概率论习题及答案.pdf

练习八 班级 姓名 1 盒子里装有3只黑球 2只红球 2只白球 在其中任取4只球 以X表示取到黑球的只数 以Y表示取到白球的只数 求X Y的联合分布律 解 X Y 的可能取值为 i j i 0 1 2 3 j 0 12 i j 2 联合分布律为 P X 0 Y 2 35 1 4 7 2 2 2 2 C CC P X 1 Y 1 35 6 4 7 2 2 1 2 1 3 C CCC P X 1 Y 2 35 6 4 7 1 2 2 2 1 3 C CCC P X 2 Y 0 35 3 4 7 2 2 2 3 C CC P X 2 Y 1 35 12 4 7 1 2 1 2 2 3 C CCC P X 2 Y 2 35 3 4 7 2 2 2 3 C CC P X 3 Y 0 35 2 4 7 1 2 3 3 C CC P X 3 Y 1 35 2 4 7 1 2 3 3 C CC P X 3 Y 2 0 X Y 0123 000 35 3 35 2 10 35 6 35 12 35 2 2 35 1 35 6 35 3 0 2 设随机变量 X Y 概率密度为 其它 0 42 20 6 yxyxk yxf 1 确定常数k 2 求P X 1 Y 3 3 求P X 1 5 4 求P X Y 4 解 1 2 0 1 2 6 1dydxyxkdydxyxf 8 1 k 2 8 3 6 8 1 3 1 3 2 1 0 dyyxdxYXP 3 32 27 6 8 1 5 1 5 1 4 2 5 1 0 dyyxdxYXPXP 4 3 2 6 8 1 4 4 0 2 0 dyyxdxYXP x 3 盒子里装有3只黑球 2只红球 2只白球 在其中任取4只球 以X表示取到黑球的只数 以Y表示取到白球的只数 求的随机变量 X Y 的边缘分布律 X Y 0123 P Y j 000 35 3 35 2 7 1 10 35 6 35 12 35 2 35 20 2 35 1 35 6 35 3 0 7 2 P X i 35 1 35 12 35 18 35 41 4 设二维随机变量 X Y 的概率密度为 其它 0 1 22 yxycx yxf 1 试确定常数c 2 求边缘概率密度 解 l 4 21 21 4 3 2 1 0 2 5 2 1 0 ccdyycydxcxdydxdyyxf y y 其它 0 11 1 8 21 4 21 42 1 2 2 xxxydyx xfXx X 其它0 10 2 7 4 21 2 5 2 yyydxd yfY y y Y x o y y x2 Y 练习九 班级 姓名 1 设一加油站有两套用来加油的设备 设备A是加油站的工作人员操作的 设备B是有顾客自 己操作的 A B均有两个加油管 随机取一时刻 A B正在使用的软管根数分别记为X Y 它们的联合分布律为 X 012 00 100 080 06 10 040 200 14 20 020 060 30 1 求至少有一根软管在使用的概率 2 求在0 X的条件下Y的条件分布律 在1 Y的条件下X的条件分布律 3 问随机变量X和Y是否相互独立 解 1 至少有一根软管在使用的概率为 9 01 01 0 0 1 1 YXPYXP 2 根据公式 0 0 0 XP XiYP XiYP 得到在0 X的条件下Y的条件分布律为 Y 012 0 XYP5 121 31 4 类似地 在1 Y的条件下X的条件分布律为 X 012 1 YXP4 1710 173 17 3 P X 0 Y 0 P X 0 P Y 0 所以随机变量X和Y不是相互独立 2 设随机变量 X Y 在由曲线xyxy 2 所围成的区域G均匀分布 1 问随机变量X和Y是否相互独立 2 求条件概率密度 xyf XY 解解 1 根据题意 X Y 的概率密度 yxf必定是一常数 故由 3 1 1 2 1 0 yxfdyyxfdxdxdyyxf x xG 得到 他其 0 3 Gyx yxf 他其 0 10 33 2 2 xxxdy dyyxfxf x x X 他其 他其 0 10 3 0 103 2 2 yyy ydx dxyxfyf y y Y yfxfyxf YX 所以随机变量X和Y不是相互独立 3 当10 x时 其他 0 1 2 2 xyx xx xf yxf xyf X XY 3 设X与Y为独立同分布的离散型随机变量 其概率分布列为 P Xn 1 2 n P Yn 1 2 n 求XY 的分布列 解 设ZXY Z的分布为 1 1 k i P ZkP XYkP Xi P Yki 1 1 11 22 k ik i i 1 1 2 3 2 k kk 4 设 X Y相互独立 其概率密度分别为 1 01 0 X x fx 其他 0 0 0 y Y ey fy y 求XY 的概率密度 解 设ZXY 由卷积分式 Z的概率密度为 ZXY fzfzy fy dy 0 01 0 y XY eyzy fzyfy 其它 不等式0 01yzy 确定平面域D如图 当 0z 时 0 Z fz 1 0 z y D 当 01z 时 0 z y Z fze dy 0 1 z yz ee 当 1z 时 1 1 z yz Z z fze dyee 综上所述 0 0 1 01 1 1 z Z z z fzez eez 解2 变量代换法 ZXY fzfx fzx dx 注意到当01x 时 X fx 1 有 11 0 u z x z ZXYYY z fzfx fzx dxfzx dxfu du 