偏微分习题讲解.pdf

习 题 讲 解习 题 讲 解 习题一 1 1习题一 1 1 长为长为 l 的弦两端固定 开始时在的弦两端固定 开始时在 x c 处受到冲 量 处受到冲 量 k 的作用 试写出相应的定解问题 的作用 试写出相应的定解问题 解解由于冲量的作用使弦产生振动 因此弦的 位移函数 由于冲量的作用使弦产生振动 因此弦的 位移函数 u x t 应满足应满足 2 ttxx ua u 0 0 xl t 其中其中 2 T a 因为弦两端固定 所以因为弦两端固定 所以 0 0 xx l uu 又冲量未作用前 弦上各点处在平衡位置 当 冲量作用使得弦开始振动的那一瞬间 即初始时刻 弦上各点仍保持在平衡位置 所以 又冲量未作用前 弦上各点处在平衡位置 当 冲量作用使得弦开始振动的那一瞬间 即初始时刻 弦上各点仍保持在平衡位置 所以 0 0 t u 冲量的作用使弦产生初速度 在弦上取一小区间冲量的作用使弦产生初速度 在弦上取一小区间 xc 由冲量定理有由冲量定理有 0 2 tt uk 在小区间外 因未受冲量作用 所以初速度为零 故 在小区间外 因未受冲量作用 所以初速度为零 故 0 0 2 tt xc u k xc 由于冲量只作用在由于冲量只作用在c点上 故应取趋近于零的极限 情况 点上 故应取趋近于零的极限 情况 故相应的定解问题为故相应的定解问题为 2 ttxx ua u 0 0 xl t 0 0 xx l uu 0 0 0 0 0 2 t tt u xc u k xc 求求Cauchy问题问题 1 tx uxuu 0 2 u xx 解解 与条件 与条件 1 相对应的初始曲线为 相对应的初始曲线为 0 xw tuw 在初始曲线上 在初始曲线上 习题二 1 1 习题二 1 1 10 10 1 Jw xu 于是问题 于是问题 1 2 可转化为解常微分方程 组的初值问题 可转化为解常微分方程 组的初值问题 0 0 4 s x t uww 1 0 3 dxdtdu xu dsdsds 由 由 3 4 得 得 ws xwetsuw 消去消去s w 得问题 得问题 1 2 的解为 的解为 ut xue 求求Cauchy问题问题 1 3 5 n k k k u xu x 121121 1 6 nn u x xxh x xx LL 解解 与条件 与条件 6 相对应的初始曲面为 相对应的初始曲面为 112211121 1 nnnn xt xtxtxuh t tt LL 在初始曲面上 在初始曲面上 习题二 1 5 习题二 1 5 112 1111 112 2222 112 1111 121 nn nn nn nnnn nn xxxx tttt xxxx tttt J xxxx tttt xxxx L L KLL L L 121 1000 0100 10 0010 1 n ttt L L LLL L L 1 2 3 7 i i dxdu x inu dsds L 由 由 7 8 得 得 3 121 1 2 1 sss iinn xt e inxeuh t tte LL 故问题 故问题 5 6 的解为 的解为 3 112 n n nnn xxx uhx xxx L 于是于是 1210121121 1 8 nnsnn x xxx ut tth t tt LLL 0 XxX x 1 0 0 XX l 2 求固有值问题 由固有值理论知 只有时方程 求固有值问题 由固有值理论知 只有时方程 1 才有符合条件 才有符合条件 2 的非零解 的非零解 0 解解 当时 方程 当时 方程 1 的通解为 的通解为0 cossin X xAxBx 由条件 由条件 2 得 得 0 A cos0 Bl 习题二 1 7 1 习题二 1 7 1 由于由于A不能为零 否则不能为零 否则 X x 0 所以 所以 cos0 l 0 1 2 3 2 lkk L即 故求得固有值与固有函数分别为 即 故求得固有值与固有函数分别为 2 21 2 k k l 21 sin 2 kk k XxAx l 0 1 2 3 k L 0 XxX x 1 0 0 XX l 2 求固有值问题 由固有值理论知 只有时方程 求固有值问题 由固有值理论知 只有时方程 1 才有符合条件 才有符合条件 2 的非零解 的非零解 0 解解 当时 方程 当时 方程 1 的通解为 的通解为0 cossin X xAxBx 由条件 由条件 2 得 得 0 B cos0 Al 习题二 1 7 2 习题二 1 7 2 由于由于A不能为零 否则不能为零 否则 X x 0 所以 所以 cos0 l 0 1 2 3 2 lkk L即 故求得固有值与固有函数分别为 即 故求得固有值与固有函数分别为 2 21 2 k k l 21 cos 2 kk k XxAx l 0 1 2 3 k L 0 XxX x 3 0 0 XX l 4 由固有值理论知 只有时方程 由固有值理论知 只有时方程 3 才有符合条件 