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实变函数论与泛函分析 第四章 可测函数 第四章 可测函数 第四章 可测函数 在给定了一个测度空间以后 由定义在这个空间上 的一个函数可以自然地产生出各种各样的集 为用测度论 的方法研究这个函数 自然要求这些集是可测的 由此产 生了可测函数的概念 在定义积分时候 对被积函数的一 个基本要求就是这个函数必须是可测的 我们将看到可测 函数是一类很广泛的函数 特别地 欧氏空间 在给定了一个测度空间以后 由定义在这个空间上 的一个函数可以自然地产生出各种各样的集 为用测度论 的方法研究这个函数 自然要求这些集是可测的 由此产 生了可测函数的概念 在定义积分时候 对被积函数的一 个基本要求就是这个函数必须是可测的 我们将看到可测 函数是一类很广泛的函数 特别地 欧氏空间 R R n n上的上的 LebesgueLebesgue可测函数是比连续函数更广泛的一类函数 而 且可测函数类对极限运算是封闭的 这将使我们在讨论积 可测函数是比连续函数更广泛的一类函数 而 且可测函数类对极限运算是封闭的 这将使我们在讨论积 分的时候更加便利 分的时候更加便利 4 1 可测函数及其性质 4 1 可测函数及其性质 教学目的与要求 教学目的与要求 1 理解定义在测度空间上的函数可以自然产生出各 种各样的集 为用测度论的方法研究这个函数 特别是在 定义积分时 必须要求这些集是可测的 由此产生了可测 函数的概念 2 理解可测函数定义及各种不同的等价定义 3 掌握常见的可测函数类 掌握可测函数的性质特 别是对四则运算和极限运算的封闭性 4 掌握任一可测函数可以用特殊的可测函数即简单 函数逼近 教学重点与难点 教学重点与难点 重点 可测函数的定义 可测函数的运算封闭性 可 测函数的构造特征 简单函数逼近 难点 可测函概念的引入 性质的证明 可测函数的 构造特征 讲授内容 讲授内容 实函数 f E R n R 有限函数 f x R x E 带 的序关系及四则运算 设f是E上实函数 a R 记 黔南民族师范学院数学系 严忠权 1 实变函数论与泛函分析 第四章 可测函数 E f a x E f x a Def 1 设f是E上实函数 若对任意a R E f a 是R n中可测集 则称f是E上可测函数 Th 1 1 f是E上可测函数 2 a R E f a 可测 3 a R E f a 可测 4 a R E f a 可测 5 a b R a b E a f a 互余 2 3 E f a E f a 1 n 2 1 E f a E f a 1 n 2 5 E a f b E f a E f b 5 2 E f a E a f a E f E f n 例 1 a b 上连续函数及单调函数是可测函数 证 f连续时 x a b f x a 是闭集 Ex 2 11 P50 从而可测 f单调时 x a b f x a 是区间 从而可测 注 零测集上的任何实函数都是可测函数 Def 2 f是E上实函数 x 0 E 称f在x 0连续 若 i y 0 f x 0 有限 ii 对y 0的任意邻域V 存在x 0的邻域U 使f E V U 若f在每一x E连续 则称f在E上连续 注 ii 等价于对任意 0 存在 x 0的邻域U 使x 黔南民族师范学院数学系 严忠权 2 实变函数论与泛函分析 第四章 可测函数 U E时 f x f x 0 a f x a 取 f x 的邻 域V a 存在x的邻域U x f U x E V U x E E f a 令G xfa U x 是开集 则 G E xfa U x E xfa U x E E f a G E 所以 E f a G E f可测 Th 3 1 f是可测集E上可测函数 可测E 1 E 则f 是E1上可测函数 2 f是可测集E i i 1 2 n 上可测函数 则f是 E i上可测函数 Proof 1 E 1 f a E 1 E f a 2 E f a E i f a Def 3 E i是有限个互不相交的可测集 f在每一E i上 取常值c i 则称f是E E i上的简单函数 注 Dirichlet 函数是简单函数 注 可测集上的常值函数是可测函数 简单函数是 可测函数 Lemma f g是E上可测函数 则E f g E f g 是可测集 证 x E f g f x g x 有理数r f x r g x x E f r E g g E f r E g f Th 4 设f g是E上可测函数 c R 则 1 f c 2 c f 3 f g 4 f 5 1 f 6 f g 运算有意义时 都是 可测函数 证 1 E f c a E f a c 黔南民族师范学院数学系 严忠权 3 实变函数论与泛函分析 第四章 可测函数 2 c 0 时 f是常函数 c 0 时 E c f a a E fc c a E fc c 0 0 a E f g a 4 E f a 0 E faE faa Ea 0 a 1 0 0 1 0 E fE fa a E fE fa E fE fa a a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a E fE gEf g a a E