王家楣主编流体力学4-6章习题选解.pdf

第第 4 章习题选解章习题选解 4 8 如图所示 摩托艇在河中以 9m s 的速度 相对岸边 逆 流而上 河中水流速度为 6 5m s 该艇用的喷水推进装置由 船首进水 船尾排水 若射流相对艇的速度为 18m s 流量 力 0 15m3 s 问产生的推力为多大 解 将坐标系固联于艇上 河水相对艇的流速即为入口速度 v 9 6 5 15 5m s 出口速度为 V 18m s 动量增量 Q V v 即为推力 F 的大小 即 F Q V v 9800 0 15 18 15 5 3675 N 4 10 鱼雷在水下 5m 深处以 50 km h 的速度运动 据相对 性原理 可认为鱼雷不动 流体从无穷远处以流速 50 k rn h 流过鱼雷 1 若流体流过鱼雷表面时 其最大速度为无穷远处速 度的 1 5 倍 如图所示的 A 点处 求鱼雷 A 点处的压力 2 设水温为 15 C 产生空泡的压力为 2 33kN m2 求 鱼雷产生空泡时的速度 解 1 该流场为无旋场 就无穷远处和 A 点列出拉格朗日 积分方程 p 2 2 v pA 2 2 A v 水下 5m 深处的静压力 p h 9800 5 49000Pa v 50 km h 13 89m s 2 v 192 9 m s 2 由拉格朗日积分方程得 2 2 v ppA 1 2 v vA 由此得 pA p 1 2 v vA 2 2 v 49000 1 1 52 1000 192 9 2 71562 5 Pa 绝对压力 pAab pA pa 71562 5 101300 29737 Pa 2 当 A 点绝对压力 pAab 2 33kN m2 2330 Pa 时 求 vA 由 2 2 v ppA 1 2 v vA 得 2 v vA 1 2 2 v pp abAab pAab p ab 2330 49000 101300 147970Pa 2 2 v 1000 192 9 2 96450 Pa 代入上式 2 v vA 1 147970 96450 2 5342 v vA 1 592 vA 1 592v 1 592 13 89 22 11m s 79 6 km h 4 11 如图所示的圆柱形闸门 图 a 为关闭状态 图 b 为开 启状态 关闭时上游水位升高 o 6m 计算作用在闸门上水 平方向的分力 并比较两垂直分力的大小 两种情况下的合 力都通过圆心吗 提示 a 可用静力学解 b 需用动力学解 第第 5 章习题选解章习题选解 5 2 已知速度场 vx 2y 3z vy 2z 3x vz 2x 3y 求涡线方程 解 x 2 1 z vy y vz 2 1 2 3 2 1 y 2 1 x vz z vx 2 1 2 3 2 1 z 2 1 y vx x vy 2 1 2 3 2 1 涡线微分方程 x x d y y d z z d 将 x y z 2 1 代入上式得 dx dy dz 积分上式得 x y C1 z C2 5 4 已知速度场为 vx k 1 y vy k 1 x 求沿周线 x2 y2 32的速 度环量 解一 x y 0 z 2 1 y vx x vy 2 1 k 1 k 1 k 1 3 d r sv 2 d 2 r n k 2 3 2 r r k 18 解二 sin cos Ry Rx dcosd dsind Ry Rx cos 1 sin 1 k R x k v k R y k v y x 3 d r sv yvxv y R x dd d sin sin 22 2 0 2 k R k R k R 2 2 0 2 2 d k 18 5 8 原静止不可压缩无界流场中 在位于 z 0 的平面上放 置强度为 的 形涡 如图所示 求点 0 a 点 0 a 和点 0 0 处的诱导速度 解 cos cos 21 R v 对于 A 0 a B 0 a 两点 R 2a 1 90 2 0 代入上式 a a vv BA 8 0cos90 cos 2 4 oo 对于 O 0 0 点 上下两条涡线都在此处产生诱导速度 R a 1 90 2 0 a a vO 2 0cos90 cos 4 2 oo 5 13 设有水面旋涡由中心的涡核及其外围的无旋运动两部 分组成 已知涡核内的速度分布为 v 10r 外部的无旋运 动的速度分布为 v 0 9 r 求 1 涡核的半径 2 旋涡中心水面的下陷深度 解 1 在 r R 的涡核上 v 1 v 2 即 100 9 R 因此得涡核的半径为 R 0 