浙江大学线代解题指导.doc

线性代数常见计算题型及常用思路仅供参考！一、 计算题题型1解线性方程组（必须掌握）（1） 最常用方法：先用高斯消元法化为阶梯形，从而得出自由未知量（设为），然后对自由未知量赋予任意值，即设，这儿为任意常数。把赋予自由未知量的值带入方程组，解除方程组的解（是关于的一些表达式）（2） 方法（1）的变形：先用高斯消元法化为阶梯形，从而得出自由未知量（设为）。设是的一组基（常取自然基）。然后令，分别解得方程组的解：（这是一个基础解系）。则可知方程组的解为，这儿为任意常数。（一般解）（3） Cramer法则。注意：Cramer法则只对系数矩阵可逆的情形适用。题型2将用线性表示（或求坐标）常用思路：待定系数法。设使得。然后根据题设条件得到关于的一个方程组。解方程组。方法二：利用课本定理4.10（如果已知在某一组基下的矩阵）题型3判断的线性相关性常用思路：待定系数法。设使得。然后根据题设条件得到关于的一个方程组。解方程组。如果方程组只有零解，则线性相关。反之，线性无关。题型4求的极大无关组及秩常用思路：待定系数法。设使得。然后根据题设条件得到关于的一个方程组。用高斯消元法化简方程组，得到自用未知量。不是自用未知量的所对应的放到一起，就构成了原向量组的一个极大无关组。题型4求基与维数 常用方法：找到一组有限生成元，转化为题型4。题型5. 将扩充为一组基常用思路：首先确定出的一个极大无关组，设为。然后设，构建线性方程组 （假设是列向量） 然后解除上面方程组的一个基础解系，设为 （想想为什么一定有个）。则 就是一组基（想想为什么线性无关）题型6Schmidt正交化过程题型7. 两组基的过渡矩阵（转化为题型2）题型8. 线性映射（变换）的矩阵 方法一：利用定义，转化为题型2。 方法二：利用课本定理7.4（如果已知在一组基下的矩阵及过渡矩 阵）题型9. 求矩阵的秩（可考虑放弃） 方法一：基于初等变换不改变矩阵得知，利用初等变换把原矩阵 化为一个容易看出秩的矩阵（一般为阶梯形）。 方法二：利用分块矩阵。主要基于以下几个公式： 方法三：利用秩的一些性质，主要是： 方法四：利用的行/列秩，转化为题型4或利用向量组 的秩的一些性质 方法五：利用的行列式秩 方法六：利用线性方程组解的结构，主要基于：题型10. 求可逆矩阵的逆矩阵 方法一：基于可逆的唯一解为，利用线 性方程组求解。 方法二：基于可逆矩阵可写成初等矩阵的乘积，利用初等变换求 解，主要是两个公式： 前者只能用行变换，后者只能用列变换。 方法三：利用分块矩阵求解。主要基于两个公式：（假设已知可逆） 注意：主对角线上的子块必为可逆方阵。 方法四：利用伴随矩阵（一定要细心！）题型11. 求行列式（小心符号！） 方法一：利用初等变换或课本5.1节的简单性质化为三角阵或其他容易求解的行列式。 方法二：利用公式（注意必为同型方阵） 方法三：利用按行/列展开公式，一般得到递推公式。 方法四：前面三者结合。（最为常用） 几个必须知道的结论： （1）三角形行列式=对角线元素乘积 （2） （3）范德蒙行列式题型12. 求特征值与特征向量及矩阵对角化（必须掌握） 方法：利用特征多项式求特征值，利用求线性方程组的基础解系 求特征向量。最后注意：在写出以及原矩阵的相似标准形时， 要注意特征向量与特征值是相互对应的。题型13. 实对称矩阵的对角化 方法：和题型12一致，但是要加入Schmidt正交化过程及单位化。 要注意的是：千万不要把所有的特征向量放在一起Schmidt正交 化，一定要分别对每个特征值所对应的特征向量分别正交化，也 就是说：如果有m个不同特征值，要进行m次Schmidt正交化过 程！题型14. 求二次型/矩阵相合标准形与相合规范形（必须掌握） 方法一：配方法。 方法二：初等变化法。（参考课本例题，此两种方法和中学所用的 一致） 方法三：利用题型12或13，基于正交矩阵的逆矩阵和转置一样。线性代数常见证明题型及常用思路仅供参考！二、证明题题型1关于线性相关性的证明中常用的结论（1）设，然后根据题设条件，通过解方程组或其他手段：如果能证明必全为零，则线性无关；如果能得到不全为零的使得等式成立，则线性相关。（2）线性相关当且仅当其中之一可用其他向量线性表示。（3）如果，则可通过矩阵的秩等方面的结论证明。（4）如果我们有两个线性无关组，且是同一个线性空间的两个子空间，要证线性无关。这种情况下，有些时候我们设。根据题设条件往往能得到，进而由的线性无关得到系数全为零。题型2. 关于欧氏空间常用结论（1）内积的定义（2）单位正交基的定义（3）设是单位正交基，。则5题型3. 关于矩阵的秩的证明中常用的结论（1）初等变换不改变矩阵的秩（2）乘可逆矩阵不改变矩阵的秩（3）阶梯形的秩（4）几个公式（最好知道如何证明）：常用来证明关于秩的不等式（5）利用分块矩阵的初等变化不改变矩阵的秩（常用来证明关于秩的不等式）例：证明：。证：上面第二个等号是用左乘第一个分块矩阵的第一行，然后加到第二行所得；第三个等号是用又乘第二个分块矩阵的第一列，然后加到第二列所得。（6）利用齐次线性方程组解的结构（），此方法也可以用来证明关于向量组的秩方面的的问题。（7）利用向量组的秩与维数 主要是两个结论：（i）矩阵的秩=列秩=行秩 （ii）的定义域 的维数（8）利用行列式秩（9）利用相抵标准形题型4. 关于可逆矩阵常用结论（1）结论：可逆有唯一解。（2）结论：可逆可逆。（3）结论：可逆当且仅当可以写为初等矩阵的乘积。（4）结论：可逆当且仅当0不是它的特征值。题型5. 关于矩阵对角化的常用结论（1）结论： 相似于。（2）结论：任一个复数域上的方阵都相似于一个若当形矩阵。（3）特征值与特征向量的定义（4）结论：是的特征值。（5）结论：属于不同特征值的特征向量线性无关。（6）结论：特征多项式的常数项就是它的行列式，它的第n-1次项的系数就是对角线上元素之和。（7）结论：。（8）结论：课本P242定理7.8。（9）结论：课本P242推论。（10）结论：课本P243定理7.10。（11）结论：实对称矩阵一定可以通过正交矩阵对角化。题型6. 关于二次型的常用结论：（1）定义：二次型的矩阵。（2）定义：相合关系。（3）实对称矩阵的相似标准形