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数学在金融中的应用分析马奕虹桂林电子科技大学摘要：新时期，金融理论在现代市场中的逐步发展和完善，复杂的现代金融理论，导致数学方法和理论的应用更为重要。 数学金融形成后，通过一些数学理论和方法的应用，来研究金融的运行规律。本文尝试对数学金融进行相应的分析，并探 讨在金融中如何科学、高效地运用数学理论和知识，来促进其在金融中的应用。关键词：金融数学；资产；期权；证券投资；证券投资组合随着当代金融理论体系的构建、发展和完善。现代的 金融理论变化越来越复杂，而数学方法在其中的应用是最重 要的。尤其是在金融数学逐步形成之后，数学在金融体系 中的应用也就变得更重要了。因此，应用数学与分析数学 在金融领域当中的应用也就具有现实的意义了。一、金融数学简介金融数学是金融学的一个分支，现当代数学工具是 现代金融数学理论体系的最大特点，伴随着控制理论体 系和随机过程的研究成果在金融领域中的创造性应用，一 门新生的边缘学科应运而生金融数学（卩131 3廿。8，国际上也称其为数理金融3也6瓜3廿。31 扔030金融数学的出现源于金融问题的探索研究。随着 现代金融市场的飞速发展，金融学与数学越来越紧密相连在 一起了，而且现代金融学的发展也有助于推动了数学领域某 些分支的发展，同时数学方法和理论为金融学的发展提供了 有力的工具。金融数学的含义有多种方面，从广义来说，金融数学 是指应用数学的方法和理论，探索研究市场经济运行规律 的一门新兴学科。但从狭义的方面来讲，金融数学的主要 研究对象是不确定的时期条件下的证券组合筛选和资产定 价体系理论，而这种理论体系三个最核心的概念是套利、 最优和均衡。金融数学的应用方法是从一些金融或经济假 设为出发点，用抽象的数学方法来研究，建立起附有金融 机理的数学模型。金融数学包含的范围非常广，其中包括 数学的概念在金融学，尤其是金融理论体系中的各类应用。 金融数学的应用目的是用数学独特的语言来表达、推理和 论证金融学原理。金融数学是以金融理论为基础和背景，而并不是一定要 接受过专业的金融方面训练。金融还与会计学、财务学、税 务理论体系等有着密切的联系，金融数学的运用还需要财务 技术、会计原理、税收理论等方面的知识作基础。金融数学 的理论基础然还包含当代数学理论和当代统计学理论，而这 个理论的首要目的就是数学建模，也就是说从多变的金融背 景中挑选出关键因素来分辨出相关因素和无关因素，进而从 一系列事先的假设出发，推导、判断出现实中的各种关系， 最后得到结论的解释。所以可以看出数学建模在金融数学中 的重要性。综上论述可知，金融数学是以金融学、数学、统计学、 经济学与计算机科学为基础的交叉学科。金融数学也是高层 次的数量化分析性学科。二、金融数学的理论构架金融数学本身就是一门边缘学科，它最明显的特点就是 运用一些数学的方法和手段来有效的发现和论证金融经济运 行过程中的一些客观规律。具体来说，金融数学主要运用随 机控制理论、随机分析方法、泛函分析法、数学规划体系、 微分对策、数理统计思想、线性及非线性分析法、分形几何 法等现代数学理念来着重地研究以下几个方面的问题：怎样投资才能使金融者本人获得最大收益和把投资风险降到 最低2在金融市场不完备前提下的资产定价模型及最优 消费和投资理论；3利率和利率衍生物的定价理论体系 等等；4在金融市场不稳定下的金融风险管理。在现实经济运营中，有许许多多的人在分析证券价格的 过程中引进了多种新型的非线性分析理念，如分形几何法、 小波分析法、混沌学分析法、模式探索识别等。与此同时， 在股票的预测和证券的选择过程中，同样有许多人采用了先 进的技术和方法来解决这些问题，如神经网络方法、智能人 工方法等。而金融数学并不是一个理论躯壳，它必须有多种 细微的理论体系做基础。1.控制最优理论在现代的金融理论应用过程中，利用数学知识来解决金 融方面的一些随机问题已经成为了一个重要的应用导向。然 而应用数学理论来解决某些金融方面问题的最有效果的手段 和方法那就是一一随机最优控制理论。随机最优控制理论 的本义是指在控制理论体系发展到一定时期的时候才兴起的 一种理论，它是通过贝尔曼的最优化原理，然后再与测度 理论和广泛函数分析法相结合的方法来对随机性问题进行探 索、分析和解决。控制最优理论是在上个世纪的60年代的末期才形成的，并且在70年代得初期才逐步地走向成熟。