双带电粒子体系的电磁作用动力学.doc

双带电粒子体系的电磁作用动力学摘要：电荷和电磁场是相互作用的，一方面电荷激发电磁场，另一方面电磁场又对电荷有反作用。要完全解决电荷与电磁场系统的动力学问题，必须把两者之间的相互作用同时考虑，才能解出粒子的运动以及电磁场。本文将通过对于垂直的电磁场的研究进而从哈密顿正则方程出发，推导出了带电粒子在电场和磁场成任意夹角时的运动方程根据运动方程讨论了带电粒子的运动轨迹形成闭合轨道所满足的条件，借助于计算机编程对带电粒子的闭合轨道进行了模拟计算结果表明：在交叉的电场和磁场中，带电粒子的闭合轨道是三维的随着带电粒子能量的不断增大，闭合轨道的条数不断增多当能量增加到某一边界能量时，一条新的闭合轨道出现，当能量大于此边界能量时，这条新的闭合轨道发生分叉，由一条分为两条对应第j个边界能量，共有2j条闭合轨道出现，当能量在第j个和第J+1个边界能量之间变化时，共有2j+1条闭合轨道存在从而推出一般情况的电磁场，进而得出普遍结论。带电粒子在电场和磁场中的运动一直是电磁学一个有意义的研究课题，其应用十分广泛比如，实验室中的阴极射线管，高能物理中常用的回旋加速器、质谱仪等设备都要应用和涉及到这方面的规律和知识初看起来，带电粒子似乎是在垂直于磁场的平面内作圆周运动，同时沿电场方向作匀加速运动，整个运动轨迹是这两种运动的合成考虑到粒子运动的相对性，通过求解带电粒子在均匀电磁场中的运动方程，可以证明实际的运动并非是简单的两种运动的合成对于带电粒子在电磁场中的运动规律，一般文章都只对一些特殊情况进行了讨论例如在均匀电场中，带电粒子作匀加速直线运动或类抛体运动；在均匀磁场中，带电粒子作匀速直线运动、匀速圆周运动或等螺距的螺旋线运动而对于空间既有电场又有磁场的情况，一些文献中也仅限于讨论粒子在互相垂直的电场和磁场中的运动，笔者对带电粒子在垂直电场和磁场中运动进行了分析，并且对粒子运动的闭合轨道进行了模拟但是，当电场和磁场垂直时，通过分析发现粒子的闭合轨道仅仅位于二维平面内对于电场和磁场成任意夹角的情况，并没有进行探讨本文对带电粒子在电场和磁场成任意夹角时的运动情况进行了研究首先从量子力学的角度推导出其运动方程，并对粒子在满足什么条件下才能形成闭合轨道进行了分析最后利用计算机对粒子运动的闭合轨道进行了模拟，以便更形象更直观地了解带电粒子在电磁场中的运动情况关键词：带电粒子，相互作用，电磁场，运动轨迹。 正文：一、垂直恒定的电场和磁场1 BQV=QE+.我们考虑垂直电磁场，磁场为磁场，电场竖直向下，上下粒子分别为正负粒子垂直进入电磁场，速度都是v，电荷量Q，则正粒子受到竖直向上的BQV,向下的QE和负粒子受到竖直向上的QE和，向下的BQV。若BQV=QE+,则粒子受力平衡将做匀速直线运动。2.若BQV QE+在宏观、低速条件下，在电磁场中运动的带电粒子方程为F=q(E+V X B)=ma， （1） 式中q、m、V、a分别代表带电粒子的电量、质量、速度和加速度，E和B分别代表外加电场和外加磁感应强度。在0一xyz坐标系中，若磁场方向沿x轴正方向，电场方向沿oy轴正方向，并设t=0时，x=y=z=0根据(1)式很容易推导出带电粒子在正交恒定电磁场中的运动方程： （2） （3） （4）（1）垂直于电磁场方向射入电磁场当带电粒子以垂直于电磁场方向射人电磁场时，带电粒子的速度可以表示为V=Vk，由(2)式得 （5） （6） （7）可见带电粒子的运动轨迹不是简单的平面曲线。这里将(5)(6)(7)整理，并令=A，则上式变为此方程式表明，当带电粒子以垂直于电磁场方向射入时，粒子在Oyz平面内以0y轴的正半轴为起始点做圆心随时间变化(z坐标变化)的类似旋轮线运动，亦即长辐旋轮线运动。（2）平行于电场方向射入电磁场当带电粒子以平行于电场方向射人电磁场时，带电粒子的速度可以表示为V=vj，由(2)式得 (8)令=C，=D，(8)式进一步变形 (9)进一步得出： (10)(10)式表明，当带电粒子沿电场方向射人电磁场时，粒子在Oyz平面内以仇轴负半轴为起始点做圆心随时间变化(Z坐标变化)的类似旋轮线运动，亦即长辐旋轮线运动。