数学解题的几种思维模型.doc

杭州玉砚教育：投注给品质教育的选择！数学解题的几种思维模型 蒋自勇 解题过程中，若能根据问题的共性和特点进行分类，对不同类型的问题建立思维模型，可简化思考容量，加快解题速度本文谈谈数学解题中的几种常见思维模型一、反向模型反向模型，即是从事物的正面思考情况复杂难以推断，有时从具有与其相反、相对特点的另一事物思考，可化难为易反向模型，能克服学生思维过程中的单向思维定势和解题方法的刻板，有利于学生创造性思维的发展求实数k的取值范围思路分析 解分式方程时，只有当最简公分母不为零时，才不会出现增根，而公分母不为零的x的取值有无穷多个，不可能一一代入原方程来求k的值可运用反向模型来思考，先从“不会产生增根”的反面“会产生增根”来确定k的值将原方程两边同乘以(x+2)(x2)，并整理，得(x2)(kk2)=x25x2(1)若产生增根，则(x+2)(x-2)=0，即有x1=2，x2=-2当x=2时，(1)式即为4(k-k2)=-8，从而解得k=-1或 k2；当x=-2时，(1)式即为0(kk2)=12，无解验证：当k=-1或k=2时，产生增根x=2反之，当k-1且k2时，原方程不会产生增根二、化归模型化归模型是一种由陌生向熟悉转化，由未知向已知转化，由非基本问题向基本问题转化的解题策略例2 数3555、4444、5333的大小关系是 (A)355544445333；(B)444435555333；(C)533344443555；(D)533335554444思路分析 直接计算每个数显然繁杂且难以比较，如果将它们化归为异底数同次幂的形式，然后比较底数的大小即可解决问题3555(35)111243111，4444=(44)111=256111，5333=(53)111=125111故应选(D)三、分解模型一个复杂的问题往往是由若干个较简单的小问题组成的，解决复杂问题时，若能透过问题的本质将其分解成简单的小问题，把这些简单的问题解决了，复杂的问题也就解决了例3 设关于x的方程ax2bxc=0两根之和为s1，两根的平方和为s2，两根的立方和为s3，求证as3bs2+cs1=0思路分析 本题由三个部分组成：(1)s1x1x2，(2)s2x12x22=(x1x2)22x1x2，(3)s3=x13x23=(x1x2)(x1x2)23x1x2，并且s1、s2、s3均可用x1x2或x1x2表达因此，设方程ax2+bx+c0的两根为x1、x2，则s2=x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2s3x13x23(x1x2)(x1x2)23x1x2四、整体模型整体模型在解题策略上与分解模型思路恰好相反注意力和着眼点放在问题的整体上，通过研究问题整体形式和整体结构，进而作出整体处理，达到顺利解题的目的切的圆全在ABC中，这三个圆面积之和的最大值的整数部分是多少？思路分析 乍看此题较复杂，若把视点集中于三个圆上，注意运用整体思想，扩大视觉范围，先求出ABC的面积三个圆面积之和的最大值的整数部分是0五、数形结合模型根据数与形的内在联系，或是由数构形，以形促数，或是由形思数，以数论形的数学思维模型，可以把抽象的“数”转化为直观的“形”，加大解题的透明度，避开繁琐计算，达到简捷解题的目的例5 当a0，且bac时，求证方程ax2+bx+c=0必有两个不同的实数根思路分析 本题虽可用判别式来解，但较繁琐，若结合图形采用特殊值法来解十分简捷设yax2+bx+c，显然，当x1时，yabc0(bac)又a0，抛物线开口向上，故 yax2bxc与x轴必有两个交点，即原方程ax2bxc0必有两个不同的实根六、变更主元模型在含有多个变元的数学问题中，常常需要重新选择主元，以简化问题的结果，使非线性结构，变成线性结构例6 设a为正整数，关于x的方程ax22(2a-1)x4a70至少有一个整数根，求a的值有一个是整数相当复杂，若视a为主元，即可将方程改写成关于a的一次方程x2+2x-30，解得-3x1，又因x是整数，且x-2，故x3，0，1，将它们分别代入原方程，得知，当x3，1，1时，a为正整数1或5，所以a1或a=5时，原方程至少有一个整数根总之，无论何种模型，都是建立在“题设信息+基础知识+