才有符合条件 4 的非零解 的非零解 0 解解 当时 方程 当时 方程 3 的通解为 的通解为 0 X xABx 由条件 由条件 4 得 得0 B 因此因此 00 XxA 当时 方程 当时 方程 3 的通解为 的通解为0 cossin X xAxBx 习题二 1 7 3 习题二 1 7 3 sincos XxAxBx 所以 由条件 所以 由条件 4 得 得 0 B sin0 Al 由于由于A不能为零 否则不能为零 否则 X x 0 所以 所以 sin0 l 1 2 3 lkk L即 故 即 故2 k k l cos kk k XxAx l 1 2 3 k L 综合以上两种情况 得固有值与固有函数分别为综合以上两种情况 得固有值与固有函数分别为 2 k k l cos kk k XxAx l 0 1 2 3 k L 求定解问题求定解问题 2 txx ua u 0 0 xl t 0 t ux 0 0 0 xx l uu 1 2 3 习题二 1 9习题二 1 9 设方程 设方程 1 具有变量分离形式的非零解 具有变量分离形式的非零解 u x tX x T t 将 将 代入方程 代入方程 1 得 得 0 XxX x 2 T tXx a T tX x 2 0 T taT t 4 5 2 txx ua u 1 0 0 0 xx l uu 2 将 将 代入条件 代入条件 2 得 得 0 0 XX l 6 解解 求固有值问题 求固有值问题 5 6 0 XxX x 5 0 0 XX l 6 得固有值与固有函数分别为 得固有值与固有函数分别为 2 k k l sin kk k XxBx l 1 2 3 k L 2 0 T taT t 4 将代入方程 将代入方程 4 得 得 k 2 0 ak T tT t l 其通解为其通解为 2 ak t l kk T tC e 于是得满足方程 于是得满足方程 1 与条件 与条件 2 的一组特解 的一组特解 2 sin ak t l k k C ex l kkk ux tXx T t sin kk k XxBx l 其中其中 kkk CB C 由于方程 由于方程 1 与条件 与条件 2 都是齐次的 因此 都是齐次的 因此 2 1 sin ak t l k k k C ex l 1 k k u x tux t 仍满足方程 仍满足方程 1 与条件 与条件 2 又由条件 又由条件 3 得 得 1 sin k k k Cxx l 0 2 sin l k k Cxxdx ll 故原定解问题的解为故原定解问题的解为 2 0 1 2 sinsin ak t l l k kk u x txxdxex lll 习题二 2 0 2 习题二 2 0 2 求定解问题求定解问题 2 txx ua u 0 0 xl t 0 0 0 xxxx l uu 1 2 3 0 t ux 令方程 令方程 1 具有变量分离形式的非零解 具有变量分离形式的非零解解解 u x tX x T t 代入方程 代入方程 1 得 得 0 XxX x 2 0 T taT t 4 5 又由条件 又由条件 2 得 得 0 0 XX l 6 0 XxX x 5 0 0 XX l 6 求固有值问题 求固有值问题 5 6 得固有值与固有函数分别为得固有值与固有函数分别为 2 k k l cos kk k XxBx l 0 1 2 3 k L 2 0 T taT t 4 将代入方程 将代入方程 4 得 得 k 2 0 ak T tT t l 其通解为其通解为 2 ak t l kk T tC e 于是得满足方程 于是得满足方程 1 与条件 与条件 2 的一组特解 的一组特解 2 cos ak t l k k C ex l kkk ux tXx T t 其中其中 kkk CB C 由于方程 由于方程 1 与条件 与条件 2 都是齐次的 因此 都是齐次的 因此 2 0 cos ak t l k k k C ex l 0 k k u x tux t 仍满足方程 仍满足方程 1 与条件 与条件 2 又由条件 又由条件 3 得 得 0 cos k k k Cxx l 0 2 cos 0 l k xxdxk ll k C 2 0 1 2 coscos 2 ak t l l k lkk u x txxdx ex lll 故原定解问题的解为故原定解问题的解为 0 2 l k 2 22 11 0 uu 0 a a uf 0 u 1 3 4 2 习题二 2 5习题二 2 5 0 0 0 uu 设方程 设方程 1 具有变量分离形式的非零解 具有变量分离形式的非零解 uR 代入方程 代入方程 1 得 得 0 2 0 RRR 5 6 又由条件 又由条件 2 得 得 0 0 0 7 求固有值问题 求固有值问题 6 7 0 6 0 0 0 7 得固有值与固有函数分别为 得固有值与固有函数分别为 2 0 k k 0 sin kk k B 1 2 3 k L k 将代入方程 