特征根和特征向量.doc

7.5 特 征 根 和 特 征 向 量教学目的：1 熟悉掌握线性变换（矩阵）的特征根与特征向量的方法。2 掌握特征根与特征向量的一些常用的性质。教学内容:1线性变换的特征根与特征向量：一维不变子空间和所谓特征根的概念有着密切的联系，后者无论在理论上还是在应用上都是非常重要的。设V是数域F上一个向量空间。是V的一个线性变换。定义1 设是F中一个数。如果存在V中非零向量，使得（1） 那么就叫做的一个特征根，而叫做的属于特征根的一个特征向量。显然，如果是的属于特征根的一个特征向量，那么对于任意 F，都有 这样，如果是的一个特征向量，那么由所生成的一维子空间在之下不变；反过来，如果V的一个一维子空间U在之下不变，那么U中每一个非零向量都是的属于同一特征根的特征向量。例1 令H是的一个过原点的平面，而是把的每一向量变成这个向量在H上的正射影的线性变换（参看7.1,例题）。那么H中每一个非零向量都是的属于特征根深蒂固的特征向量，而过原点与平面H垂直的直线上每一个非零向量都是的属于特征根的特征向量。例2 令D表示定义在全体实数上的可微分任意次的实函数所成的向量空间。是求导数运算。是D的一个线性变换。对于每一个实数，我们有 所以任何实数都是的特征根，而是属于的一个特征向量。例3 令F是数域F上一切一元多项式所成的向量空间。容易证， 是F的一个线性变换。比较次数可知，对于任何，都不存在非零多项式，使，因此没有特征根。设V是数域F上一个维向量空间。取定V的一个基，令线性变换关于这个基的矩阵是 如果是线性变换的属于特征根的一个特征向量，那么由（1）和定理7.3.1，我们有 ,或(2) 因为，所以齐次线性方程组（2）有非零解。因而系数行列式(3) 反过来，如果满足等式（3），那么齐次线性方程组（2）有非零解，因而满足等式（1），即是的一个特征根。等式（3）中出现的行列式很重要。我们引入以下定义2 设是数域F上一个阶矩阵。行列式 叫做矩阵A的特征多项式。显然，。等式（3）表明，如果A是线性变换关于V的一个基的矩阵，而是的一个特征根，那么是A的特征多项式的根： 现在设线性变换关于V的另一个基的矩阵是B。我们证明A与B有相同的特征多项基本式。也就是说，相似的矩阵有相同的特征多项式。事实上，设存在可逆矩阵T使 因为，所以 于是由定理5.2.7， 3求线性变换特征根与特征向量的一般步骤：定理7.5.1 设是数域F上维向量空间V的一个线性变换.是的一个特征根必要且只要是的特征多项式的一个根.现在来研究一下矩阵A的特征多项式（4） 将这个行列式展开，得到中一个多项式。它的最高次项是，出现在主对角线上元素的乘积 （5） 里。行列式的展开式其余的项至多含有个主对角线上的元素。因此，是乘积（5）和一个至多是的一个次多项式的和。因此，中次数大于的项只出现在乘积（5）里，所以 这里没有写出的项的次数至多是。在 中， 的系数乘以-1就是矩阵A的主对角线上元素的和，叫做矩阵A的迹。并且记作Tr(A): 其次，在（4）式里，令 得 也就是说，特征多项式 的常数项等于A的行列式乘以 。 例4 设 那么 我们把 阶矩阵A的特征多项式 在复数域C内的根叫做矩阵A的特征根。设 是矩阵A的一个特征根，那么齐次线性方程组（2）的一个非零解叫做矩阵A的属于特征根 的一个特征向量。由于F上每一个 阶矩阵都可以看成F上一个 维向量空间V的某一线性变换 关于取定的一个基的矩阵，所以矩阵A的属于F的特征根就是 的特征根，而A的属于 的特征向量就是 的属于 的特征向量关于所给定基的坐标。 设 是矩阵A的全部特征根。那么 因此我们有 即矩阵A的迹等于 A的全部特征根的和，A的行列式等于A的全部特征根的乘积。 设 是数域F上 维向量空间V的一个线性变换，它关于V 的一个基 的矩阵是A。要求出 的待征根，只要求出A的属于F的待征根，设 是矩阵A的一个待征根，这时齐次线性方程组（2）有非零解，每一个非零解都是 的属于 的一个待征向量关于基 的坐标。例5 设R上三维向量空间的线性变换关于一个基的矩阵是 求 的待征根和相应的待征向量。先写出矩阵A的待征多项式 =(x - 4)(x + 4)它只有一个实根x=4。为了求出属于待征根 的待征向量，我们需要解齐次线性方程组 即,- ,.这个方程组的解是(a, a, -a),a 。 因此,属于待征根4的待征向量是 例6 求矩阵 的待征根和相应的待征向量。所以 矩阵A的待征根是1和5。矩阵A的属于待征根1的