大连理工大学 计算机科学计算 第五章1.pdf

插值函数的应用 第 5 章第 5 章 5 1 基于插值公式的数值积分基于插值公式的数值积分 5 1 1数值求积公式及其代数精度数值求积公式及其代数精度 5 1 2 复化求积公式复化求积公式 5 2 Gauss型求积公式型求积公式 5 2 1 基于基于Hermite插值的插值的Gauss型求积公式型求积公式 5 1 3 数值微分公式数值微分公式 5 2 2 常见的常见的Gauss型求积公式和数值稳定性型求积公式和数值稳定性 5 3 外推加速原理和外推加速原理和Romber算法算法 5 3 1 逐次分半算法逐次分半算法 5 2 2 外推加速公式和外推加速公式和Romber算法算法 由由 Newton Leibniz公式 连续函数公式 连续函数 f x 在 在 a b 上的定积分上的定积分 b a 其中其中 F x 是是 f x 的原函数 的原函数 5 1 1 数值求积公式及其代数精度5 1 1 数值求积公式及其代数精度 bF aF 无能为力 无能为力 F x 不能用初等函数表示 即 不能用初等函数表示 即f x 找不到的原函数 找不到的原函数 1 ln f x x sin x f x x 2 x f xe 22 1 1sin f x kx f x 没有解析表达式 用表格方式给出时 没有解析表达式 用表格方式给出时 大多数的无穷积分 除特殊的无穷积分外 大多数的无穷积分 除特殊的无穷积分外 xf dx 但是大多数实际问题 但是大多数实际问题 N L公式已经 常常遇到的困难是 公式已经 常常遇到的困难是 虽然找到虽然找到 f x 的原函数 但是它比被积函数复杂的多的原函数 但是它比被积函数复杂的多 2 4 1 12 ln 24 1 x xx 44 2 11xx x dx 2 1 2 arcsin 22 1 x x c 上述的积分就只能利用数值积分公式进行近似计算 上述的积分就只能利用数值积分公式进行近似计算 x 5 1 fI b a xfdx 设设 f x 是定义在是定义在 a b 上的可积函数 考虑带权积分上的可积函数 考虑带权积分 其中权函数 r其中权函数 r x 在在 a b 上非负可积 且至多有有限个零点 所谓 上非负可积 且至多有有限个零点 所谓数值求积数值求积就是用就是用 n k 0 本节只讨论r本节只讨论r x 1的情形 近似计算 的情形 近似计算 I f 的值 的值 fIn k A k xf 5 2 数值求积公式数值求积公式公式 公式 5 2 称为 称为数值求积公式数值求积公式 fI nk A k xf n k 0 k A 是与无关的常数 称为是与无关的常数 称为求积系数求积系数 1 0 nkL 其中其中 xf ba上的点称为上的点称为求积节点 求积节点 k x 1 0 nkL 求 积 系 数 求 积 系 数 求积节点求积节点 f 大家熟知第一积分中值定理 其几何意义为 大家熟知第一积分中值定理 其几何意义为 b a xf 数值积分公式产生的背景数值积分公式产生的背景 dx ab ba 矩形矩形 f x x b a 的面积 曲边梯形的面积 的面积 曲边梯形的面积 d b a f xx x y oa b f xf abf dxxf b a c 我们可以采用不同的的近似值的方法得到下述数值求积公式 称为 我们可以采用不同的的近似值的方法得到下述数值求积公式 称为左矩形左矩形数值求积公式 称为 数值求积公式 称为右矩形右矩形数值求积公式 称为 数值求积公式 称为中矩形中矩形数值求积公式 数值求积公式 称为称为梯形梯形数值求积公式 数值求积公式 af b a xf dx ba bf b a xf dx ba 2 ba f b a xf dx ba b a xf dx af bf ab 2 2 ba x y oa b af xf bf abaf x y oa b xf 2 ab ba f 2 ba f x y oa b xf abbf k x 1 0 nkL n ab h 称为步长 将分点 得到的数值求积公式称为 称为步长 将分点 得到的数值求积公式称为插值型求积公式插值型求积公式 本节采用的逼近函数是本节采用的逼近函数是 f x 在等距节点上的插值多项式 令将 在等距节点上的插值多项式 令将 a b 进行 进行n等分 等分 hka 取为插值节点 也是求积节点 取为插值节点 也是求积节点 则则 f x 可表示成它们确定的可表示成它们确定的 xf 5 3 n k 0 xlxf kk xr n 进一步进一步 b a