70年代的初期， 在金融学研究领域就出现了好多篇与此相关的经济学论文与 期刊，其中包括默顿6代0 的利用连续时间的方 法论述消费与资产组合，在这篇论文当中，默顿4 0 使得两者之间的分析研究更加具有实际性；而布罗克 (已10和米尔曼（土!瓜30是对使用离散时间的方法对经济最优增长的问题进行了详细的论述和阐明。而在 70年代后期，随机最优控制方法在金融业的大部分领域都 得到了充分的运用。在研究过程中，我国以彭实戈等为首的 中青年研究员们，在此项分析研究当中也起到了巨大的推动 作用。2资产估价模型资金本身是具有时间价值的。在不同的时间点和时间 段时，流动的资金是不能通过直接的加减法来进行计算和 相互比较的。在1896年，美国的以为经济学方面的专家 欧文费雪1口匕8 1就提出了资产当前所具有的 价值等于未来现金流量贴附现值之和的思想理论，这个理 论为资产估价模型的奠定了一定的基础。从金融经济学角 度来看，构架最简单的估价模型就是复制或贴现估价 模型。欧文费雪的思想是可以用数学表达式来表示的，表 达式如下：假设某项投资方案在未来时刻丨时的现金流量 为I，在此时刻得贴现率为尺1为周期数，为总现值数，则卜取厂这一数学表达就1-1是计算证券投资价值的资本化方法的一种理论基础，它在 不同的情形当中是运用不同的表达模式。在1938年，威 廉斯（诹11113瓜)是美国一位知名投资理论家，他在当 时提出了贴现现金流动模型，该模型的英文缩写是007， 该模型明确地表明了股票的潜在价值等于该股票所有未来股息的贴现值之和，用公式?1X1 来表知I示，其中？、1的含义为在时刻1时的股票价格，0、 1+匕表示为在时刻奸匕时所得到的股票利息，1是一 个常数，它表示合理的贴现利率。在这两种理论基础之上， 随即又产生了许多在特殊条件状况下的价值模型，如固定 收入证券的价值模型，零增长股息的价值模型，贴现率可 变得价值模型等等。但总体来说，费雪的思想对资产定价 模型的形成起到了奠基石的作用。3资本资产定价模型、0八户)马柯威茨模型是非常有名的资产定价模型，但该模型 拥有大量的数据，并且其计算过程也是相当的复杂。他 的学生威廉夏普（诹11113瓜3乜3卬0认为该模型相当的繁 琐，所以对此进行了简化处理。在20世纪60年代，威廉 夏普总结提出了单指数函数模型，再加上莫森（。“匕）、 林特、比如60等人的理论基础，就渐渐地演变成了今 天的资本资产定价模型也就是0六？。这一模型有一个前 提就是要以市场均衡原理为前提。在市场经济达到均衡状 态时，各种风险证券的价格才会达到供求平衡的状态。这 时就会存在一个组合每种证券在组合当中所占有的比例正好就等于该证券的市场价值占市场中全部证券价 值的比例。在资本资产定价模型框架中，只需知道零风险 资产的收益率尺卜标准差0丨和市场组合的预期收益率 (),投资者自己就会很容易的确定出有效组合边界。 有效组合？的预期收益率則尺和标准差0丨具有的线性 关系表达为：到氏仁尺#(旧()一&义005，并且在平 衡状态下，风险证券和组合证券1的期望收益率尺是它 与市场组合收益率协方差0丨的线性比例函数，表达式为 攻氏二尺1+1旧(尺一义00 除此之外，罗伯特默顿、0161 6000把该资本资产定价模型模型推广到了多因 素情况下的八模型。4金融优化在中国乃至世界，银行是一个金融系统，要是以系统总 体目标最优为目的，即计划最优、控制最优、管理最优、 设计最优，运营最优等，要想使系统工程达到以上目的， 必须采用最优、最精的技术，它是数学一个新的分支。它 所阐述的主要内容就是如何将最优化问题用特定的数学模型 表达出来，并且如何根据模型才能又快又准的得出最优解。 在研究总结中，常用的最优化方法主要有一下几种：分数法、 直接实验法、平均运算法、微分学法、拉格朗日乘子法、线 性函数规划法、非线性规划函数法、动态情形规划法、整数 规划法等。应用最优化技术可以制定出中央银行及各商业银 行的金融战略方针、政策和系统规划方案，如固定资产的 投资方案、货币发行计划方案等，可确定在一段的时间之内， 银行里面存款量的最优值可以使银行在利率保持不变的条件 下，把资金筹集的费用降到最低在信贷规模一定的条件下， 使银行得到最大的利润额来确定最优的投资方案，给出储蓄 的最优方案和计算出现金日投放量的最优值，确定债券投资 方案帮助客户或者企业寻找降低成本，能够提高资金使用效 益的方案对工厂、企业贷款进行裁决，来保证有效运用的信 贷资金等。