二维直角坐标变换.doc

基于线性模型的二维直角坐标变换 【摘 要】二维直角坐标变换模型在工程领域中应用非常广泛，该模型是一个非线性模型，对于多公共点的二维直角坐标变换需要进行模型的线性化，计算待求参数的近似值，再利用间接平差原理计算各待求参数最或然值。本文在非线性模型基础上推导出一个线性模型，利用该模型进行二维直角坐标变换，无需计算待求参数近似值，对于涉及到二维直角坐标变换的问题，可以简化其解算过程。 【关键词】二维直角坐标变换；线性模型；测量平差 1 引言 坐标是表示点位置的量，在测绘领域，许多测量成果以坐标形式来表示，而进行坐标系的变换更是司空见惯的事。传统的二维直角坐标变换模型是一个非线性模型，对于多公共点的二维直角坐标变换，需要进行模型的线性化，计算待求参数的近似值，因此比较繁琐。本文在非线性模型的基础上推导出一个线性模型，该模型可使涉及二维直角坐标变换的问题简单化。 2 二维直角坐标变换的非线性模型 设有如下2个问题：问题1：如图1a所示，i 点坐标为，现将i 点绕坐标原点旋转角度，得j 点，求j 点坐标。问题2：如图1b所示，在X O Y坐标系中 i 点坐标为，现将坐标轴逆时针旋转角度，得新坐标系UC V，求在新坐标系中i 点坐标.问题1中j 点坐标和问题2中i点在UC V坐标系中坐标是一致的，因此对于坐标轴旋转的问题，可以转换为点的旋转变换。图1a中，设点i 相对于原点O的距离为d，方位角为，则j点坐标为： 上式展开为即写成矩阵形式为 由此可得问题2中i 点在UC V坐标系中坐标 考虑坐标轴平移和缩放，则可的二维直角坐标变换的非线性模型。该模型的确定需要计算平移参数、缩放系数k及旋转角度四个参数，因此至少需要两个公共点。 对于多公共点的坐标变换，将转换后坐标、模型参数一起作为未知参数列误差方程进行计算。设UC V坐标系中坐标和XO Y坐标系中坐标有如下转换关系 对 (7) 式进行线性化得 将当作观测值，则可写出误差方程为 其中为观察值的改正数。设点总个数为n，则可写出2n个这样的误差方程，写成矩阵形式 依间接平差原理可得 验后单位权中误差为f为多余观测值个数。未知数向量协因数阵为,，则未知数向量的协方差矩阵为3 基于线性模型的二维直角坐标变换 设在X OY坐标系中有n个待转换点 ,.，取点作为起点，其余各点作为终点构成n-1条基线向量。对X OY坐标系进行缩放、旋转和平移变换后，变为U CV坐标系，在该坐标系中，原待转换点分别变为用.，如图2所示，设基线向量在变换后对应基线向量为单位基线向量在变换后对应基线向量为。由此可知又即得即(18)式为二维直角坐标变换的线性模型，其中左侧为随机量，而右侧为非随机量(18) 对应误差式方程为由于待转换点个数为n，则有(n-1）个误差方程，写成矩阵形式为设公共点个数为m，且基线起点选择一公共点，则未知参数个数为2(n-m)+2。在观测值总数大于或等于未知参数的情况下，方程有解，即2(n-1) 2(n-m)+2，得m2，即公共点个数最小为2。 4 模拟数据验证为验证该线性模型的可行性，在MATLAB中就两种模型分别编制程序，利用模拟数据进行计算比较。 通过比较程序代码字符数得，线性模型实现代码共约1867个字符，而非线性模型实现代码共约3252个字符。由此可知，线性模型更容易用程序实现。 模拟数据对两程序进行验证，设有10个点，其在XOY坐标系下坐标如表1所示。两坐标系公共点有4个，其在N CE坐标系下坐标如表2所示。现利用两程序计算非公共点在N CE坐标系下的坐标。程序计算比较分两个方案进行。 方案一比较：公共点坐标不包含误差，两程序计算结果坐标差值为0。 方案二比较：给公共点在N CE坐标系下各坐标值加一个0-1cm的随机数，再利用程序进行比较计算。两程序计算得验后单位权中误差都为0.0018，坐标差最大值为0.5mm。 通过以上比较可知，本文提出的二维直角坐标变换的线性模型是正确的。 5 结束语 本文对于传统的二维直角坐标变换模型进行了分析，在此基础上提出一个线性模型，并在MATLAB中编制程序进行了验证计算，证明了其正确性和简单性。 在文献4-6中，采用了先解算转换参数，再利用转换模型进行坐标转换，这种方法对于单纯的坐标变换是可行的，但对于将坐标变换作为模型一部分的一些问题，如CP控制网平差计算却无能为力。同时，将模型转换参数和待求坐标参数统一作为未知参数进行解算，可以获取目标坐标系下的点位精度。 参考文献 1 武汉大学测绘学院测量平差学科组.误差理论与测量平差基础M.武汉：武汉大学出版社，2003：102-125. 2 姚德新.土木工程测量学教程M.北京：中国铁道出版社，2003:67-68. 3 黄斌.测量坐标的转换问题J.北京测绘，2009，(4). 4 张宪柱，张书毕，姜波，孙庆华. 两种平面坐标系换算的改进方法J