一元二次方程根与系数专题复习.doc

一元二次方程专题复习【基础知识精讲】一.1一元二次方程ax2bx+c=0 (a0)根的判别式: 当时,方程有两个不相等的实数根；(2) 当时,方程有两个相等的实数根； 当时,方程没有实数根。以上三点反之亦成立。2一元二次方程有实数根注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式； (2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数a0 (3)证明恒为正数的常用方法：把的表达式通过配方化成“完全平方式+正数”的形式。1一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：设是一元二次方程ax2bx+c=0 (a0)的两根，则，2设是一元二次方程ax2bx+c=0 (a0)的两根，则：方程有两正根时，有0方程有两负根时，有 0方程有一正一负根时，有 0方程一根1，另一根1时，有0，（x1-1）（x2-1）03以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：【例题巧解点拨】例1：如果关于x的方程mx2-2（m+2）x+m+5=0没有实数根，试判断关于x的方程（m-5）x2-2（m-1）x+m=0的根的情况例2：已知关于的方程。（1）求证：无论取什么实数值，这个方程总有实数根；（2）当等腰三角形ABC的边长4，另两边的长、恰好是这个方程的两根时，求ABC的周长。练习：设abc 是ABC的三边的长 且关于X的方程(a+c)x2+bx+（a-c）/4=0 有两个相等的实数根，试判定的形状。例3：已知一元二次方程ax2+bx+c=0的两根之比为m：n（a0，mn0），求证：mnb2=（m+n）2ac练习：已知一元二次方程ax2+bx+c=0的两根之比为2:3，（a0），求证：6b2=25ac例4：数k取何值时,一元二次方程x-(2k-3)x+2k-4=0 （1）一个根大于3，一个根小于3.（2）有两正根。（3）有两异号根，且正根的绝对值较大。练习：如图，在矩形ABCD中，对角线AC的长为10，且AB、BC（ABBC）的长是关于x的方程x2+2（1-m）x+6m=0的两个根（1）求m的值；（2）若E是AB上的一点，CFDE于F，求BE为何值时，CEF的面积是CED的面积的1/3，请说明理由练习：已知：四边形ABCD中，ABCD，且AB、CD的长是关于x的方程x2-2mx+（m-1/2）2+4/7=0的两个根（1）当m=2和m2时，四边形ABCD分别是哪种四边形并说明理由（2）若M、N分别是AD、BC的中点，线段MN分别交AC、BD于点P、Q，PQ=1，且ABCD，求AB、CD的长；练习：已知关于x的方程（k-1）x2+（2k-3）x+k+1=0有两个不相等的实数根x1，x2（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由。练习：已知：如图，梯形ABCD中，AD/BC，梯形的高，且， （1）求的度数； （2）设点M是梯形对角线AC上一点，DM的延长线与BC相交于点F，当时，求作以CF、DF的长为根的一元二次方程。课堂练习：1. 已知关于x的方程（k2-1）x2-6（3k-1）x+72=0的解是两个不相同的正整数，求整数k的值2. 已知：关于x的方程x2-（k+1）x+1/4k2+1=0的两根是一个矩形两邻边的长（1）k取何值时，方程有两个实数根；（2）当矩形的对角线长为根号5时时，求k的值3. 已知：ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-（2k+3）+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5（1）k为何值时，ABC是以BC为斜边的直角三角形？（2）k为何值时，ABC是等腰三角形？并求ABC的周长4. 已知关于的方程： （1）求证：无论取什么实数值，这个方程总有两个相异实根；（2）若这个方程的两个实根、满足，求的值及相应的、。5.已知p2-p-1=0，1-q-q2=0，且pq1，求（pq+1）/q的值6. 已知则_.拓展练习：1. 已知：关于x的两个方程2x2+（m+4）x+m-4=0，与mx2+（n-2）x+m-3=0，方程有两个不相等的负实数根，方程有两个实数根（1）求证方程的两根符号相同；（2）设方程的两根分别为、，若：=1：2，且n为整数，求m的最小整数值2. 若abc0，且方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0有公共根，求公共根的值。3. 关于x的方程（mn-2n）x2+2（n-m）x+2m-mn=0（mn-2m）0，有两个相等实数根，求1/m+1/n的值。4. 已知关于x的方程x3+（1-a）x2-2ax+a2=0有且只有一个实数根，则a的取值范围。课后作业：一、填空（选择）题1.关于x的一元二次方程x2-mx+2m-1=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=7，则（x1-x2）2的值是_。2. 设a，b是方程x2+x-2009=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）3. 设x1，x2是关于x的一元二次方程x2+x+n-2=mx的两个实数根，且x10，x2-3x10，则（）4. 如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1，那么这个一元二次方程是（）Ax2+3x+4=0 Bx2+4x-3=0 Cx2-4x+3=0 Dx2+3x-4=05、已知x1，x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，则的值为_ 6、已知方程的两个根，一个大于1，另一个小于1。则m的取值范围是_。7、设方程的两根分别是x1、x2，且6x1+x2=0，则m的值为_。8、设、是方程的两个实数根，则的值为_。9、.若ab1,且有，则的值_。10、已知，且，则 11、若关于y的一元二次方程ky2-4y-3=3y+4有实根,则k的取值范围是( )A.k- B.k- 且k0 C.k- D.k 且k012、关于x的方程只有一解（相同的解算一解），则a的值为（ ）A.a =0 B.a=2 C.a=1 D.a=0或a=2二、解答题1、（2009 茂名）设是关于x的方程的两个实数根，那么是否存在实数k，使得成立？请说明理由。2、（2009 淄博）已知设是关于x的方程的两个实数根，且 ，（1）求，及a的值；（2）求的值。3、关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2（1）求k的取值范围；（2）如果x1+x2-x1x2-1且k为整数，求k的值4、已知关于x的方程x2+2（a-1）x+a2-7a-4=0的两根为x1、x2，且满足x1x2-3x1-3x2-2=0求的值5、已知关于x的方程x2+kx-2=0的一个解与方程解相同（1）求k的值；（2）求方程x2+kx-2=0的另一个解6、（2010孝感）关于x的一元二次方程x2-x+p-1=0有两实数根x1，x2，（1）求p的取值范围；（2）若2+x1（1-x1）2+x2（1-x2）=9，求p的值7、已知关于的一元二次方程（1）求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若是原方程的两根，且，求的值，并求出此时方程的两根8、已知关于x的一元二次方程（x-m）2+6