3m 2 根据组合涡的压力分布 2 2 1 2 22 2 2 4 Rrgz r Rp Rrgz r R p p a a 当 p pa时 就可以得到自由面的坐标 z 2 2 2 2 222 2 22 Rr R r g R Rr r R g R z 旋涡中心处 r 0 代入上式 z g R g R 2222 02 2 9 0 8 9 3 010 22 2m 第第 6 章习题选解章习题选解 6 2 已知不可压缩流体平面流动的速度势为 x2 y2 x 求 其流动的流函数 解 x vx 2x 1 y vy 2y 而 x v y 2x 1 y v x 2y 将上式积分得 d 12 xfyx 2xy y f x 将 对 x 求导 y vxfy x 2 2y x f 0 即 f x C 从而求得流函数为 2xy y C 6 5 已知不可压缩平面流动的势函数 xy 求流函数及速度 分布 解 x vx y y vy x 而 x v y y y v x x 将上式积分得 2 1 y2 f x 将 对 x 求导 y vxf x x x f x 即 f x 2 1 x2 C 从而求得流函数为 2 1 x2 y2 C 6 15 如图所示 在速度为 v 的均匀来流中 若在原点处放 置一个流量为 Q 的源 试求沿 x 轴的压力分布 解 正方向直匀流和原点处的点源叠加 流函数为 v y 2 Q v y 2 Q arctg x y 1 y vx v 2 Q 22 yx x 2 x vy 2 Q 22 yx y 3 在 x 轴上 y 0 代入 2 3 y vx v 2 Q x 1 4 x vy 0 5 由 Cp 2 0 2 1 v pp 1 v v 2可得压力分布 其中 22 x vv 6 16 在速度为 v 的平行均匀来流中 在坐标原点放置一 个流量为 Q 的源 从而形成一个物体头部绕流的组合流场 求 1 驻点位置 2 过驻点的流线 3 沿过驻点 零流线上 的速度分布和压力分布 解 1 正方向直匀流和原点处的点源叠加 流函数为 v y 2 Q v y 2 Q arctg x y 1 y vx v 2 Q 22 yx x 2 x vy v 2 Q 22 yx y 3 流场中的驻点可由 vx vy 0 去找 先由 vy 0 代入 3 得 ys 0 再将 y 0 及 vx 0 代入 2 得 xs v Q 2 所以 xs v Q 2 ys 0 或 rs v Q 2 s 2 过驻点的流线方程记为 Cs 代入 1 v 0 2 Q arctg v Q 2 0 2 Q 2 Q 所以 过 S 点的流线方程为 2 Q 再代入 1 得 v y 2 Q 2 Q 于是有 y v Q 2 过 S 点的流线上的质点坐标为 ctg 2 yx v Q y 将上式代入 2 3 可得速度分布 由 Cp 2 0 2 1 v pp 1 v v 2可得压力分布 其中 222 yx vvv 6 19 在点 a 0 和点 a 0 上放置等强度的点源 1 证明圆周 x2 y2 a2上的任意一点的速度都与 y 轴平行 且此速度的大小与 y 成反比 2 求 y 轴上速度最大的点 3 证明 y 轴是一条流线 证 1 ln ln 2 1 rr Q ln ln 2 2222 yaxyax Q x vx 2 2 2 2222 yax ax yax axQ y vy 2 2 2 2222 yax y yax yQ 当 x2 y2 a2时有 x v 222 22 222222 ayx yaaxx ax yaaxx axQ 0 2 ax ax ax ax a Q y v 222 22 222222 ayx yaaxx y yaaxx yQ 2ax y ax y a Q 2 22 xa yaxyax a Q y Q y ay a Q12 2 2 2 y 轴上的速度 0 0 x x y y v 22 2 ay yQ 当0 d d y vy 时 vy达到最大 即 Q2 0 2 222 22 ay yyay 即 22 ay 0 y a y a 0 即当 y a 时 vy达到最大 vmax Q2 a2 1 a Q 3 在 y 轴上 x 0 此时 x v 2 2 2 2222 yax ax yax axQ 2 2 2 2222 ya a ya aQ 0 而 0 0 x x y y v 22 2 ay yQ 0 这就证明 y 轴是一条流线 6 24 圆柱体半径为 0 5m 在静水中从速度为零加速至速度 为 3m s 求推力作功为多少 解 单位长度圆柱体上