大连理工大学 计算机科学计算 第五章2.pdf

插值函数的应用 第 5 章第 5 章 n k kkn xfAfI 0 本节介绍具有最高代数精度的数值求积公式 即本节介绍具有最高代数精度的数值求积公式 即Gauss型求积型求积 此插值型求积公式 并未要求取等距节点 的代数精度至少为此插值型求积公式 并未要求取等距节点 的代数精度至少为n 5 2Gauss型求积公式型求积公式 0 x 1 x 0 x 1 x 0 x 1 x 0 x 1 x 形如公式形如公式 5 32 1 1 1100 xfAxfAdxxf 在区间 1 1 上的两点的求积公式的一般形式在区间 1 1 上的两点的求积公式的一般形式 1 1 1 1 ffdxxf 其代数精度为1 其代数精度为1 0101 xxAA 3 x 若不限制等距节点 我们可以特意的去选取 由代数精度的的定义 分别取并令 若不限制等距节点 我们可以特意的去选取 由代数精度的的定义 分别取并令 1 1 1100 xfAxfAdxxf xf 1 x 2 x 两点的两点的Newton Cotes求积公式是求积公式是梯形公式梯形公式 1 1 dxxf 1 1 4 5 2 dxx 即 至少具有 即 至少具有3次代数精度 又取次代数精度 又取 f x x4 时时 0 A 00 xA 2 00 xA 3 00 xA 1 A 2 11 xA 0 2 11 xA 3 2 3 11 xA 0 0 A 3 1 0 x 3 1 1 x 1 1 A 1 3 f 3 1 f 4 3 1 4 3 1 9 2 故具有故具有3次代数精度 次代数精度 可得到如下非线性方程组 可得到如下非线性方程组 dx 1 1 1 1 1 x dx 1 2 1 xdx 1 3 1 xdx 通过求解具2通过求解具2n 2阶 非线性方程组来确定所有 2阶 非线性方程组来确定所有 x0 0 x1 1 xn和和 A0 0 A1 1 An 共计有 2 共计有 2n 2个待定系数 就可以构造出具有2 2个待定系数 就可以构造出具有2n 1次代数精度的数值 1次代数精度的数值 k x 如果形如 如果形如 5 32 的求积公式具有代数精度 2 的求积公式具有代数精度 2n 1次 则称其为 1次 则称其为Gauss型求积公式型求积公式 并称其中的求积节点 为 并称其中的求积节点 为Gauss点 点 定义定义 5 2 1 0 nkL 但是这需要求解非线性代数多项式方程组 一般来说 很难求解 需用数学机械化的算法 但是这需要求解非线性代数多项式方程组 一般来说 很难求解 需用数学机械化的算法 吴方法吴方法求解 求解 积分公式 这样如果我们用代数精度最高原 积分公式 这样如果我们用代数精度最高原 5 2 1 Gauss型求积公式型求积公式 0 d n b kkn a k x f xxA f xEf 要使插值型求积公式要使插值型求积公式 5 33 具有具有2n 1次代数精度 必须且只须以节点次代数精度 必须且只须以节点 x0 x1 xn为零点为零点 n j jn xxx 0 1 与所有次数不超过与所有次数不超过n的多项式在 的多项式在 a b 上关于权函数r 上关于权函数r x 正交 正交 n xxx 10 L 1 x n n xxx 10 L n xxx 10 L 定理定理 5 2 换句话为 换句话为 是是Gauss点 是正交多项式 是 点 是正交多项式 是Gauss点点 是正交多项式的根 是正交多项式的根 n 1次多项次多项 定理定理 5 2 1 d b n a xx q xx 1 d b n a xx q xx 证 必要性 假设 证 必要性 假设 5 33 具有2 具有2n 1次代数精度 则对任 1次代数精度 则对任 n q x P 121 nn x q x P从而由w从而由wn 1 1 x 的定义 即 的定义 即wn 1 x 与与q x 在 在 a b 上关于权函数r 上关于权函数r x 正交 正交 1 0 n knkk k 充分性 假设w充分性 假设wn 1 1 x 与任意一个次数不超过 与任意一个次数不超过n的多项式 在 的多项式 在 a b 上关于权函数r 上关于权函数r x 正交 下面证明以 w 正交 下面证明以 wn 1 x 的零点的零点x0 0 x1 1 xn为节点的数值求积 公式具有代数精度2 为节点的数值求积 公式具有代数精度2n 1 1 Ax q x 1 xrxqxxf n 对任意对任意 f x P2n 1 用用wn 1 x 除除 f x 其商为其商为q x Pn 余项为余项为r x Pn 即 即 已知已知01 0 n knkk k Ax q x 0 d b a x f xx d b a x r xx 0 d n b kk a k x f xxA f x 由于w由于wn 1 x 与所有次数不超过与所有次数不超过n的多项式正交 所以的多项式正交 所以 又由于又由于n 1点插值型求积公式对次数不超过 1点插值型求积公式对次数不超过n的多项式是精确的 故的多项式是精确的 故 1 d b n a 从而从而 xx q xx r xx d b a x r xx 0 n kk k A r x 1 0 n knkkk k Ax q xr x 0 n kk k A f x 即 即 5 33 式具有2 式具有2n 1次代数精度 为 1次代数精度 为Gauss型求积公型求积公 0 k A nk 1 0L b a n k k dxxA 0 b kk a Ax lx dx 2 k lx 2 0 2 ik n i i b a k xlAdxxlx 2 0 b kk a Ax lx