令 1 z Y z fu du 0 0 0 Y u u fu eu 所以 当 0z 时 0 Z fz 当 01z 时 0 1 z uz Z fze due 当 1z 时 1 1 z uz Z z fze duee 综上所述 0 0 1 01 1 1 z Z z z fzez eez 5 设X和Y为两个随机变量 且 34 0 0 0 0 77 P XYP XP Y 求 max 0 PX Y 解 max 0 0 0 0 0 PX YPXYP XP Y 4435 0 0 7777 P XY 6 假设一电路装有三个同种电器元件 其工作状态相互独立 且无故障工作时间都服从参数 为0 的指数分布 当三个元件都无故障时 电路正常工作 否则整个电路不能正常工作 试求电路正常工作 的时间T的概率分布 解 设T的分布函数为 T Ft 第i件元件的寿命为 i X 其分布函数为 F x 则 123 min T FtP TtPXXXt 3 1 1 F t 3 1 0 0 0 t et t 即 3 TE 练习十 班级 姓名 1 设随机变量X的分布为 X 202 Pk0 40 30 3 求 E X E 3X2 5 解 E X 2 0 4 0 0 3 2 0 3 0 2 E X2 2 2 0 4 02 0 3 22 0 3 2 8 E 3X2 5 3E X2 E 5 8 4 5 13 4 2 设随机变量X的概率密度为 0 0 0 x xe xf x 求 1 Y 2X 2 Y e 2x的数学期望 解 1 0 2 2 dxxedxxxfYE x 2 0 22 xx exe 2 0 22 exeedxxfeYE xxx 3 1 03 1 3 x e 3 设二维随机变量 X Y的概率密度为 1 01 0 yxx f x y 其它 求 21 EXEYEXYDX 解 11 2 00 2 2 3 x x EXxdy dxx dx 1 0 0 x x EYdxydy 1 0 0 x x EXYxydy dx 11 223 00 1 2 2 x x EXxdy dxx dx 2 121 2318 DX 42 21 4 189 DXDX 4 设随机变量X1 X2的概率密度分别为 0 0 0 4 00 0 2 4 2 2 1 x xe xf x xe xf xx 求 1 E X1 X2 E 2X1 3 2 2 X 2 又设X1 X2相互独立 求E X1X2 解 1 00 42 2121 42 dxexdxexXEXEXXE xx 4 3 4 1 2 1 04 1 02 1 4422 xxxx exeexe 2 0 422 21 2 21 43 2 1 2 3 2 32 dxexXEXEXXE x 8 5 8 3 1 08 1 2 31 4442 xxx ee x ex 3 8 1 4 1 2 1 2121 XEXEXXE 5 设随机变量X与Y独立 且X服从均值为1 标准差 均方差 为2的正态分布 而Y服 从标准正态分布 试求随机变量23ZXY 的概率密度 解 因为相互独立的正态分布的线性组合仍为正态分布 所以 2 ZN 其中 23 235EZEXYEXEY 2 23 49DZDXYDXDY 所以Z的概率密度为 2 5 18 1 3 2 z Z fzez 6 设 X Y是两个相互独立的且均服从正态分布 1 0 2 N的随机变量 求 E XY 与 D XY 解 设ZXY 则 0 1 ZN 22 22 0 12 22 zz E XYE Zz edzzedz 2 2 0 22 z e 22 1E XYEZDZ 所以 22 2 1D XYZ XYE XY 7 设随机变量X和Y的联合分布为 X Y 101 1 8 1 8 1 8 1 0 8 1 0 8 1 1 8 1 8 1 8 1 验证 X和Y不相关 但X和Y不是相互独立的 证 P X 1 Y 1 8 1 P X 1 8 3 P Y 1 8 3 P X 1 Y 1 P X 1 P Y 1 X Y不是独立的 又E X 1 8 3 0 8 2 1 8 3 0 E Y 1 8 3 0 8 2 1 8 3 0 COV X Y E X E X Y E Y E XY EX EY 1 1 8 1 1 1 8 1 1 1 8 1 1 1 8 1 0 X Y是不相关的 8 设随机变量 X1 X2 具有概率密度 8 1 yxyxf 0 x 2 0 y 2 求E X1 E X2 COV X1 X2 21 21 XXD XX 解 6 7 8 1 2 0 2 0 2 dyyxxdxXE 6 7 8 1 2 0 2 0 2 dyyxydxXE 6 7 6 7 2121 XXEXXCOV 36 1 8 1 6 7 6 7 2 0 2 0 dyyxyxdx 36 11 6 7 8 1 2 2 0 2 2 0 2 1 2 11 dyyxxdxXEXEXD 36 11 6 7 8 1 2 2 0 2 2 0 2 2 2 22 dyyxydxXEXEXD 11 1 36 11 36 1 21 21 DXDX XXCOV XY D X1 X2 D X1 D X2 2COV X1 X2 9 5 36 1 2 36 11 36 11 9 设X N 2 Y N 2 且X Y相互独立 试求Z1 X Y和Z2 X Y的相关系数 其中是不为零的常数 解 由于X Y相互独立 Cov Z1 Z2 E Z1 Z2 E Z1 E Z2 E X Y X Y EX EY EX EY 2EX 2 EY 2 2 EX 2 EY 2 2DX 2DY