流体力学第三次作业及答案.pdf

5 1 已知一流动的速度场为已知一流动的速度场为 2 2 2uyzvzxwxy 试求 试求 1 涡量场以及涡线方程 涡量场以及涡线方程 2 在 在1xyz 平面上横截面平面上横截面 2 0 0001dSm 的涡管的涡管 强度 强度 解 设涡量的三个分量为 xyz 则 2 11 2 11 2 11 x y z wv yz uw zx vu xy 故涡量为 ijk 涡线方程为 xyz dxdydz 即 11 11 dxdy dydz 积分得 1 2 xyC yzC 设1xyz 平面的单位法线矢量为 n l m n 10F x y zxyz 则 1 1 1 FFF xyz 2 22 1 3 3 F x l FFF xyz 同理 1 3 3 mn 1 33 3 n dSijkijk 故涡管强度为 2 0 000130 000173 ndS ms 5 3 试证明由下面速度场试证明由下面速度场 222 2 ukyvkxwckxy 所表示的运动中 涡量矢量与速度矢量的方向相同 并求出涡所表示的运动中 涡量矢量与速度矢量的方向相同 并求出涡量与速度之间的数量关系 式量与速度之间的数量关系 式 中中 k c为常数 为常数 证 由涡量定义 xyz Vijk 2 222 2 222 2 2 2 2 2 x y z wvk y yz ckxy uwk x zx ckxy vu kkk xy 即 222 222 222 2 2 2 2 2 k kyikxjckxyk ckxy k V ckxy 可见 涡量矢量 与速度矢量V同向 它们相差 222 2 2 k ckxy 倍 5 4 已知流动已知流动的速度分布为的速度分布为 uyvx 试求 试求 1 绕半径为 绕半径为R的圆周的速度环量的圆周的速度环量 及穿过该圆的涡通量 及穿过该圆的涡通量 2 绕封闭曲线 绕封闭曲线abcd 见 见 附图 一周的速度环量以及穿过该封闭曲线所围面积的涡通量 附图 一周的速度环量以及穿过该封闭曲线所围面积的涡通量 题 5 4 图 解 这是一平面流动 涡量为一标量 2 vu const xy 它与坐标系的选择无关 在极坐标系中所给速度分布为 22 cossinsincoscos sin 0 sincossincos r vuvrr vuvrr r 1 绕半径为R的圆周的速度环量 22 22 00 2 r R v rdRdR 由 Stokes 定理 涡通量为 2 2 nr R dR 2 对于封闭曲线abcd 因2const 故涡通量 2 abcd R dR d 5 5 试证明理想正压流体在有势力作用下产生运动时 如速度场试证明理想正压流体在有势力作用下产生运动时 如速度场V在某一时刻为无旋 则加在某一时刻为无旋 则加 速度场速度场 V t 在任何时刻为无旋 并由此直接推出旋涡的不生不灭定理 在任何时刻为无旋 并由此直接推出旋涡的不生不灭定理 证 Euler 方程 1 V VVFP t 其中 2 2 V VVV 如质量力有势 即FU 流体正压 即 1 P 则 Euler 方程可变形为 2 2 VV UV t 假定速度场V在某一时刻 1 tt 为无旋 则 1 2 2 t VV UV t 可见在该时刻 1 t V t 亦为无旋 因它有势 对于时刻 1 t之后不久的另一时刻 2 t 其速度V可展开为 2111 22 21 21 2 2 tttt ttVV VVtt tt 如 21 ttt 足够小 则可忽略高阶项 即 211 21 ttt V VVtt t 因 1 t V 1 t V t 皆无旋 故 2 t V亦无旋 依次类推 可证 3 t V 4 t V 为无旋 5 6 设液体中的每一质点绕一固定轴作匀速圆周运动 且其角速度与至该轴距离的设液体中的每一质点绕一固定轴作匀速圆周运动 且其角速度与至该轴距离的n次幂成次幂成 正比 试证明只有当正比 试证明只有当2n 时运动才是无旋的 时运动才是无旋的 证 设旋转角速度为 则根据题意有 n Cr 其中C为常数 不失一般性可令1C 则在极坐标系中 速度分布为 1 0 n r vvrr 则涡量 1 1 2 nnn r vvv nrrrn rrr 显然若要0 须有20n 即2n 当流场中一流体小球固定时 它将绕自身的轴线旋转 转速为 0 122 222 n nn r 5 8 在在 1 0 0 1 1 0 0 1 四点分别置有强度为四点分别置有强度为 的点涡 试求这四个点涡的的点涡 试求这四个点涡的 运动轨迹 运动轨迹 题 5 8 图 解 由于对称性 只需考虑其中任一点涡的运动即可 今以点涡A为例 其诱导速度 由B C D三个点涡引起 222 2 BA V 222 2 DA V 224 CA V 因而A点的速度的两个分量为 22 3 0 424 AACABADA uvVVV 由于对称性 显然原点即为四个点涡的重心 它是一个不动点 故点涡A将绕原点转动 转速为 33 414 A v r 故在极坐标系中 A点的运动方程为 3 1 4 AA rt 同理 3 1 42 3 1 4 33 1 42 BB CC DD rt rt rt 5 9 设有一半径为设有一半径为a 强度为 强度为 的圆环形涡线 试求此圆环在对称轴线上的诱导速度 的圆环形涡线 试求此圆环在对称轴线上的诱导速度 题 5 9 图 解 取对称轴为z轴 方向垂直向上 并取涡环中心为坐标原点 如图 在圆环涡线上取一微元涡线ds 其对z轴上M点的诱导速度为 3 4 dsdr dV r 其模为 222 44 adad dV raz dV在z轴的投影为 22 22 22 2 2