中考数学“三角板”旋转问题探析.pdf

祥 三角板是最常见的学习工具 学生通过对三角 板的平移 翻折 旋转等操作 往往可以得到许多奇 妙的发现 在这些活动中 学生不仅对操作过程完全 掌控 有亲身经历的感悟 而且可以获得 自主设计 探索创新的冲动和成功后的满足感 以 三角板 旋 转为背景的操作探究题 立意新颖 构思巧妙 为学 生提供了实践操作的空间 较好地考查了学生观察 实验 比较 联想 类 比 归 纳的能力 逐渐 成为中考 命题的一个新的热点 本文试举几例 略加分析 管 中窥豹 仅供大家参考 一 考查相关量之间的数量关 系 例1 2 0 0 9 年 包头市 如图 已知 AC B与 AD F E 是两个全等的直角三角形 量得它们的斜边 长为1 0 c m 较小锐角为3 0 将这两个三角形摆成如 图l 一 1 所示的形状 使点B C F D 在同一条直线上 且点C 与点厘 合 将图1 1 中的 A C B 绕点c 顺时针 方向旋转到图1 2 的位置 点E C A B 边上 A G 交D E 于 点G 则线段F G的长为 c m 保 留根号 A 图 1 1 C D 圈 1 2 简析 本题借 助于3 0 角的三 角板边和 角之 间 的特殊关系 对旋转变换的基本性质进行考查 同学 们在分析时要注意 旋转只改变图形的相对位置 不 会改变图形的形状和大小 如图1 2 线段 1 在旋转 过 程中 始 终 等 于 线 段 D 的 也 就 是 线 枷 的 1 易证 点E 为线 L4 B 的中点 AB C E 为等边三角形 且 G B C 由三角形中位线定理结合勾股定理可求 t hG F I Ac 5 X 3 2 2 拓展 你知道 A C B 绕点C 顺时针旋转了多少 度 吗 例 2 2 0 0 9年浙江省 将一副三角板按如图 2 1 位置摆放 使得两块三角板的直角边Ac和MD 重合 已知 A B A C 8 c m将 AME D绕点A M 逆时针 旋转 6 0 后 图 2 2 两个三角形重叠 阴影 部分的面 积约是 c 结果精确到 O 1 j 一 一1 7 3 B A 图 2 1 三 简析 图形在旋 转过程 中对 应边的夹角始终等于旋转角 本 题 中旋转变换只起 了一 个间接 给 出条件的作用 即 C A D 6 0 这 样 问题 就转化为 求斜 三角形的面 积 了 如 图 2 3 A 6 0 C 4 有 关 3 略解 对于斜三角形中的有关 计算可将其分成两个直角三角形求解 考虑三角形 中有两个已知的特殊角 不应分割 所以过点 作 N H L AC 交A C 千 氓H 设A H x 易知HC HN 3 x 所以 V了 8 解得x 4 一 1 所以 CA N的 1 面积 x 8 x x 3 x 1 6 3 了一 1 2 0 2 Z 例3 2 0 0 9 年贺州市 图中是一副三角板 4 5 的三角板R t AD E F 的直角顶点D恰好在 3 O 的三 角板R t AA B C AB 的中点处 厶4 3 0 LE 4 5 E D F LAC B 9 0 D E c A C 于点G G M A B 于 1 如图 3 1 当D F 经过点C 时 作C N A B 于 求证 A M D N 2 如图 3 2 当D F AC 时 D 胶 B C 于H 作 日 j A 曰 于 1 的结论仍然成立 请你说咀理由 E A M D N B A M D N 8 图 3 1 图 3 2 简析 本题是 以旋 转为载体创 设的一道探 究 线段相等 的数学命题 考查了学生的图形识别能 力和利 用旋转 的性质解决综合 问题的能力 两个 问 题分别选择了R t D 雀旋转过程中的两个特殊位 置 进行 研 究 1 当D F 经过 点c时 易知 厶4 C D LD C N N C B 3 0 ADC B为等边三角形 所 以 G D A G AD 3 0 o aAG D为等 腰 三 角形 在 aD C B 和 AG D中 借助等腰三角形 三线合一 的 1 1 性质有A M A D 一 1 D B D N 2 当D F A C 时 2 2 AG A D与AH D B 均为直角三角形且所有角和斜边均 相等 利 用两次全等即可证得lA 肘 D 对 于本题 如果我们将 静 态的图形换 成动 态的 过程来研究 又会有什么结论呢 拓展 将一 副三角板 R t AAB C 和 R t D E F 按 如图 3 3位置摆放 点E A D 在一条直线上 且D 是 4 B 的中点 将R