正反比例函数及函数的综合.doc

专题七 正、反比例函数及函数的综合一、考点分析课程标准对正反比例函数的要求：1、理解正比例函数；2、结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式.3、能画出反比例函数的图象，根据图象和解析表达式探索并理解其性质（k0时，图象的变化）4、能用反比例函数解决某些实际问题.函数的自身结构特点和它在数学中的地位决定了它不仅与数学其他知识有着密切的联系，而且还有着极为广泛的应用因此，它是联系数学知识间或数学与实际问题问的纽带和桥梁，是中考数学试卷中不可或缺的重要内容其呈现方式灵活多变，无论在填空题、选择题，还是解答题中，都有考查函数知识的内容，特别在压轴题中，函数常常起着其他知识不可替代的作用关于正反比例函数每年中考都要涉及到，难度均在0.8以上，属于给同学送分题目，只要同学们掌握好正反比函数的基本知识、基本性质和最基本的题目类型就可以应付自如，因此给同学们提出以下复习策略：打好“常规”基础,抓住“常规”题型,适当拓宽“新题”；强化在文字语言的描述中寻找数量关系的训练,注意图、表信息的提取、数形结合的运用；注重实际检验.为了更好地方便同学们掌握正、反比例函数的图象和性质，现列表如下：函数正比例函数反比例函数表达式y=kx(k0)( 特殊的一次函数)图象xy0yoxk0 k0 k0，图象经过一、三象限k0，y随x的增大而增大k0，图象位于一、三象限k0，每个象限内y随x的增大而增大k0；二四象限，k0（2）看反比例函数图象： 根据图象的位置定 k的符号：一、三象限 k 0 二、四象限 k 0同时根据图象也可以确定函数的增减性图象是上升的，y 随 x 增大而增大；图象是下降的，y 随 x 增大而减小.对于反比例函数图象位于两个象限，应该强调在每个象限内.（2）已知点都在反比例函数的图象上,则的大小关系(从大到小)为 .点拨：做这类问题一般有两类方法：（1）图象法：画草图如右图，根据图象性质来具体判断；（2） 赋值法：假定k=4（其他正值均可，这里取4是为方便计算），则解析式已知，分别将x=-1，-2，4代入可求，即得大小关系.跟踪练习（1）若点（，）、（，）和（，）分别在反比例函数 的图象上，且，则下列判断中正确的是（）ABCD（2）对于反比例函数()，下列说法不正确的是A. 它的图象分布在第一、三象限 B. 点（，）在它的图象上C. 它的图象是中心对称图形 D. 随的增大而增大（3）已知 k10k2，则函数 yk1x 和 y 的图象大致是（ ）xyOxyOOxyxyOABC D（4）已知反比例函数的图象在第二、第四象限内，函数图象上有两点A(，y1)、B(5，y2)，则y1与y2的大小关系为（ ）.A、y1y2 B、y1y2 C、y1y2 D、无法确定题型3：正、反比例函数的解析式与它图象上的点例3：（1）若双曲线经过点A（m，-2m），则m的值为_.（2）正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点A（1，），则反比例函数解析式跟踪练习：（1）下列各点中，在反比例函数图象上的是（ ）ABCD（2）反比例函数的图象经过（2，5）和（， ），求的值；判断点B（，）是否在这个函数图象上，并说明理由（3）正比例函数和反比例函数的图象有 个交点题型4 反比例函数与三角形面积结合题型.例4：（1）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，过点A作AB轴于点B，连结BC则ABC的面积等于（）OACBA1B2C4D随的取值改变而改变点拨：欲求ABC的面积可将其分割成ABO和OBC两个三角形的面积和，我们先来研究ABO的问题.SABO=ABOB=1，由于A、C两点关于原点对称，故纵坐标互为相反数，因此ABO和OBC是同底等高的.SABO=1由以上分析可以看出，过双曲线上任意一点P分别作x轴、y轴的垂线所构成的矩形面积等于定值xyOP1P2P3P41234（2）如图，在反比例函数（）的图象上，有点，它们的横坐标依次为1，2，3，4分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则 CBA(第 题图)O跟踪练习1、如图，反比例函数的图象与直线相交于B两点，AC轴，BC轴，则ABC的面积等于 个面积单位.2、如图，直线(0)与双曲线在第一象限内的交点面积为R，与轴的交点为P，与轴的交点为Q；作RM轴于点M，若OPQ与PRM的面积是4：1，则 3、（2008年湖北省咸宁市）两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，PCx轴于点C，交的图象于点A，PDy轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论：ODB与OCA的面积相等；四边形PAOB的面积不会发生变化；PA与PB始终相等；当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点其中一定正确的是 （把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分）4、如图，已知直线与双曲线交于两点，且点的横坐标为（1）求的值；（2）若双曲线上一点的纵坐标为8，求的面积；图12（3）过原点的另一条直线交双曲线于两点（点在第一象限），若由点为顶点组成的四边形面积为，求点的坐标题型5 函数综合问题函数是初中数学的核心内容，也是重要的基础知识和重要的数学思想其地位和作用主要体现在如下两个方面：其一，它是所有与变化过程相关问题的最有效的数学刻画与表示，其应用极为广泛，因此中考中的动态问题常常都用到函数关系；其二，它是其他所有与数量关系相关问题的思想基础和知识基础，综观全国各地近几年的中考试题中，诸如众多的方程问题、不等式问题、几何图形中的几何量的关系问题，特别是与运动相关的几何图形问题，或隐或显地都以函数作为指引、依据和基础特别在压轴题中，常常都利用函数关系来解决. 考查函数综合问题基本上可以分为两类：（1）已有函数模型，直接利用函数图象和性质来解决；（2）需要根据题中等量关系重新建立函数模型.例5：如图1所示，直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与轴负半轴上.