（3）平行于磁场方向入射电磁场带电粒子以平行于磁场方向射人电磁场时的速度表示为V=Vi，由(2)式得 (11)可见粒子的运动分解为x轴方向匀速直线运动和Oyz平面内的旋轮线运动。令F= ，(11)式变形为： (12) (12)式表明，带电粒子运动轨迹为一条空间曲线。(4)任意角度射入正交电磁场设E=E ，B=B ，考虑两个速度任意分布的电子同时入射到电场垂直的平面内，不失一般性，设t=0时刻两个电子在yoz平面中，设电子的初始位置（0，），在任意t时刻，电子的运动方程是： m =-e（E+B ） （1） m =e B （2） m =0 （3）令= +i 则式（2），（3）合写为 m=-eE+ieB （4）则（4）式的解为： =c-i (5)式中w= ,带入初始条件，求得： C= +i（+） (6)最后求得： =cos-（+）sin+ isin+（+）cos- （7） 因此可得 （t）=cos-（+）sin （8） （t）=sin+（+）cos- （9） （t）= （10）由积分可得出： = sin+ （+）cos-（+） （11） y（t）=- cos+（+）sin-t+ （12） z（t）=t （13）由此方程可得出两个粒子的运动轨迹。二、如果磁场和电场不垂直成不同的角度1、质量为m，电量为e的两个电子，在交叉电场F和磁场B(F=i+k，=Fsin，=F，B=Bk)中运动，其中磁场B沿z轴正方向，电场在xoz平面内，与z轴夹角为，以下所讨论的问题中，采用原子单位制，m=e=1则电子的哈密顿量为=0.5+x+z (1) 其中电磁场的矢势和标势分别取如下形式 :A=Bxj,V=- x- z,定义以下变量为：=， ，H=H省略撇号后，电子的哈密顿量可重新表示为；H=-+ （2）其中，=+,=+z利用哈密顿正则方程可得：,，对式（2）求解可得出：（t）=（t） （3）（t）= （4）（t）= （5）再根据初始条件(t=0时电子从坐标原点以初速度沿任意方向进入电磁场)，从而可以很容易求得电子在新的标度单位下的运动方程： （6） （7） （8）同时可以得到和的关系 （9） （10）从式(9)、(10)可以看出，电子运动的初始方向和圆周运动的半径之间存在一定的关系当带电粒子从原点(z=0，y=0，z=0)出发后，经过一段时间又返回到原点，从而形成一条闭合轨道根据运动方程式(8)可知，若要形成闭合轨道，必须大于零，即带电粒子进入电场和磁场的初速度在z轴的分量为零其次，根据z(t)=0，由式(6)可以得到带电粒子形成闭合轨道所需要的时间为t=-2+（2j+1） （11）最后，根据Y(t)=0，由式(7)还可以得到 （12）根据式(11)、(12)，可以得到如下关系t-2=0 （13）同时借助（2）（10）可得： （14）由于返回时间t必须大于0，由式(9)、(10)、(13)、(14)可以看出，也必须大于0，即初速v。与x轴的夹角的取值范围为（-，）通过一系列化简，得到如下方程： （15）L()= （16）所以，当总能量E给定以后，就可以利用以上各式确定每一条闭合轨道的初始条件三、电场随时间变化设某空间有电磁场，磁场和电场分别为B=（，）=（0，0，B）、E=(0, , sin),B和都为常数，两个电子初始时刻静止于坐标原点附近，取非相对论的近似，求出电子关于时间的位置函数，讨论出电子的运动轨道。电子所受的洛仑兹力为： F=-eE-evB =-e( sin + )-eB（ - ）得到： =-（t） （1） =（t）-e （2） = （3）解微分方程组中的（1）（2）可得出： =Acos-Bsin+式中，A,B为待定常数，式（1）给出 （t）=A sin-B cos因为 （0）=（0）=0 A=-，B=0所以 （t）=-cos-1，（t）=- sin解式（3），并由初始条件（0）=0可得 (t)= cos(wt)- 则 （t）=- cos-1 （t）=- sin (t)= cos(wt)- 对上式积