数学分析--可积理论.pdf

积分复习之可积理论篇 口诀 可积可积真淘气 阴影面积 趋于零 这是第一充要性 连续单调全搞定 如果函数坏脾气 坏点割出要出力 再用第二要注意 坏点区间只头尾 最后接力算阴影 坏矩全放4M 0 例1 f x 在 a b 上连续 则可积 分析 用第一充要条件 即证 lim 0 wi f xi 0 也即证 0 0 只要分划满足 就有 wi f xi 0 存在 0 使得 x x 时 就有 f x f x 2 b a 从而若 时 所有小区间上任两点x x 都满足 f x f x 2 b a 于是对 所有的小区间上的振幅 i都满足 wi 2 b a 故 wi f xi 2 b a xi 2 0 存在 0 时 wi f xi 2 b a xi 2 0 我们令 0 12M 1 其中M满足 f x M 由f在区间 a c 0 和 c 0 b 上连续 可知f在此两个区间上均可积 从而 由可积的第二充要条件可知在 a c 0 和 c 0 b 上分别存在一个分化 1 a x0 x1 xn c 0 和 2 c 0 y0 y1 ym b 使得 n i 1 i xi 3 2 及 m i 1 i yi 3 3 成立 我们设 a b 被分点 x0 x1 xn y0 y1 ym 所分的分化为 即 a x0 x1 xn c 0 c 0 y0 y1 ym b 从而 wi xi n i 1 i xi w c 0 c 0 2 0 m i 1 i yi 其中w c 0 c 0 表示f在区间 c 0 c 0 上的振幅 于是由 1 2 3 式 可得 n i 1 i xi w c 0 c 0 2 0 m i 1 i yi 3 2M 2 0 3 故再由可积第二充要条件可知 函数f在 a b 上可积 2 其他两种情形做为练习 请读者自己完成 注 到此 我们可以 如过f在闭区间上至多只有一个间断点 则f在此闭区间上必可积 有限个间断点的可积性分析 我们不妨假设间断点为c1 c2 ck 坏点割出时我们遵循的原则依然是 如果坏点为区间左端点a 则割 a a 2 0 如果坏点为区间右端点b 则割 b 2 0 b 如果坏点ci为区间为 a b 中的点 则割 ci 0 ci 0 下面我们来证明间断点c1 c2 0 我们令 0 12M 4 这里M满足 f M 从而在 a c 0 及 c 0上至多只有有限个间断点 故可积 从而由可积的第二充要条件可知在 a c 0 和 c 0 b 上分别存在一个分化 1 a x0 x1 xn c 0 和 2 c 0 y0 y1 ym b 使得 n i 1 i xi 3 5 3 及 m i 1 i yi 3 6 成立 我们设 a b 被分点 x0 x1 xn y0 y1 ym 所分的分化为 即 a x0 x1 xn c 0 c 0 y0 y1 ym b 从而 wi xi n i 1 i xi w c 0 c 0 2 0 m i 1 i yi 其中w c 0 c 0 表示f在区间 c 0 c 0 上的振幅 于是由 4 5 6 式 可得 n i 1 i xi w c 0 c 0 2 0 m i 1 i yi 3 2M 2 0 3 故再由可积第二充要条件可知 函数f在 a b 上可积 发现了没 证明与只有一个间断点是如此惊人的相似 证明细节的高度重复性就是那 些有趣的事情 在7 2节有两个和可积性紧密相关的例子 重要程度五星级 例7 2节11题 若f x 和f x h 在 a b 上可积 则 lim h 0 b a f x h f x dx 0 分析 这题解答给的很不舒服 我给出一种解法 即分别来证明左侧和右侧极 限都为零 证明 下证 lim h 0 b a f x h f x dx 0 设 n b a h 对 a b 进行分化 a x0 a h x1 a 2h x2 a nh xn b xn 1 从而 b a f x h f x dx x1 a f x h f x dx xn xn 1 f x h f x dx b xn f x h f x dx 4 又对于积分 xi xi 1 f x h f x dx i 1 2 n 1 我们知道积分变量x的变化范围为 xi 1 x xi 从而 xi x h xi 1 故 xi xi 1 f x h f x dx w xi 1 xi 1 xi i 1 2 n 1 从而 b a f x h f x dx n 1 i 1 w xi 1 xi 1 xi xn xn 1 f x h f x dx b xn f x h f x dx 又 xn xn 1 f x h f x dx b xn f x h f x dx 2Mh 2Mh 故 b a f x h f x dx n 1 i 1 w xi 1 xi 1 xi 4Mh n 1 i 1 w xi 1 xi w xi xi 1 xi 4Mh n 1 i 1 wi xi n 1 i 1 wi 1 xi 1 4Mh 2 wi xi 4Mh 又由f可积知 lim h 0 wi xi 0 故 lim h 0 b a f x h f x dx 0 例7 2节第1题这里我将题目改变一下叙述 如果两个函数f和g在 a b 上只有至 多有限个点取值不同 则f与g的可积性彼此等价 而且在可积时积分值相同 或者也可以叙述为在有限个点改变函数的取值 对其积分无影响 即若可积 依然可积 且积分值相同 若不可积依然不可积 5 证明 我们令 h f g 则h在 a b 上至多只有有限个间断点 故h可积 于是若f可积时 g f h也可积 同理可知g可积时 f也可积 从而 f可积 g可积 设f可积 下证 b a h x dx 0 事实上 对任意的分化 a x0 x1 0 证明 lim n b a f x ng x dx 1 n max a x b f x 证明 对任意的自然数n 显然fng在 a b 上都可积 将 a b 区间n等分 则对任意给定的 0 存在充分大的n使得 在这n个小区 间中必有一个小区间 c d 使得 f x max a x b f x M 从而 M d c g x dx 1 n d c f x ng x dx 1 n b a f x ng x dx 1 n M b a g x dx 1 n 7 又 ming x 1 n b a n 1 n d c g x dx 1 n maxg x 1 n b a n 1 n 故由数列极限的两边夹性质可得 lim n d c g x dx 1 n 1 同理可得 lim n b a g x dx 1 n 1 让n再充分大 满足 M d c g x dx 1 n M 2 及 M b a g x dx 1 n M 2 7 将这些结果代入不等式 7 得 M 2 b a f x ng x dx 1 n M 2 这就表明结论成立 练习篇 几道很重要的题目 大家可以当作定积分这一章的复习题 1 若f与g在 a b 上可积 则 lim 0 n i 1 f i g i xi b a fgdx 其中 i i均为 xi 1 xi 上任意一点 2 设f在 a b 上连续 且对任意连续函数g都有