xf dx b a n k 0 xlxf kk dxdx xrn b a b a n k 0 k xf dxdx xrn b a xlk 5 4 n k 0 k A k xf b a dx xrn Lagrange插值多项式及其余项之和 即插值多项式及其余项之和 即 x n f 1 fI n 称为称为n 1点的点的Newton Cotes公式公式 其中求积系数 其中求积系数 k A 这样得到的插值型求积公式这样得到的插值型求积公式 n k 0 5 5 k A k xf b a xlk dxnk 1 0L 求积余项为求积余项为 5 7 b a dx xrn fEn 1 n b a 1n x dx En f 标志着求积公式的误差大小 标志着求积公式的误差大小 b a n xxxf 0 L 1n x dx 5 6 10nn xxxxx L 其中其中 4 2 1 n 在在Newton Cotes公式中 最常用的是公式中 最常用的是 n 1 2 4时的三个公式 时的三个公式 T 5 8 此时 应有此时 应有 0 A b a 0 xldx bx ba b a dx ab 2 1 A b a 1 xl dx ax ab b a dx ab 2 这就是这就是梯形求积公式梯形求积公式 ab 2 bf af 101 bfAafAfI 当当 n 1时 求积公式为 时 求积公式为 梯形求积公式梯形求积公式 1 fI f a f b ab f x dxxf b a T xp1 dx ab 2 b ba a ba 22 2 2102 bfA ba fAafAfI 此时此时 0 A b a 0 xldx bx ba ba a 2 b a dx 1 A b a 1 xl dx 2 ba x ab 6 ax 2 ba bab b a 2 ba x ab 6 2 A b a 2 xldx ax b a dx bx 3 当当 n 2时 求积公式为 时 求积公式为 S ab 6 这称为这称为Simpson求积公式求积公式 bf af 2 4 ba f 5 9 CfI 4 7 32 12 32 7 321 bfxfxfxfaf 进一步可得 进一步可得 n 4时的时的 Cotes公式公式 ab 90 5 10 Simpson求积公式求积公式 Cotes求积公式求积公式 2 fI x o y ba 2 ba xf xp2 练习题练习题 I 用梯形求积公式和用梯形求积公式和Simpson求积公式计算积分求积公式计算积分 1 0 x 1 dx 解 解 由梯形求积公式 T ab 2 bf af 1 2 2 1 1 4 3 由Simpson求积公式 S ab 6 bf af 2 4 ba f 1 6 2 1 1 36 25 3 8 练习题练习题 I 用梯形求积公式和用梯形求积公式和Simpson求积公式计算积分求积公式计算积分 1 0 2 x edx 解 解 由梯形求积公式 T ab 2 bf af 1 2 1 1 e 由Simpson求积公式 S ab 6 bf af 2 4 ba f 1 6 1 4 1 41 ee 如果某个数值求积公式对比较多的函数能够准确成立 即如果某个数值求积公式对比较多的函数能够准确成立 即 I f In f 那么这个公式的使用价值就较大 可以说这个公式 为衡量数值求积公式的精度 引进代数精度的概念 那么这个公式的使用价值就较大 可以说这个公式 为衡量数值求积公式的精度 引进代数精度的概念 m I px 如果某个数值求积公式 对于任何次数不超过如果某个数值求积公式 对于任何次数不超过m次的 代数多项式都是精确成立的 但对于 次的 代数多项式都是精确成立的 但对于m 1次代数多项式不一定能准确成立 即 则称该求积公式具有 次代数多项式不一定能准确成立 即 则称该求积公式具有m次代数精度次代数精度 定义5 1 定义5 1 0 n kmk k Apx 的精度较高 的精度较高 nm Ipx b m a px dx 1m I px 1 b m a px dx 1 0 n kmk k Apx 1nm Ipx 显然 一个数值求积公式具有显然 一个数值求积公式具有m次代数精度的充要条件是它对 这是确定代数精度的最常用方法 次代数精度的充要条件是它对 这是确定代数精度的最常用方法 m xxxf 1 L 都能准确成立 但对都能准确成立 但对xm 1不能准确成立 不能准确成立 b a dxI1 1 下面求梯形数值求积公式和下面求梯形数值求积公式和Simpson数值求积公式的代数精度 数值求积公式的代数精度 