dx Gauss型求积公式其求积系数有如下性质 且 型求积公式其求积系数有如下性质 且 2 其中 其中lk x k 0 1 n 是以是以x0 x1 xn为插值节点的为插值节点的Lagrange插值 插值 k 0 1 0 1 n 求积公式精确成立 即 由 求积公式精确成立 即 由lk x 的性质 证 的性质 证 1 由于是 由于是Gauss型求积公式 故对型求积公式 故对2n次多项式 基函数 次多项式 基函数 1 2 b k a x lx dx nk 1 0L 0 n k i A b a x dx 0 n b k a i x lx dx 0 n b k a i xlxdx 又又Ak的定的定 ki lx ik 1 0 ki 得得 b k a x lx dx 根据定理根据定理5 2 我们可以构造如下的 我们可以构造如下的Gauss型求积公式型求积公式 1 Gauss Chebyshev型求积公式型求积公式 dx x xf 2 1 1 1 0 n k 其中其中k A f k x k A k x 1n 12 12 cos n k nk 1 0L dx x xf 2 1 1 1 2 2 2 2 2 ff dx x xf 2 1 1 1 33 0 322 fff 3次代数精度次代数精度 5次代数精度次代数精度 对于对于n 1 2时时 2 Gauss Legendre型求积公式型求积公式 f x dx 1 1 0 n k 其中其中 k A f k x k A 2 2 1 2 1 knk xLx nk 1 0L 例 求例 求 1 1 上关于的r上关于的r x 1两点两点Gauss Legendre型求积式型求积式 01 12 2 23 1 x x 9 4 3 4 2 x 13 9 4 2 x dxxlA 1 1 00 令令 013 9 4 2 2 xx 3 1 0 x 3 1 1 x dx x 3 1 3 1 3 1 1 1 1 1100 xfAxfAdxxf 2 x 首先 构造二次正交多项式解 首先 构造二次正交多项式解 2 201 2 0 3 2 0 3 x x 此时 此时 1 1 1 1 dxxlA 1 1 11 dx x 3 1 3 1 3 1 1 0 A 1 1 或 取或 取 f x 1 x 由代数精度的定义 得线性方程组 由代数精度的定义 得线性方程组 10 AA 则得具有则得具有3次代数精度的次代数精度的Gauss Legendre公式 公式 10 3 1 3 1 AA 2 xf dx 0 1 1 dxx 10 AA 01 AA 2 1 1 dx 0 1 1 A 3 1 f 3 1 f 例 求例 求 1 1 上上5次代数精度的次代数精度的Gauss Legendre型求积式型求积式 012 123 2 234 3 345 1 x x x 3 88 1527 x 1 001122 1 f x dxA f xA f xA f x 3 x 首先 构造三次正交多项式解 首先 构造三次正交多项式解 2 3 2 201 3 2 00 3 22 0 35 2 00 5 x x x 2 20 3 2 00 3 22 0 35 3 x 2 2 21 3 00 22 35 x x 2 5 2 44 5 95 x 0 A 1 1 取取 f x 1 x x2由代数精度的定义 得线性方程组 则得具有 由代数精度的定义 得线性方程组 则得具有5次代数精度的次代数精度的Gauss Legendre公式 公式 012 AAA 02 33 55 AA 2 xf dx 0 1 1 dxx 012 AAA 20 AA 2 1 1 dx 0 2 5 9 A 80f 3 5 5 f 令令 3 3 32 11 0 45 35 xxx 0 3 5 x 1 0 x 2 3 5 x 02 33 55 AA 2 3 1 1 dx 2 x 02 AA 10 9 1 8 9 A 3 5 5 f 9 1 x 1 1 b a dxxf kk n k t abab fA ab 222 0 则有 这样 则有 这样 只需作变量替换 只需作变量替换 2 ba t ab 2 ba 2 ab dtt abab f 22 1 1 t x 对于任意区间对于任意区间 a b 上关于r上关于r x 1的的Gauss型求积式型求积式 312 n 3 1 0 t 5 1 dxxf 1 232 3 f 此求积公式具有 此求积公式具有2个个Gauss节点 从而 得 节点 从而 得 1 n 解 由解 由 3 1 1 t 0 A1 1 A 1 1 232dttf kk tfA23 1 0 2 k 1 232 3 f 5 1 dxxf例 构造出求 的具有 例 构造出求 的具有3次代数精度的次代数精度的Gauss公式 再取 1 1 上的 公式 再取 1 1 上的Gauss节点 求积系数 作变量替换 节点 求积系数 作变量替换 3 2t 若取若取 f x e x2 则 则 5 1 2 dxe x 1 1 23 2 2dte t 2 0 3 2 0 t A e 2 2 1 3 2 1 t A e 2 2 1 3 2 3 e 2 1 3 2 3 e dxxfx 1 0 1 例2 确定例2 确定x0 x1 A0 A1使以下的求积公式为使以下的求积公式为Gauss型求积公式 解 首先构造 型求积公式 解 首先构造 1 0 xx 1 上关于的首项系数为上关于的首项系数为1的二的二 1100 xfAxfA 次正交多项式 为此可设次正交多项式 为此可设 1 0 x axx 1 cbxxx 2 2 10 20 9 8 b 63 8 c 21 从