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文档简介

求函数的值域常和求函数的最值问题紧密相关，是高中数学的重点和难点。求函数值域是函数中的重要问题之一，在后续课程的学习中也有许多应用，求函数的值域要涉及多种数学思想方法和函数、方程、不等式等相关知识，求函数值域是函数学习的一个难点，为此本文介绍几种常见的求法。虽然没有固定的方法和模式，但常用的方法有：直接法、配方法、判别式法、基本不等式法、逆求法（反函数）、换元法、图象法、利用函数单调性等。一、直接法：从自变量的范围出发，推出的取值范围。例1：求函数的值域。解：， 函数的值域为。二、配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如的函数的值域问题，均可使用配方法。例2：求函数（）的值域。解：， ，函数（）的值域为。练习：（1）；（2）；（3）；（5）；（6）已知函数在时，有，求的值。（7）已知，若的，写出的表达式。三、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。例3：求函数的值域。解：由解得， 函数的值域为。练习：（1）；（2）；（3）四、分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。例4：求函数的值域。解：， 函数的值域为。练习：（1）；（2）五、换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如（、均为常数，且）的函数常用此法求解。例5：求函数的值域。解：令（），则，当，即时，无最小值。函数的值域为。练习：（1）；（2）；六、判别式法：把函数转化成关于的二次方程；通过方程有实数根，判别式，从而求得原函数的值域，形如（、不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。例6：求函数的值域。解：由变形得，当时，此方程无解；当时，解得，又，函数的值域为练习：的值域。七、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。例7：求函数的值域。解：当增大时，随的增大而减少，随的增大而增大，函数在定义域上是增函数。， 函数的值域为。练习：（1）；（2）；（3）设是定义在上的奇函数，且满足如下两个条件： 对于任意,有；当时，且.求函数在上的最大值和最小值。八、利用有界性：利用某些函数有界性求得原函数的值域。例8：求函数的值域。解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为，对函数进行变形可得，（，），函数的值域为九、图像法（数型结合法）：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。例9：求函数的值域。解： ，的图像如图所示，由图像知：函数的值域为练习：（1）； （2）；（3）；（4）对,若，则的？ 十、观察法 例10：求的值域。 十一、不等式法 例11：求的值域。 练习： 十二、求导法 例12：设，试求在上的和。
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