塑性力学-简单弹塑性问题.pdf

1 简单弹塑性问题 2 一 直梁的弹塑性弯曲一 直梁的弹塑性弯曲 1 梁的纯弯曲梁的纯弯曲 M M xz o 2h 2h b y y 等截面梁 等截面梁 y轴是横截面的对称轴 x是梁的纵轴 纯弯曲发生 在 轴是横截面的对称轴 x是梁的纵轴 纯弯曲发生 在xoy平面内 平面内 3 中性层中性层 中性层曲率半径 中性层曲率半径 dx d 1 y 纤维的正应变 纤维的正应变 对弹塑性问题仍然适用对弹塑性问题仍然适用 基本假设 平截面假设 横截面保持平面 与挠曲的轴线垂直 单向受力 梁各纵向纤维之间无相互作用 基本假设 平截面假设 横截面保持平面 与挠曲的轴线垂直 单向受力 梁各纵向纤维之间无相互作用 0 x 4 y I M z 线弹性正应力分布 线弹性正应力分布 z EI M 1 当上下边缘应力达到屈服极限 当上下边缘应力达到屈服极限 e MM 上下边缘出现塑性区 截面上弹性区 塑性区共存上下边缘出现塑性区 截面上弹性区 塑性区共存 s z e h I M 2 max e M 弹性极限弯矩弹性极限弯矩 22 1 hhE ss e e 弹性极限曲率半径弹性极限曲率半径 5 塑性本构关系 截面上的应力分布情况 塑性本构关系 截面上的应力分布情况 y ss s s y yy y y y 梁截面的平衡条件 梁截面的平衡条件 2 2 2 2 0 hh hh y b y dyy yb y dyM s y s y s s y s s Ey 1 中性层曲率 中性层曲率 6 s y s y s s 2 0 2 h ydAM 2 0 22 h y y s s ydAydA 2 2 h y ez s ydAAI E 2 2 h y ez s s s ydAAI y 理想弹塑性材料 矩形截面理想弹塑性材料 矩形截面hb s p s ez s S y AI M 3 3 2 sez ybAI 4 2 2 sp y h bS 其中 其中 7 2 2 2 1 2 3 h y M M s e 2 2 1 2 3 ee M M e MM e e M M e MM e e MM 1 1 5 1 0 塑性极限弯矩塑性极限弯矩 2 3 e p M M 0 s y p M 弯矩与曲率 曲率半径 弯矩与曲率 曲率半径 8 s s E F O 线性硬化弹塑性材料 矩形截面线性硬化弹塑性材料 矩形截面hb 1 1 s s E F 2 2 h y ez s s s ydAAI y M ss y y e ee E F E F E F M M 1 2 3 1 2 1 2 s y s y s s y z o 2h 2h 塑性区 弹性区 塑性区 9 0 F 当即理想弹塑性当即理想弹塑性 2 2 1 2 3 ee M M 当当1 几何关系 几何关系 r s rr s s s r se r R 弹塑性区界面 本构关系 弹性区 塑性区 弹塑性区界面 本构关系 弹性区 塑性区 G s 弹塑性 20 弹塑性 0 s r 3 4 e p T T 塑性极限扭矩 塑性极限扭矩 平衡方程 平衡方程 R rdrrT 0 2 3 2 2 3 3 4 ss s rR Gr T 3 3 1 3 1 3 4 3 1 3 4 e s e R r T T 21 e e TT 1 1 34 0 ee T T e TT 3 3 1 3 4 ee T T e TT 扭矩与单位扭转角 弹性 扭矩与单位扭转角 弹性 弹塑性弹塑性 22 三 理想弹塑性材料的厚壁球壳三 理想弹塑性材料的厚壁球壳 d d r x y z 内半径为 外半径为球壳 受内压力 求弹塑性应力及其 极限荷载 内半径为 外半径为球壳 受内压力 求弹塑性应力及其 极限荷载 ab q 该问题是球对称的 采用 球坐标 主应力 该问题是球对称的 采用 球坐标 主应力 123 0 0 r 3 1 3 2 b a qq se 当内压力增大 壳体内同时存在弹 塑性区 当内压力增大 壳体内同时存在弹 塑性区 25 球对称问题的平衡方程 球对称问题的平衡方程 20 rr d drr 边界条件 边界条件 q ar r 塑性区 塑性区 s rra sr 屈服条件 屈服条件 2ln 12ln rs s r q a r q a a b s r 塑性区 弹性区 弹塑性交界面 q 弹塑性状态 弹塑性状态 26 弹性区 弹性区 brrs 3 3 1 1 r b r b q s r 3 3 2 1 1 1 r b r b q s a r qq s s rr r s ln2 0 界面面力连续条件 弹性极限压力条件 界面面力连续条件 弹性极限压力条件 3 1 3 2 b r q s s a r b r q s s s s ln2 1 3 2 3 建立与之间的关系 建立与之间的关系 q s r 27 塑性极限状态 塑性极限状态 当 球壳全部进入塑性 塑性极限压力 当 球壳全部进入塑性 塑性极限压力 s rb 2ln ps b q a 此时塑性区的应力为 此时塑性区的应力为 2ln 