2 1 xxxf 我们可得对于我们可得对于 ab 11 2 ab TI 1 1 b a dxxxI 2 22 ab ba ab 2 TxI 1 b a dxxxI 22 3 33 ab 22 2 ba ab TxI 2 1 故梯形数值求积公式具有故梯形数值求积公式具有1次代数精度1次代数精度 b a dxI1 1 32 1 xxxxf 我们可得对于我们可得对于 ab 141 6 ab SI 1 2 b a dxxxI 2 22 ab b ba a ab 2 4 6 SxI 2 b a dxxxI 44 5 55 ab 4 4 4 2 4 6 b ba a ab SxI 4 2 故故Simposon数值求积公式具有数值求积公式具有3次代数精度3次代数精度 b a dxxxI 22 3 33 ab 2 2 2 2 4 6 b ba a ab SxI 2 2 b a dxxxI 33 4 44 ab 3 3 3 2 4 6 b ba a ab SxI 3 2 而而 1 1 d 2 b a Effxa xbx 1 d 2 b a fxa xbx 3 12 ba f 当然也可以通过求积余项估计 得到代数精度 以下先推导 几个求积余项 进而指出 当然也可以通过求积余项估计 得到代数精度 以下先推导 几个求积余项 进而指出n 1点点Newton Cotes公式的代数精度 利用插值余项公式 公式的代数精度 利用插值余项公式 5 7 可知 可知梯形公式的求积余项梯形公式的求积余项 5 11 xa b a b 21 d 2 b a ab Eff a x b x xaxxbx 2 ab xdx 1 1 d 2 b a f a x b x xa xbxa xb 22 1 d 4 b a xaxb f a x b x 22 1 d 4 b a xaxb f a x b x 0 0 lim xx f x xf x x Simpson公式的求积余项公式的求积余项 注 注 注意 插值节点相同的均差 注意 插值节点相同的均差 1 2 dxaxb 2 Ef 0 0 0 lim xx f xf x xx df x fx dx 22 1 4 xaxb f a x b x b a 2 1 2 d xab xab 由分部积分得由分部积分得 0 0 0 f x xf x x f x x x xx 0 0 0 d f x xf xf x dxxx xx xf xx xx xfxf 00 0 0 0 f x x x 故有故有 0 0 00 f xf x xxfx xxxx 00 2 0 fxxxf xf x xx 一般的有 一般的有 0 n f x x xxdxL 又又 0 d f x x dx 0 d f x x 0 f x x x dx 0 n d f x xx L 2 fE 22 1 1 d 4 b a xaxbf a x b x xx 22 1 1 d 4 b a f a x bxaxbx 4 22 1 d 44 b a f xaxbx 5 4 1 902 b a f 5 12 a b 一般的一般的n 1点点Newton Cotes公式的求积余项 有如下定理 公式的求积余项 有如下定理 fEn 2 0 1 1 d 2 n n Ctttnt n L fEn 0 1 1 d 1 n n Ct ttnt n L 其中其中 其中其中 定理5 1定理5 1n是偶数 且是偶数 且f x Cn 2 a b 则 则 2 3 nn n fhC ba 1 2 nn n fhC ba n是奇数 且是奇数 且f x Cn 1 a b 则 则 当当n 为偶数时 由于对 为偶数时 由于对n次多项式次多项式f x f n 1 x 0 所以由上述定理可知 所以由上述定理可知 n 1点的点的Newton Cotes公式的代数精度为公式的代数精度为n 1 当当n 为奇数时 为奇数时 n 1点的点的Newton Cotes公式的代数精度为公式的代数精度为n 梯形公式 梯形公式 Simpson公式及公式及Cotes公式的代数精度分别为公式的代数精度分别为1 3 5 x y a b o xf dxxf b a bfaf ab T 2 1 k x 1 k x k x hka k xnk 1 0L n ab h xp1 L L 1 0 n k 2 h 1 kk xfxf 1 kk xfxf 每个子区间每个子区间 xk xk 1 k 0 1 n 1 上用梯形求积公式 即 本节讨论在大区间上 对于数值积分使用低阶 上用梯形求积公式 即 本节讨论在大区间上 