过点B、C作直线将直线平移，平移后的直线与轴交于点D，与轴交于点E（1）将直线向右平移，设平移距离CD为(t0)，直角梯形OABC被直线扫过的面积（图中阴影部份）为，关于的函数图象如图2所示， OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，N点横坐标为4求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积；当时，求S关于的函数解析式；（2）在第（1）题的条件下，当直线向左或向右平移时（包括与直线BC重合），在直线AB上是否存在点P，使为等腰直角三角形?若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由 点拨：动态问题是近几年来各地中考试题中出现得较多的一种题型这类集几何、代数知识于一体的综合题，既能考查学生的创造性思维品质，又能体现学生的实际水平和应变能力其解题策略是“动”中求“静”，“一般”中见“特殊”，抓住要害，各个击破在实际问题或综合问题中，一般首先是函数思想指导下确定或选择运用函数，然后建立函数，最后根据函数性质解决相应的问题考察函数思想的同时也常常渗透分类讨论思想.如本题是否存在点P使得为等腰直角三角形，并没有说明那条边是斜边，需要分类讨论，详见答案.解： （1） ，S梯形OABC=12 当时，直角梯形OABC被直线扫过的面积=直角梯形OABC面积直角三角开DOE面积 （2） 存在 下面提供参考解法二： 以点D为直角顶点，作轴 设.（图示阴影），在上面二图中分别可得到点的生标为P（12，4）、P（4，4）E点在0点与A点之间不可能； 以点E为直角顶点 同理在二图中分别可得点的坐标为P（，4）、P（8，4）E点在0点下方不可能. 以点P为直角顶点同理在二图中分别可得点的生标为P（4，4）（与情形二重合舍去）、P（4，4），E点在A点下方不可能.综上可得点的坐标共5个解，分别为P（12，4）、P（4，4）、P（，4）、P（8，4）、P（4，4）跟踪练习：1、(08河南)如图，直线和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-2，0）（1）试说明ABC是等腰三角形；（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动设M运动t秒时，MON的面积为S 求S与t的函数关系式； 设点M在线段OB上运动时，是否存在S=4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由；在运动过程中，当MON为直角三角形时，求t的值2、如图，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限动点P在正方形 ABCD的边上，从点A出发沿ABCD匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴上运动，当P点到D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒(1) 当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；(2) 求正方形边长及顶点C的坐标；(第24题图)（第24题图）(3) 在(1)中当t为何值时，OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标变式：如果点P、Q保持原速度速度不变，当点P沿ABCD匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由本章检测试题一、选择题（本大题共5个小题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请填入后面的括号中）1、当0,0时，反比例函数的图象在 （ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限2、在同一直角坐标平面内，如果直线与双曲线没有交点，那么和的关系一定是 （ ） A.0B. 0，0 C.、同号 D.、异号3已知a0，则函数y1= ax，的图象大致是（ ）4、A、C是函数的图象上的任意两点，过A作x轴的垂线，垂足为B，过C作y轴的垂线，垂足为D，记RtAOB的面积为S1，RtCOD的面积为S2则 （ ）A S1 S2 B S1 k2k3 Bk3k2 k1 Ck2k3 k1 Dk3k1k2二、填空题（本大题共4个小题. 把答案填在题中横线上）（第7题）6、点P（1，2）关于x轴对称的点在双曲线上，则k的值为_.7、如图，RtABO的顶点A是双曲线与直线在第二象限的交点，AB垂直轴于B，且SABO，则反比例函数的解析式8、图中正比例函数的图象相交于A、B两点，分别以A、B两点为圆心，画与y轴相切的两个圆，若点A的坐标为（1，2），则图中两个阴影面积的和是_.yO（第9题）xCA(1，2)B(m，n)9、如图，在平面直角坐标系中，函数（，常数）的图象经过点，（），过点作轴的垂线，垂足为若的面积为2，则点的坐标为 三、解答题（本大题共3个小题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）10、如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=图象交于A（-2，1），B（1，n）两点（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围（3）求AOB的面积.11、已知：在矩形中，分别以所在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系是边上的一个动点（不与重合），过点的反比例函数的图象与边交于点（1）求证：与的面积相等；（2）记，求当为何值时，有最大值，最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的点，使得将沿对折后，点恰好落在上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由12、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒）(1) 点A的坐标是_，点C的坐标是_；(2) 当t= 秒时，MN=AC；(3) 设OMN的面积为S，求S与t的函数关系式；(4) 探求(3)中得到的函数S有没有最大值？若有，求出最大 值