12ln rs s r b r b 3 1 ln 3 ba ab q q e p 极限内压力比值 极限内压力比值 28 四 理想弹塑性材料的厚壁圆筒四 理想弹塑性材料的厚壁圆筒 内半径为 外半径为的厚壁圆筒 受内压为 假定是 不可压缩的理想弹塑性材料 平面应变问题 取柱坐标 使轴 与筒轴线重合 内半径为 外半径为的厚壁圆筒 受内压为 假定是 不可压缩的理想弹塑性材料 平面应变问题 取柱坐标 使轴 与筒轴线重合 ab q z 弹性状态弹性状态1 2 1 1 2 2r b a b q r 1 1 2 2r b a b q 1 2 1 2 a b q rz 29 1z 2r 3 主应力 主应力 222 122331 1 2 i 应力强度 为 应力强度 为 最大应力强度发生在内壁处最大应力强度发生在内壁处 2 2 1 3 2 3 r b a b q ri 根据根据Mises屈服条件得到屈服条件得到弹性极限压力弹性极限压力为 为 2 1 3b a q s e 30 弹塑性状态弹塑性状态 2 1 3b a qq s e 靠近筒内壁附近形成塑性区 筒壁内弹 塑性区共存 靠近筒内壁附近形成塑性区 筒壁内弹 塑性区共存 a b s r 塑性区 弹性区 弹塑性交界面 q sri 2 3屈服条件 屈服条件 1z 2r 3 主应力 主应力 2 1 rz 0 rr d drr 平面轴对称问题的平衡方程 平面轴对称问题的平衡方程 塑性区 塑性区 s rra 31 内壁边界条 件 内壁边界条 件 q ar r 2 ln 3 2 1 ln 3 21 ln 23 rs s zs r q a r q a r q a 塑性区的应力 塑性区的应力 圆筒的弹性区相当于内壁刚屈服的厚壁圆筒圆筒的弹性区相当于内壁刚屈服的厚壁圆筒 1 1 2 2r b r b q s r 1 1 2 2r b r b q s 弹性区弹性区 brrs 32 a r qq s s rr r s ln 3 2 0 界面面力连续条件 弹性极限压力条件 界面面力连续条件 弹性极限压力条件 2 1 3b r q ss a r b r q s s ss ln 3 2 1 3 2 建立与之间的关系 建立与之间的关系 q s r 塑性极限状态 塑性极限状态 当 厚壁筒全部进入塑性 塑性极限压力 当 厚壁筒全部进入塑性 塑性极限压力 s rb a b q sp ln 3 2 33 塑性区的应力为 塑性区的应力为 2 ln 3 2 1 ln 3 21 ln 23 rs s zs r b r b r b 2 1 ln 2 ba ab q q e p 极限内压力比值 极限内压力比值 34 b a s r 弹性应力弹塑性应力塑性极限应力残余应力 r r r r 残余应力残余应力 卸载是弹性过程 应力改变量是由弹性关系计算 残余应力等于卸载前应力减去应力改变量 卸载是弹性过程 应力改变量是由弹性关系计算 残余应力等于卸载前应力减去应力改变量 e qq e qq p qq 0 q 35 五 理想弹塑性材料的旋转圆盘五 理想弹塑性材料的旋转圆盘 b s r 塑性区 弹性区 弹塑性交界面 O 理想弹塑性材料的等厚薄圆盘绕通过圆心 且垂直于盘面的轴等速旋转 离心惯性力 理想弹塑性材料的等厚薄圆盘绕通过圆心 且垂直于盘面的轴等速旋转 离心惯性力 n maF 面内应力和应变 轴对称问题 剪力为零 和为主应力 面内应力和应变 轴对称问题 剪力为零 和为主应力r 平面应力平面应力 0 z 36 r udu rdr 应变和位移 应变和位移 2 0 rr d r drr 平衡方程 平衡方程 1 2 rr E 1 2 r E Hooke定律 定律 弹性状 态 弹性状 态 2 2 22 2 1 8 3 1 1 1r C r E A E r 2 2 22 2 1 8 3 1 1 1r C r E A E 应力一般解 应力一般解 37 显然在圆心处首先屈服 达到弹性极限状态 显然在圆心处首先屈服 达到弹性极限状态 2 2 0 3 8 s r b s Tresca屈服条件 屈服条件 81 3 s e b 弹性极限转速 弹性极限转速 0 rz 222 222 331 3 883 r r brb 应力状态 边界条件 应力状态 边界条件 圆心的位移有限圆心的位移有限 圆盘外边缘的应力为零 圆盘外边缘的应力为零 38 弹塑性状态 弹塑性状态 当时 圆盘从圆心向外进入塑性 弹塑性区共 存 当时 圆盘从圆心向外进入塑性 弹塑性区共 存 e 塑性区 塑性区 s rr 0 2 0 rr d r drr 屈服条 件 屈服条 件 s 22 3 rss r 平衡方程 自然边界条件 圆心应力有限 平衡方程 自然边界条件 圆心应力有限 39 弹性区看作为内半径为 外半径为的空心旋转圆盘弹性区看作为内半径为 外半径为的空心旋转圆盘 s rb 弹性区 弹性区 brrs 22 3 s s rs r r r 0 r r b 边界条件 边界条件 s rr s s r r 满足屈服条件 由上面三个条