北京市西城区(北区)2011—2012学年度第二学期学业测试文.doc

北京市西城区（北区）20112012学年度第二学期学业测试高二数学（文科）试卷满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 已知全集，集合，那么集合的子集有（ ）A. 6 个B. 7个C. 8个D. 9个2. 是虚数单位，复数等于（ ）A. B. C. D. 3. 下列函数中，图象关于y轴对称，且在上单调递增的函数是（ ）A. B. C. D. 4. 若，则“”是“”的（ ）A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不是充分条件也不是必要条件5. 对于，函数满足，且在上单调递减，那么使得成立的x的范围是（ ）A. B. C. D. 6. 在数列中，其中。记的前n项和为，那么等于（ ）A. B. C.D. 7. 已知函数在区间上存在零点，那么实数a的取值范围是（ ）A.B. 来源:学&科&网C. D. 8. 设函数的定义域为R，如果存在函数为常数），使得对于一切实数都成立，那么称为函数的一个承托函数. 已知是函数的一个承托函数，那么实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。9. 已知命题：，那么命题为_.10. 已知函数 若，则实数_. 11. 设，那么实数a, b, c的大小关系是_.12. 在等比数列中，则_.13. 设函数，则的最大值为_，最小值为_。14. 如图，设是抛物线上一点，且在第一象限. 过点作抛物线的切线，交轴于点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，此时就称确定了.依此类推，可由确定，.记，。给出下列三个结论：；数列是公比为的等比数列；当时，.其中所有正确结论的序号为_.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .15. （本小题满分13分）设，集合，.（）当a=3时，求集合；（）若，求实数的取值范围.16. （本小题满分13分）已知公差不为0的等差数列的首项，且成等比数列.（）求数列的通项公式；（）设数列的前项和为，求数列的前n项和. 17. （本小题满分13分）已知函数，其中.（）若函数为奇函数，求实数的值；（）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.18. （本小题满分13分）如图，要建一间体积为，墙高为的长方体形的简易仓库. 已知仓库屋顶每平方米的造价为500元，墙壁每平方米的造价为400元，地面造价忽略不计. 问怎样设计仓库地面的长与宽，能使总造价最低？最低造价是多少？19. （本小题满分14分）设函数，其中. （）若函数的图象在点处的切线与直线平行，求实数的值；（）求函数的极值.20. （本小题满分14分）在数列中，对于任意，等式成立，其中常数.（）求的值；（）求证：数列为等比数列；（）如果关于n的不等式的解集为，求b和c的取值范围.【试题答案】一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. C； 2. D； 3. B； 4. A； 5. C； 6. D； 7. B； 8. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. ，； 10. ； 11. ； 12. ； 13. ； 14. 、。注：第13题第一个空2分，第二个空3分；第14题少选得2分，多选和错选均不得分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.（如有其他方法，仿此给分）15. （本小题满分13分）（）解：因为集合或， 2分集合， 4分 所以 或. 7分 （）解：因为 ，所以 ， 11分解得 . 13分 注：第（）问中没有等号扣分. 16. （本小题满分13分）（）解：设等差数列的公差为， 由题意，得，即， 2分所以，解得 ，或（舍）， 4分所以 . 6分 （）解：由（），得， 8分所以. 则 9分 11分， 所以数列的前n项和. 13分17. （本小题满分13分）（）解：因为是奇函数 所以，其中且. 2分 即, 其中且. 所以. 6分（）解：. 8分因为在区间上单调递增, 所以 在上恒成立， 9分 即在上恒成立， 因为在上的最小值，所以 验证知当时，在区间上单调递增. 13分 18. （本小题满分13分）解：设仓库地面的长为，宽为，则有，所以 2分则仓库屋顶的面积为，墙壁的面积为 所以仓库的总造价， 5分将代入上式，整理得 7分 因为，所以， 10分且当，即时，W取得最小值36500 此时 12分答：当仓库地面的长为，宽为时，仓库的总造价最低，最低造价为36500元. 13分 19. （本小题满分14分）（）解：函数的定义域是. 1分对求导数，得. 3分由题意，得，且，解得. 5分（）解：由，得方程，一元二次方程存在两解， 6分当时，即当时，随着x的变化，与的变化情况如下表：极小值 即函数在上单调递减，在上单调递增.所以函数在存在极小值； 8分 当时，即当时，随着x的变化，与的变化情况如下表：来源:Z#xx#k.Com极大值极小值即函数在，上单调递增，在上单调递减.所以函数在存在极小值，在存在极大值； 10分 当时，即当时， 因为（当且仅当时等号成立），所以在上为增函数，故不存在极值； 12分 当时，即当时，随着x的变化，与的变化情况如下表：极大值极小值即函数在，上单调递增，在上单调递减.所以函数在存在极大值，在存在极小值； 综上，当时，函数存在极小值，不存在极大值； 当时，函数存在极小值，存在极大值 ； 当时，函数不存在极值；当时，函数存在极大值，存在极小值. 14分20. （本小题满分14分）（）解：因为， 所以， 解得 ，. 3分（）证明：当时，由， 得， 将，两式相减，得 , 化简，得，其中. 5分因为，所以 ，其中. 6分因为 为常数， 所以数列为等比数列. 8分（）解：由（），得， 9分 所以， 11分 又因为， 所以不等式