对于数值积分使用低阶Newton Cotes 5 1 2 复化求积公式复化求积公式 公式的分段分段解决办法 将将 a b 等分成若干个小区间 在每个小区间上用点数少的等分成若干个小区间 在每个小区间上用点数少的 Newton Cotes公式 然后再对所有子区间求和 求积公式称为 公式 然后再对所有子区间求和 求积公式称为复化复化Newton Cotes公式公式 将区间将区间 a b 进行进行n等分 每个子区间的长度等分 每个子区间的长度 1 0 n k 2 h 1 kk xfxf 1 0 n k 1 1 k k x x dxxf b a dxxf 1k k x x dxxf 2 h 1 kk xfxf b a h n 则则 1 0 n k 2 h 1 kk xfxf 如果在 这样得到的数值 如果在 这样得到的数值 2 1 1 bfxfaf n k k 1 2 1 0 4 n k k f x 2 h 10 xfxf 1 1 2 n k 2 h k xf 1nn xfxf 1 kk xfxfL L 21 xfxf bf af 1 1 2 n k n ab 2 k xf bf af n T 由此可得由此可得复化梯形公式 复化梯形公式 5 14 n ab 2 n S n ab 6 1 1 2 n k k xfaf bf 6 h dxxf 1k k x x 1 2 1 4 kk k f xf xf x 1 0 n k 6 h 1 2 1 4 kk k f xf xf x 1 0 n k dxxf b a dxxf 5 13 可得可得复化复化Simpson公式 公式 若在每个子区间若在每个子区间 xk xk 1 上用上用Simpson求积公式 即 则 求积公式 即 则 6 h 1k k x x 练习题练习题 I 1 0 x 1 dx 解 解 由复化梯形求积公式 3 T ab 2 bf af 1 6 2 1 1 30 21 由复化Simpson求积公式 3 S ab 36 bf af 135 222 f xf xf x 1 18 6931670 0 用用n 3复化梯形 复化复化梯形 复化Simpson求积公式计算积分求积公式计算积分 01 3 1 3 2 3 2 21 xfxf 5 3 4 3 2 2 21 xfxf 2 1 1 5 3 4 3 2 11 6 3 2 7 6 4 6 1 2 1 6 5 4 练习题练习题 I 1 0 2 x e dx 解 复化的解 复化的梯形求积公式为 4 T 1 2 4 1 复化的复化的Simpson求积公式为 2 S 1 6 2 Simpson求积公式计算积分求积公式计算积分 限定限定5个求积节点 用复化的梯形求积公式和复化的 个求积节点 用复化的梯形求积公式和复化的 01 1 4 3 4 2 1 1 e 1 4 e 2 9 16 e 1 16 e 1 1 e 1 4 e 2 4 9 16 e 1 16 e 8 12 n IT 3 1 0 12 n k k fnh n 2 12 ba h f 2 0 lim n h IT h 1 12 b a fx dx 12 2 afbf h TI n n IS 可知复化梯形公式可知复化梯形公式Tn是是2阶收敛的 当 阶收敛的 当n充分大时 其余项 对于复化 充分大时 其余项 对于复化Simpson公式进行同样的分析 得公式进行同样的分析 得 下面推导这三种复化求积公式的余项估计 下面推导这三种复化求积公式的余项估计 设设f x C2 a b 由 由 5 11 得复化梯形公式的余项 又由于 得复化梯形公式的余项 又由于 5 16 5 18 5 17 3 1 0 12 n k k h f a b 1 0 0 1 lim 12 n k h k hf 1 12 f bfa a b 4 4 1802 bah f 4 0 lim h SI n h 2 1 180 1 4 afbf 2180 1 4 afbf h SI n baf hab CI n 4945 2 6 6 6 0 lim h CI n h 4 1 945 2 5 5 6 afbf 4945 2 5 5 6 afbf h CI n 对于复化对于复化Cotes公式 公式 5 20 当 当n充分大时 在以上的讨论中 均假定了 充分大时 在以上的讨论中 均假定了f x 有一定的连续可微性 但可以证明 只要 有一定的连续可微性 但可以证明 只要f x 在在 a b 上可积 则上可积 则Tn Sn Cn均收敛到均收敛到I f 5 21 5 19 当当n充分大时 