直线与方程知识点加例题.doc

直线与方程(一) 倾斜角与斜率1. 当直线l与x轴相交时，我们把x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0. 则直线l的倾斜角的范围是.2. 倾斜角不是90的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即. 如果知道直线上两点，则有斜率公式. 特别地是，当，时，直线与x轴垂直，斜率k不存在；当，时，直线与y轴垂直，斜率k=0.注意：直线的倾斜角=90时，斜率不存在，即直线与y轴平行或者重合. 当=90时，斜率k=0；当时，斜率，随着的增大，斜率k也增大；当时，斜率，随着的增大，斜率k也增大. 这样，可以求解倾斜角的范围与斜率k取值范围的一些对应问题.例1 经过，两点的直线的斜率是_，倾斜角是_例2 若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）A B C D(二) 两条直线平行与垂直的判定1. 对于两条不重合的直线 、，其斜率分别为、，有：（1）；（2）.2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x轴；.例3 已知过点和点的直线与直线平行，则的值为（ ）A B C D例4 直线过点且与直线垂直，则的方程是（ ）A B C D（三）直线的点斜式方程1. 点斜式：直线过点,且斜率为k，其方程为.2. 斜截式：直线的斜率为k，在y轴上截距为b，其方程为.3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x轴直线. 若直线过点且与x轴垂直,此时它的倾斜角为90，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为，或. 4. 注意：与是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点，后者才是整条直线.例5过点P(1,2)且与原点O距离最大的直线l的方程（ ）. A. B. C. D. 例6倾斜角是，在轴上的截距是3的直线方程是 .（四 ）直线的两点式方程1. 两点式：直线经过两点，其方程为， 2. 截距式：直线在x、y轴上的截距分别为a、b，其方程为.3. 两点式不能表示垂直x、y轴直线；截距式不能表示垂直x、y轴及过原点的直线.4. 线段中点坐标公式.例7（04年全国卷.文8）已知点A（1，2）、B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（ ）. A B C D例8过点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程是 .五 直线的一般式方程1. 一般式（general form）：，注意A、B不同时为0. 直线一般式方程化为斜截式方程，表示斜率为，y轴上截距为的直线.2 与直线平行的直线，可设所求方程为；与直线垂直的直线，可设所求方程为. 过点的直线可写为.经过点，且平行于直线l的直线方程是；经过点，且垂直于直线l的直线方程是.3. 已知直线的方程分别是：（不同时为0），（不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：（1）； （2）；（3）与重合； （4）与相交.如果时，则；与重合；与相交. 例9根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：（1）斜率是，经过点A（8，2）； （2）经过点B(4，2)，平行于轴；（3）在轴和轴上的截距分别是,3； （4）经过两点（3，2）、（5，4）.例10已知直线的方程分别是：（不同时为0），（不同时为0），且. 求证.六 两条直线的交点坐标1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组. 若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.2. 方程为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是与的交点.例11直线：2312与：2的交点坐标为 . 例12（07年上海卷.理2）若直线与直线平行，则 七 两点间的距离1. 平面内两点，则两点间的距离为：.特别地，当所在直线与x轴平行时，；当所在直线与y轴平行时，；当在直线上时，.2. 坐标法解决问题的基本步骤是：（1）建立坐标系，用坐标表示有关量；（2）进行有关代数运算；（3）把代数运算的结果“翻译”成几何关系.例13已知点，判断的类型例14已知，点为直线上的动点求的最小值，及取最小值时点的坐标八 点到直线的距离及两平行线距离1. 点到直线的距离公式为.2. 利用点到直线的距离公式