将代入方程 5 得 得 2 2 0 0 k RRR 得得 00 kk kkk Rcd 2 0 RRR 5 0 u 4 又由条件 又由条件 4 得 得 0 R 所以所以0 k d 故故 0 1 2 k kk Rck L 0 sin kk k B 0 1 2 k kk Rck L 于是得方程 于是得方程 1 适合条件 适合条件 2 4 的一组特解 的一组特解 kkk uR 0 0 sin k k k b 1 2 k L其中其中 kkk bB c 0 1 0 sin k k k k ub 因此因此 2 22 11 0 uu a uf 0 u 1 3 4 2 0 0 0 uu 由条件 由条件 3 得 得 0 1 0 sin k k k k b af 0 0 0 0 2 sin kk k bfd a 2 0 x xxt ua uAe 0 t uT 0 0 0 xx l uu 22 1 x txx A uue aa 习题二 2 8习题二 2 8 1 2 3 解解设设u x t V x t W x 22 1 x txx A VVWxe aa 22 11 x txx VVWxAe aa 0 x WxAe 0 0 0 xx l WW 为了使得关于为了使得关于V 的方程和边界条件都是齐次的 则 选取的 的方程和边界条件都是齐次的 则 选取的W x 须满足须满足 代入方程 代入方程 1 得 得 解之得解之得 22 1 1 xl AA W xeex l 由原定解问题得由原定解问题得 2 1 txx VV a 0 t VTW x 0 0 0 xx l VV 对上述问题采用分离变量法 得对上述问题采用分离变量法 得 2 1 sin k t al k k k V x tC ex l 0 2 sin l k k CTW xxdx ll 其中其中 试解出具有放射衰变的热传导方程试解出具有放射衰变的热传导方程 2 0 x xxt ua uAe 0 t uT 0 0 0 xx l uu 已知边界条件为 初始条件为 已知边界条件为 初始条件为 解解 相应的定解问题为相应的定解问题为 2 0 x xxt ua uAe 0 t uT 0 0 0 xx l uu 22 1 x txx A uue aa 习题二 2 8习题二 2 8 0 t uT 0 0 0 xx l uu 22 1 x txx A uue aa 原问题可分解为 原问题可分解为 0 0 t V 0 0 0 xx l VV 22 1 x txx A VVe aa 0t WT 0 0 0 xx l WW 2 1 txx WW a 直接利用分离变量法解问题 得直接利用分离变量法解问题 得 2 1 sin k t al k k k W x tC ex l 0 2 sin l k k CTxdx ll 其中 其中 11 12 对于问题 利用 齐次化原理 可先求 对于问题 利用 齐次化原理 可先求 0 0 t V 0 0 0 xx l VV 22 1 x txx A VVe aa 11 12 2 x t A e a 0 0 0 xx l 2 1 txx a 令令 tt 则则 2 txx a 0 2 x t A e a 0 0 xx l 直接用分离变量法求解 得直接用分离变量法求解 得 因此原问题的解因此原问题的解 u x tV x tW x t 2 1 sin k t al k k k x tD ex l 2 1 sin k t al k k k D ex l 2 0 2 sin l k Ak Ded lal 其中其中 0 t V x td 2 0 1 sin k t t al k k k D exd l 2 0 1 sin k t t al k k k Dedx l 所以问题 的解为所以问题 的解为 试解出具有放射衰变的热传导方程试解出具有放射衰变的热传导方程 2 0 x xxt ua uAe 0 t uT 0 0 0 xx l uu 已知边界条件为 初始条件为 已知边界条件为 初始条件为 解解 相应的定解问题为相应的定解问题为 2 0 x xxt ua uAe 0 t uT 0 0 0 xx l uu 22 1 x txx A uue aa 习题二 2 8习题二 2 8 0 t uT 0 0 0 xx l uu 22 1 x txx A uue aa 原问题可分解为 原问题可分解为 0 0 t V 0 0 0 xx l VV 22 1 x txx A VVe aa 0t WT 0 0 0 xx l WW 2 1 txx WW a 直接利用分离变量法解问题 得直接利用分离变量法解问题 得 2 1 sin k t al k k k W x tC ex l 0 2 sin l k k CTxdx ll 其中 其中 11 12 对于问题 令对于问题 令 1 sin k k k V x tv tx l 2 1 sin x k k Ak efx al 其中其中 2 0 2 sin l x k