fE gEf g EE fgaE a E fE gEfa g a E fE gEf g Th 5 f n 是E上有限或可列个可测函数 则 x inf f n x x sup f n x 是E上可测函数 证 E a E f n a E a E f n a Th 6 f n 是E上可测函数 则 F x lim n f n x G x lim n f n x 是E上可测函数 特别 f n 收敛时 flim n n x 是E上可 测函数 黔南民族师范学院数学系 严忠权 4 实变函数论与泛函分析 第四章 可测函数 证 lim n f n x fsupinf m n n m x lim n f n x finf sup n m n m x 设f是E上实函数 分别定义f的正部和负部为 f x max f x 0 0 0 0 f xf x f x f x min f x 0 0 0 0 f xf x f x 0 E h 0 注 当f可测时 f x f x 均可测 注 对任何实数t 0 由k t k 1 2 t 2 k 对任何实数t 0 k t 2 k 2 t Lemma 定义 n 0 0 为 n t 2 0 2 n n t tn nnt 则 n t 有性质 n t n 1 t n t t n Proof t n时 n t 2 2 n n t 1 2 2 2 n n t 1 1 2 2 n n t n 1 t n t n 1 时 n t n 1 1 2 2 n n n 1 1 2 2 n n t n 1 t n 1 t时 n t n n 1 n 1 t 当t 时 n t n n 0 t 时 当n充分大则有 黔南民族师范学院数学系 严忠权 5 实变函数论与泛函分析 第四章 可测函数 n t t 2 2 n n t t 2 2 2 nn n tt 1 2n 0 n Th 7 设f是E上可测函数 则存在E上简单函数列 n 使 f x lim n n x 且 n x n 1 x Proof 1 f x 0 令 n x n f x 1 0 1 2 222 n nnn kkk xEfkn nxE fn 1 0 E n x 0 E f x 0 E f x 0 n x n x 分别是 n x 的正部和负部 且有 n x n x n x n 1 x n 1 x n 1 x lim n n x lim n n x n x lim n n x lim n n x f x f x f x 注 f是E上可测函数iff存在E上简单函数列 n 使 f x lim n n x 且 n x n 1 x 黔南民族师范学院数学系 严忠权 6 实变函数论与泛函分析 第四章 可测函数 Def 4 设 是与E上点x有关的命题 若存在M E 使m M 0 且 在E M上成立 即 m E E 成立 0 则称 在E上几乎处处成立 或 成立 a e 于E 例 2 tan x a e 于R 0 1 上 Dirichlet 函数D x 0 a e 于 0 1 注 1 成立a e 于E且 2 成立a e 于E 则 1且 2 成立a e 于E 且 1或 2 成立a e 于E 例3 若f x g x a e 于E 且g x h x a e 于E 则 f x g x a e 于E 4 2 叶果洛夫 Eropo 4 2 叶果洛夫 EropoB B 定理 定理 黔南民族师范学院数学系 严忠权 7 实变函数论与泛函分析 第四章 可测函数 教学目的与要求 教学目的与要求 1 可测函数列可以定义各种收敛性 几种收敛性之间存在一 些蕴涵关系通过本节的学习 使学生掌握可测函数列的处处收敛 与一致收敛的关系 2 理解处处收敛 一致收敛 近一致收敛概念 3 理解EropoB定理的科学意义 掌握其证明 教学重点与难点 教学重点与难点 重点 处处收敛 一致收敛 近一致收敛概念 EropoB 定 理的科学意义 难点 EropoB 定理的科学意义与证明 讲授内容 讲授内容 Lemma 设m E f n 是E上一列a e 有限的可测 函数 lim f n x f x a e 于E 且 f x 0 及任意正整数n 记E n E f k f k n k n E f k f 则有 lim n m E E n 0 Proof 不难看出f是E上可测函数 E n 是可 测集 lim m E E n lim m E m E n m E m E lim m E n m E m lim E n E n 单调增 m E m E n E n 单调增 m E E n m E m E E f n 有限f E f n 有限f E n 0 其中 E f n 有限f E 除有限个n外 f n f lim E f n f 1nk n E f n f 1n E n 黔南民族师范学院数学系 严忠权 8 实变函数论与泛函分析 第四章 可测函数 推论 设m E 0 lim m E E f n f 0 Proof 因为E n E f n f lim m E E f n f lim m E E n 0 注 E E f n f E f n f Th EropoB 设m E 0 存在可测E E 使 f n 在 E 上一致收敛于f 且m E E Proof 由引理对每一i 存在n i 使m E E ni 1 i 0 取i 0 使 