充分大时 f xh fx h xfhxf xf h hxfxf xf 1 1 Taylor展开型数值微分公式 展开型数值微分公式 x h x和和x h上的函数值 将上的函数值 将f x h 和和f x h 在在x点点Taylor展开 由此可得 假设已知函数 展开 由此可得 假设已知函数f x 在节点在节点 5 1 3 数值微分公式5 1 3 数值微分公式 2 1 2 fx hO h 23 4 45 111 2 3 4 fx hfx hfx hO h f xh h f x f xh f x fx h fx 2 1 2 fx hO h 23 4 45 111 2 3 4 fx hfx hfx hO h f xh h f x f x fx h 则得两个一阶导数的近似公式 则得两个一阶导数的近似公式 一阶向后差商一阶向后差商 一阶向前差商一阶向前差商 23 1 26 f xhf xh fxfx hO h h 两式相减 除以2两式相减 除以2h得 一阶中心微商一阶中心微商 h hxfhxf xf 2 12 1 2 42 4 2 hOhxf h hxfxfhxf xf 2 2 h hxfxfhxf xf 则一阶导数的近似公式 两式相加 除以 则一阶导数的近似公式 两式相加 除以h2 2 得 二阶中心微商 得 二阶中心微商 则二阶导数的近似公式 则二阶导数的近似公式 一阶中心差商一阶中心差商 二阶中心差商二阶中心差商 这样我们就利用这样我们就利用Taylor公式得到了如下四个数值微分公式 公式得到了如下四个数值微分公式 h xfhxf xf h hxfxf xf h hxfhxf xf 2 2 2 h hxfxfhxf xf 0 33 sin0 34sin0 32 sin 0 02 x dx dx 2 2 0 33 sin sin0 342sin0 33sin0 32 0 0001 x dx dx 0 3334782 0 3240430 314567 0 41 0 0001 sin0 320 314567 sin0 330 324043 sin0 340 333478 例 已知例 已知 2 2 sin dx xd sin dx dx 试用一 二阶中心微商公式 求出在试用一 二阶中心微商公式 求出在x 0 33处 的近似值 0 33处 的近似值 解 解 0 3334780 314567 0 94555 0 02 bxxxa n L 10 baxx n f xpxf x n j j x n n 1 0 1 n j jx n n xxf n xpxf 0 1 1 1 1 1 1 0 x n n j jn fxx n xp n j jx n xxf n 0 1 1 1 上的函数值上的函数值fi f xi i 0 1 0 1 n 则 则 5 22 其中其中pn x 是是f x 的以的以x0 x1 1 xn为插值节点的为插值节点的n次插值多项式 对公式 次插值多项式 对公式 5 22 的两端求一阶导数 得 5 23 的两端求一阶导数 得 5 23 2 下面介绍插值型数值微分公式 假设已知函数 2 下面介绍插值型数值微分公式 假设已知函数 在在n 1个互异的节点 1个互异的节点 f x dx xd ff x n x n 2 1 1 0 1 1 n n nxj j j k pxfxx n n kj j jkx n kn xxf n xE 0 1 1 1 x f 若对任意若对任意x a b 取 取 xpn 的近似值为 则上式右端 只有当 的近似值为 则上式右端 只有当x xk k 0 1 0 1 n 时 才有时 才有 上上式表明 在插值节点式表明 在插值节点xk处 的数值导数取为时 处 的数值导数取为时 k xf kn xp 由于高次多项式插值的不稳定性 实际应用当中多采用由于高次多项式插值的不稳定性 实际应用当中多采用 5 24 其截断误差为 的后两项即为截断误差 但其中的 难以确定 其截断误差为 的后两项即为截断误差 但其中的 难以确定 n 1 2 4的二点 三点和五点插值型求导公式 1 2 4的二点 三点和五点插值型求导公式 fx 1 p x 当当n 1时 假设连续 1时 假设连续 xf x f 存在 且已知存在 且已知f x 在在x0 x1处 一 两点公式 处 一 两点公式 11 00 j k kj kj j k xx f xx 5 26 记记h x1 x0 5 25 01 0110 ff xxxx 10 0 2 ffh fxf h 的函数值 则的函数值 则 10 1 2 f