角参考坐标系，对其实施如下三次转动：首先系绕轴正向转动角度得系，显然两坐标系具有共同的轴；接着系绕轴正向转动角度得系，两坐标系具有共同的轴；最后系绕轴正向转动角度得系，两坐标系具有共同的轴。上述转轴顺序及转角正负可简记为：“(+3)(+1)(+3）”，或省略“+”号后进一步简记为“313”，其中数字1、2和3分别表示绕、和轴转动，括号内“+”号表示绕相应轴按右手规则转角方向定义为正，若使用“-”则定义为负。对于图A-1，根据方向余弦阵与等效旋转矢量之间的关系式（2.2-18）（2.2-20），可得参考坐标系至动坐标系的方向余弦阵： （A-1）其中，简记三角函数。类似的，在图A-2中，不难看出它的欧拉角定义方式为“312”，三个坐标轴各转动了一次，系至系的方向余弦阵为 （A-2）在导航应用中，习惯上使用一组欧拉角来描述运载体的空间指向，比如舰船、车辆或飞机等，其中参考坐标系一般默认为当地地理坐标系，而动坐标系为与运载体固连的坐标系。与运载体固连的三轴俗称为横轴、纵轴和立轴，它们在物理上具有明确的含义，是绝大多数运动和控制的参考基准。当运载体水平停放时，横轴沿左右方向，可取向右方向为正；纵轴沿前后方向，可取向前方向为正；立轴沿上下方向，可取向上方向为正。描述运载体的一组欧拉角通常也称为姿态角，包括航向角（方位角或偏航角）、俯仰角（高低角或横摇角）和横滚角（滚动角或纵摇角），各角参数的定义与运载体各物理轴向相联系，详细定义如下。参见图A-3，航向角：运载体纵轴在当地水平面上的投影线与当地地理北向的夹角，常取北偏东为正，即若从空中俯视运载体，地理北向顺时针旋转至纵轴水平投影线的角度，角度范围为0360，或；俯仰角：运载体纵轴与其水平投影线之间的夹角，当运载体抬头时角度定义为正，角度范围-9090，或；横滚角：运载体立轴与纵轴所在铅垂面之间的夹角，当运载体向右倾斜时角度定义为正，角度范围-180180，或。图A-3 运载体欧拉角定义若在地理坐标系和运载体坐标系上分别给出了具体的数学坐标系定义，比如系和系，其中地理坐标系的三轴分别指向地理东向、北向和天向，俗称“东-北-天”地理坐标系；运载体坐标系的三轴分别指向横轴向右、纵轴向前和立轴向上，俗称“右-前-上”载体坐标系。则图A-3给出的运载体欧拉角定义可以简单描述为“(-3)12”方式。类似的，如果和分别定义为“北-东-地”地理坐标系和“前-右-下”载体坐标系，则运载体欧拉角定义应相应地变为“321”方式。由此可见，实际运载体欧拉角本质上是按物理轴向定义的，一般依次按“立轴下-横轴右-纵轴前”方式进行，而与具体数学轴向选择无关。注意到，在前述两种定义方式中，当三个欧拉角均为0时，地理系和载体系是重合的，这是在定义参考坐标系和动坐标系时应当遵循的普遍原则。按照这一原则，将欧拉角定义描述为“东-北-天(-3)12”或者“北-东-地321”，含义就非常明确了。A.2 欧拉角、方向余弦阵和四元数之间的转换关系虽然航向角习惯上常定义为北偏东为正，但当定义导航坐标系为“东-北-天”地理坐标系时，航向角在绕天向轴转动时不符合右手规则。为了符合右手规则和推导公式简洁对称，除非特别说明，本文将航向角定义为北偏西为正，且取值范围，这是在后续阅读相关公式时需要特别注意的。当然，如果要将相关公式应用于北偏东的航向角，只需再增加一个简单的航向角转换过程即可。（1）从欧拉角到方向余弦阵在“东-北-天312”欧拉角定义下，参考式（A-2），可得从地理坐标系到载体坐标系的方向余弦矩阵 （A-3）式中，表示矩阵的第行列元素，上式便是根据欧拉角计算姿态阵的公式。（2）从方向余弦阵到欧拉角如果已知方向余弦矩阵，通过观察式（A-3），可得提取姿态角的数值方法如下所述。1）当时，有 （A-4）其中，数值为用户根据具体需求而设定的略小于1的数值；为标准语言函数库中的求反正切函数，包含象限判断功能，但两个输入参数和不得同时为，以为例，它在的第三行向量为单位向量且时是可以保证和不同时为的。2）当时，有，作近似和，则可近似为由上式可得 （A-5）3）当时，有，作近似和，则可近似为由上式可得 （A-6）式（A-5）和（A-6）显示，当俯仰角在附近时，横滚角和航向角之间是无法单独分离的，或者说两者都存在多值性，只有当指定其中某一个值之后才能够确定另外一个，比如一般可令。综合前面分析，得由姿态阵求解欧拉角的完整算法如下 （A-7）（3）从四元数到姿态阵参考式（2.4-25），将姿态阵与四元数之间转换关系重写如下 （A-8）（4）从姿态阵到四元数根据式（A-8）的对角线元素，可得 解得 （A-9）再由式（A-8）的非对角线元素，可得 解得 （A-10）若仅根据式（A-9）将难以确定四元数各元素的正负符号。如果已知四元数的某一个元素，则根据式（A-10）可求解其它元素，但须避免该已知元素为0。由四元数归一化条件可知，必然有成立，也就是说，四个元素中必然存在某个。实际应用时，可先根据式（A-9）计算获得某一个较大的元素（不妨取为正值），再根据式（A-10）计算剩余的其它三个元素。在式（A-9）中，等价于，即；同理，有等价于；以及等价于。由此可得计算四元数各元素的伪代码如下 （A-11）（5）从欧拉角到四元数在实际惯导的姿态更新算法中经常使用的是四元数，需要涉及到四元数和欧拉角的转换问题。根据单位四元数的含义式（2.4-23），在“东-北-天312”欧拉角定义下，由欧拉角求解四元数的公式为 （A-12）（6）从四元数到欧拉角仅根据式（A-12），由四元数直接求解欧拉角并不容易。实际上，可通过姿态阵作为中间过渡量，先由四元数计算姿态阵，再由姿态阵计算欧拉角，分别如式（A-8）和式（A-7），综合之后结果为 （A-13）最后，总结给出欧拉角、方向余弦阵和四元数三种姿态描述之间的相互转换关系，如图A-4所示。图A-4 三种姿态描述之间的转换关系A.3 欧拉角微分方程假设姿