t AD E I 点D J顷时针方向旋转角0 0 9 0 在旋转过程中 直线D E A c 相交于点 G 直线D F B C 相交于点H 分别过点G 作直线A B 的垂线 垂足 为 当 0 a 9 0 时 线 段A M和D A 有何数量关系 请写出你的结论 并根据图 3 4说 明理 由 E A D B A M D N B 图 3 3 图 3 4 小贴士 通过对旋转过程的分析 我们容易看 出原题 中的 1 2 两问就是当 分别等于 3 O 6 0 时的情形 事实上 上述结论也为我们 的思维设置 了 航标 我们 可以猜想 在一般 情况下A D 同样成 立 由于原题两种情形下证 明的思路并 没有 共性 与 线段A D 相关的三角形在旋转过程 中形状也在 发生变化 所以我们只能另辟奚径 考 虑 证 R I A MG R t aHN B R t aD MG R t A H N D 得到 D 将两式左右 M 8 UM H 两边分别相乘得 由合比性质得 丝 DM B AM UM 即 再 由 4 D B D 可锄 D t N B A U BD 本题提供 了一种借助 比例线段 来证明线段 相等的思维方法 同学们可要借鉴使用哟 评注 以上三题都 是 以三角板的旋转为背景命 制的 重点分析图形旋转过程中相关量之间的数量 关系 例1 例2 考查知识点比较单一 图形的旋转变 化也不复杂 只要分析最终图形的特点即可求解 例 3 特别是拓展 通过对三角板旋转过程的分析 着重 考查学生从特殊到一般的数学思想的理解和运用 考查 学生 归纳 猜想 探 索新知的能力 以及 综合运用 特殊三角形 全等三角形 相似三角形 等比性质等 知识解决综合问题的能力 二 考查相关量之 间的位置关 系 例4 2 0 0 9 年 玉林 市 将 一 副直角 三角板 放 置像图4 1 那样 等腰直角三角 E 4 C B 的直角顶点 4 在直 角三角板肋 肭 直角边加 上 点 C D B 同 一 直线上 点D 曰 是G 础q 三等分点 C F 6 LF 3 0 1 三角板AC B固定不动 将三角板肋 磁 点 D 逆时针旋转至E F C B 如图4 2 试求D 瞒 转的 度数 点A在E 肚 吗 为什么 2 在图4 2的位置 将三角板肋 躜 点D继 续逆时针旋转 1 5 请问此时A c 与O F C 何位置关系 为什么 L D L D B 图 4 1 图 4 2 简析 1 E F C B时 旋转角LF D B F 3 0 且线段 D 与线段 iv C B均垂直 所以只要考虑两个 直角三角形斜边上的高是否相等 即可判断点 4 与 线段 肭 位置 关系 由题 意 易求两个直 角三 角形斜 边上的 高均 为 2 2 由 1 知三 角板肋 尧点D已经 旋转 了3 0 再旋转 l 5 后 总的旋转 角就是 4 5 了 从 而LF D B 4 5 o C 线段AC 与D 聃位置关 系可得 例5 2 0 0 9 年庆阳市 如图 5 1 在平面直角 坐标系中 将一块腰长为 的等腰直角三角板 A B C Y X 在第二象限 且斜靠在两坐标轴上 直角顶点 c 的坐标为 一 1 0 点曰 在抛物线 a x 一 2上 1 4a的坐标 为 点B 的坐标 2 抛物线的关 系式为 3 设 2 中抛物线的顶点为D 求 aD B C的 面积 4 将三角板A B C 绕顶点A逆时针方 向旋转 9 0 到达AA B C 的位置 请判断点B C 是否在 2 中的抛物线上 并说明理由 一 n 图 5 1 简析 1 2 两 问比较 简单 利 用勾股定理 可 求 出A 0 2 所 以4 0 2 再过 点 作B F J x 轴于点F 通 过证 AB F C AC O A可得 曰 一 3 1 如 图5 2 将 B 1 1 点 坐标代入 可求抛物线的关 系式为y 一 2 2 2 第 3 问求 aD B C 的面积也是 常见题型 可将其分解 成AB E C 和AD E C 的面积之和 先求 出D 点 坐标 再 利 用B D解析 式求 出E点坐标 从 而得到 线段E C 的 1 C 长 问题得解 AD B C 的面积为 I J 8 第 4 问是一个开放性 问题 要判 断点 日 C 是 否在抛 物线上 就要看 曰 C 点的 坐标是 否满足抛 物线的解析式 如何 求 曰 C 点的坐标 呢 就必须借 助旋转 的性质 并结合 直角 坐标 系的坐标特征 来解 决 如 图 5 3 过点 B 作 B M上Y轴 于 点 M 过 点 B 作 B