0 1 i n 0时 对一切x E E ni 0 0 1 i f n x f x 0 1 i ii m E E m E 1i E ni 1 i E m E E n 1i i 1 i E m E E ni 1 i E 2i 黔南民族师范学院数学系 严忠权 9 实变函数论与泛函分析 第四章 可测函数 注 1 叶果洛夫定理中的收敛称为 基本上 一致 收敛 注 2 当m E 时 定理不成立 例如 E 0 f n x 0 0 1 xn xn 则f n x 0 于 0 但f n x 非基本上一致收敛于 0 注 3 叶果洛夫定理的逆定理成立 即E可测 f n x 在 E上基本上一致收敛于f 则f n x a e 收敛于一个a e 有限 的函数f 事实上 设f n x 在En上一致收敛于f m E E n 0 存在闭F E 使f在F 上连续 且m E F 即f在E上基本上连续 黔南民族师范学院数学系 严忠权 10 实变函数论与泛函分析 第四章 可测函数 证 1 f是E上简单函数 设E E 1 E n E i是互不相交可测集 f在E 1 E n上分别取有限值c i 作闭集Fi E i 使m E i F i n 令F 1 n i F i 则F 是闭集 且m E F m E i F i 下证f在F 上连续 对x 0 F i 0 x 0 F i 0 x 0 i i 0 F i U x 0 U x 0 i i 0 F i U x 0 F F i 0 for any x U x 0 F f x f x 0 c i 0 c i 0 0 2 m E 由可测函数与简单函数的关系 取一列简单函数 n n 收敛于f x 又由叶果洛夫定理 存在可测 E 0 E n 在E0上一致收敛于f 且m E E 0 2 由 1 的结论 存在闭F n E 0 使 n在F n上连续 且 m E 0 F n 1 2n 令F F n E 0 则F 是闭集 n 在F 上连续 且 在F 上一致收敛于f 从而f在F 上连续 并有 m E F m E E 0 E 0 F m E E 0 m E 0 F 3 m E 将E表示为可数个互不相交的有界可测集的并E E 1n n 其中 E n E S 0 n S 0 n 1 S 0 n 为球 由 2 存在闭F n E n 使f在F n连续 且m En F n 2n 令F 1n F n 由E n的作法可知 对x属于某F n 存在x 的邻域U x 使U x F i n i 从而不难证明 F 是闭集 且f在F 上连续 并有 黔南民族师范学院数学系 严忠权 11 实变函数论与泛函分析 第四章 可测函数 m E F m E 1n F n m 1n E n 1n F n m E 1n n F n m E n F n 注 鲁津定理的逆定理成立 即若f在E上基本上连续 则f是E上 a e 有限的可测函数 事实上 对任意n 存在闭F n E f在F n上连续 从而 f在F n上有限可测 且m E F n 0 存在闭F E及f F在R上的连续延拓g 使 m E F 且 sup R g x sup F f x inf R g x inf F f x Proof 由定理 1 存在闭F E 使f在F上连续 且 m E F 0 由g在F上连续 存在 0 x x 0 x 0 F时 g x 0 g x 黔南民族师范学院数学系 严忠权 12 实变函数论与泛函分析 第四章 可测函数 下证g在x 0左连续 若 x 0 x 0 F 则x 0是F的某个构成区间 a i b i 的右端点 由g在 a i b i 上为线性函数 g在x 0右连 续 若 x 0 x 0 F 取x x 0 x 0 F 考 查 x x 0 中点x 若x x x 0 F 则 g x 0 g x f x 0 f x 若x x x 0 F 则存在F的余区间 a i b i x a i b i x x 0 a i b i F 从而 g c i g x 0 f c i f x 0 c i a i b i 而g在 a i b i 上是线性函数 所以 g x g x 0 0 lim n m E f n f 0 则称 f n 在E上依测度收敛于f 记为f n x f x 上极限条件等价于 对任意 0 0 存在 N N 当 n N 时 m E f n f 0 0 存在N 当n N时 m E f n f 特别对 1 2m 存在n m 使 m E f n m f 1 2m 1 2m 不妨设n 1 n 2 并记E m E f n m f 1 2m 令 F k m k E E m E f m k n m f 1 2m E f n m f 1 2m m k k 1 显然f n m在F k上一致收敛于f 令F 1k F k 则在F上f n m f 且 黔南民族师范学院数学系 严忠权 15 实变函数论与泛函分析 第四章 可测函数 m E F m E 1k F k m E F k m E m k E E m m m k E m m E m k m m k 1 2m 1 1 2k 0 Th 2 Lebesgue m E f n f a e 有限可测 f n f a e 于E 则f n f于E Proof 结论由 2 引理之推论 P 87 注 条件 mE 不可去 见例 2 Th 3 If f n f an