5期权价值模型1979年普宾斯坦（.尺口乜103130、考克斯、了. 匚0幻、罗斯、3 033、巴特、已.6311160和瑞德门思、 尺.尺60出瓜310等人，分别创立了期权二项式价值的模式， 该模式阐明了投机者之间的套利交易与期权价格均衡不变状 态下的关系。二项式价值模型是针对离散的时间状态的模型， 它与现实生活中连续性的价格变动存在着冲突，在一定程 度上影响了其真正的使用价值。在时间是连续的资产理论 中，假定股票价格3遵循一般性的维纳（观1660过程， I丁0过程是具有实在意义的。在20世纪许多工作岗位上都 表明，任何一个无套利定价系统都可以看成是I丁0过程的 缩率版。20世纪70年代末期，美国的布莱克.6 13幻 和斯克尔斯（. 3。乜0-163，随后建立了著名的6 13。匕一 3匕0163期权价值模型，该模型在后来的应用中取得了重大 突破。综上所述，金融数学领域的的理论框架可分为以下几个 方面：3：现代证券组合理论，:资本资产定价模型，套 利定价理论，4：套期保值理论，6：期权定价理论，1：利率-#II金融理财期限结构理论等。三、数学常见知识在金融中的发展及应用1.在金融投资和收益中的数学应用由于利率、汇率、商品价格、股票价格等的波动而导致 的实际收益值与预期收益值或者是平均值发生的偏离叫作风 险。因此，在金融的整个工程中，风险是具有重要的组成地 位的，不确定性数学方法和确定性数学方法是用来度量金融 风险的两种重要的方法。2不确定性数学方法从金融投资风险的自身含义可知，产生风险的原因是各 种不确定因素的存在。所以，要想准确地描述这些因素及其 相互关系，只用确定性的数学方法来研究是不足以完成的， 还需要一些方法的配合。在这样的情况下，不确定性数学方 法如概率论、数理统计论、随机过程论等方法就应运而生了， 它在金融投资风险的研究工作中发挥了重要的作用。不确定 性数学具体的应用理论就是把金融投资过程中的可能损失掉 的或收益率抽象为一组随机变量，然后求的数学期望和方差 或着标准差来衡量可能损失或着收益率的平均值的高低和波 动性的大小。如果金融投资方案当中涉及两种或多种的金融 商品时，则必须引入一组随机向量及其协方差和相关系数来 进行准确的衡量。飞.确定性数学方法确定性数学方法就是通过对分析和研究造成金融投资风 险的各种因素和指标，而把这些因素和指标抽象的认为是确 定性的数学变量，并进一步把它们之间的相互关系用数学计 算公式、数学函数式或数学模型表达出来，然后通过多种数 学运算得出结果。根据该方法得到的计算结果，人们可以用 其来衡量和评估金融投资的风险，调整交易活动和控制交易 市场，以达到金融风险降到“0”。4数学方法在预测和决策中的应用正如上述所说，在金融交易过程中，存在许多不确定 和不安全的因素，怎样才能更好地对未来的金融变量如储 蓄存款余额、保贴率、通胀率等进行预测，将于决策者能 否做出正确的决断有着密切的联系。在金融预测的整个过 程中常用的数学方法有修正指数曲线法、最小二乘法、一 次和二次及三次指数平滑法、生长曲线预测法、一元线性 回归法、次和二次移动平均法、三点法、马尔可夫预测法、 卡尔曼滤波法、两步预测法等等。在金融决策阶段常用的 数学方法有线性规划决策法、边际分析法、极值选优决策 法、期望值法、最大产量组合法、无差异曲线法、最小成 本组合法等。5微分学在期权定价与投资决策中的应用在现代金融理论体系当中，数学在金融领域内的另外 一个比较重要应用就是利用微分对策方法对期权定价以及投 资决策进行了分析和研究，而且在这方面的应用取得了比 较明显的成效。金融市场整体的规律与稳态假设是不相符的， 如果出现异常了波动，那么就会导致证券的价格发生异常 的变化，并且往往这种波动是不符合布朗运动规律的。在 这时，我们就必须运用随机动态模型来对证券投资的决策问题进行分析和研究。上述所说的这种研究方法是很好，但它也存在一些不可 避免的弊端，这种方法不管是从理论基础上还是从实际的角 度出发都会出现较大的偏差。而利用微分对策方法就能很好 的解决这一问题。通过对整个不确定问题进行的优化分析和 研究将会得到稳定性最好的投资组合方案。同时，在利用 微分对策方法对进入金融领域中的问题进行分析的过程中， 您只需要进行一次贝尔曼方程就会的到答案，并且该方程 属于一阶偏