N上Y轴于点 N 过 C 作 C P上Y轴 于点 P 由题 意 三 角板 A B C绕 顶点 A逆 时针 方 向旋转 9 0 易 证 Rt A曰 A R AC P Rt A C 40 从 而 有 A M 3 B M I AP I C P 2 所 以 B 1 一 1 C 2 1 将 点 B C 的 坐标代 入抛 物线 解析式 可知 1 1 点 B C 在抛物线 y 一 2上 图中 P N 两点 2 2 实际是重合 的 f F F 图 5 2 图 5 3 评注 例4 通过一副三角板在旋转过程中相对 位置的改变来设置问题 重点考查了旋转过程中对 应线段的夹角和旋转角之间的相互关系 例5 巧妙的 将等腰直角三角板的旋转放置在平面直角坐标系中 进行 先通过三角板的特殊角来计算点的坐标 求出 抛 物线的解析式 而后利用旋 转的性质来确定旋转 后点的坐标 将旋转 全等三角形 平面直角坐标系 及 二次 函数 图像 的有 关知识有机 的统 一在 一起 有 效的考查 了学生在运动变化过程中识别和处理复杂 图形的能力 三 考查综合 创新思维能力 fi J 6 扬州市 等腰三角形AB C 中 AB Ac 8 B AC 1 2 0 P 2 B C 的中点 小惠拿着含 3 0 角的 透明三角板 使 3 0 角的顶点落在 点 三角板绕点P 旋转 1 如图 6 1 当三角板的两边分别交A 曰 AC 于E 耶寸 求证 曰 朋 一aC F P 2 操作三角板绕Jp 方 龟 转到图 6 2情形时 三 角板两边分别交 的延长线 边A C 于E 探究AB P E 与 c 还相似吗 探究 连接 F AB P E 与AP E 陧 否相似 说 明理 由 设E F m AE 面积为S 用含m的代数式表 示 S P C B 图 6 1 P C 图 6 2 P C 图 6 3 简析 本题将3 0 角直角三 角板放置到 1 2 0 的 等腰三 角形 中进行旋 转 巧妙 的将 B E P E P B E P B C P F 1 5 0 o 即 BE P 这 一 不 变 的 关 系隐含 于其 中 同学们在分析过程 中若能发现这一 结论 则三角形相似 的问题 即可迎刃而解 1 如图6 1 直接利用 有两个角对应相等的 两个三角形相似 的判定定理 即可求证 2 第 问是 1 图形变化情境的拓展延伸 如 图6 2 因为 B E P C P F 这 一 关 系未 变 所 以 AB P E 与 C 然相似 证 明方法 同前 第 问又是对AB P EV Ac 结论的再应用 由 B E P F 3 0 可以启发 我4 t i 夹这两个角的边 对应成比例 即证丝 B P r B P P C 即证 P C PF D 联 系 曰 一 C 可知其成立 P 第 问 E F m 要求AE P F 的面积 自然想 到 求 出 边上 的 高 如 图6 3 而 由 E P 厶P E F 可 知 B E P P E F 即E P 为 B E F 的龟平分 线 所以P 到E 肭 距离删 等于P NB E 的距 离P 等于 B P 连接4 P 在R t 中 B 3 0 AB 8 可得 2 B P 4 x 3 P M P N 2 x 3 s P M E 3 m 2 评注 本例中问题的设置环环相扣 步步深入 让你身在其中总有 山重水复疑无路 柳暗花明又一 下转第 2 9页 解 原式 1 2 一 6 x i 一1 一V 点评 本题结合特殊角的三角函数值 零指数 以及根式的化简三种运算 考查二次根式的加减运 算 知识考查全面 说明中考复习不能放过任何一个 细小 的知识环节 四 注重 与数轴 的结合 体 现二次根式 的几何 意义 例 7 2 0 0 9扬州市 如图 数轴上点P 表示的 数可能是 P 3 2 1 0 l 2 3 A 丁 B 一 V了 C 一 3 2 D 一 而 分析 从数轴上可以看 出 p ff v 点一 3 和一 2 2 间 利用平方一 一 3 2 一 2 一 一 2 可以估算出点P 表示的数是一 7 解 选择 B 点评 在数轴上准确地找出表示具体实数的 点 特别是无理数的点 印证 了实数与数轴上的点是 一一 对应的关系 另外这里还需要用到估算的知识 五 强化探究意识 解决根式中包含的规律 问题 仞 j8 2 0 0 9 烟 台 市 观 察 下 列 各 式 l 2 3 悸 4 请 你 将发现的规律用含 自然数n n 1 的等式表示出来 分 析 观 察 第 1 个 等 式 l 2 等 号 左边被开方数 中的整数