移动机器人数学模型的近似线性化.pdf

收稿日期 2004 02 27 基金项目 清华大学智能技术与系统国家重点实验室资助 0101 中国科学院沈阳自动化研究所机器人学重点实验室资助 RL200110 作者简介 姜勇 1965 男 吉林吉林人 博士生 信息科学与工程 文章编号 1000 1646 2005 02 0200 05 移动机器人数学模型的近似线性化 姜 勇1 孙茂相1 董再励2 1 1 沈阳工业大学 信息科学与工程学院 沈阳110023 21 中国科学院沈阳自动化研究所 机器人学重点实验室 沈阳110016 摘 要 针对机器人控制领域中一类多输入多输出 MIMO 仿射非线性系统 提出了一种基于平 衡流形的近似线性化状态反馈镇定算法 并用此算法解决了一类完整约束轮式移动机器人 WMR 的镇定问题 仿真分析表明 此方法不仅能够实现系统的镇定 而且降低了因平衡工作点 变动给系统稳定性带来的影响 同时也大大地简化了对非线性系统的综合设计过程 具有良好的 控制效果和实用性 关 键 词 近似线性化 平衡流形 状态反馈镇定 李括号 完整约束 移动机器人 中图分类号 TP 242 文献标识码 A Study on approximate linearization and stabilization via state feedback for WMR math model J IANG Yong1 SUN Mao2xiang1 DONG Zai2li2 1 1School of Information Science and Engineering Shenyang University of Technology Shenyang 110023 China 21Key Robotics Lab Shenyang Institute of Automation Chinese Academy of Sciences Shenyang 110016 China Abstract Aiming at a MIMO nonlinear system within the domain of robust controlling an approximate linearizing stability via state feedback algorithm based on balanced flow pattern is proposed to solve the stability problem for a mobile robot with holonomic constraints Simulation analyses show that this algorithm can not only realize the system stability but also decrease the influence caused by the fluctuation with balanced point In addition it can simplify the synthesis design process for a nonlinear system The simulation results demonstrate the efficiency and the practicability of the method Key words approximate linearization balanced flow pattern stabilization via state feedback Li brackets holonomic constraints mobile robot 相对于线性系统而言 由于非线性系统存在 平衡点不唯一 动态特性复杂和数学工具抽象繁 琐等诸多不利因素 使得直接针对此类系统所进 行的分析与综合异常困难 同时 由于精确线性 化方法只有在满足向量场非奇异和向量场集合 对合这两个条件的前提下才有效 因此 对于近似 线性化方法的研究在控制理论界一直倍受关注 其 中基于T aylor级数展开的线性化方法和基于Fouri2 er变换的描述函数法就是两种较原始 较常见的 方法 但它们的适用范围很有限 前者仅适用于 系统在所研究的区域内连续且没有多值关系或 者突变的情况 而后者也只是特别适用于只包含 典型非线性环节的控制系统 远远不能满足工 程设计的需要 近年来 国内外众多学者以微分 几何为主要工具 从不同角度出发 先后提出了诸 如伪线性方法 1 2 一致系统逼近法 3 扩展线性 化方法 4 同伦算子法 5 等多种近似线性化方法 为把线性系统的一些有效分析综合手段应用于非线 第27卷 第2期 2 0 0 5年4月 沈 阳 工 业 大 学 学 报 Journal of Shenyang University of Technology Vol127No12 Apr 2 0 0 5 性系统提供了很好的理论依据和解决方案 8 10 本文以机器人控制领域中一类多输入多输 出仿射非线性系统为研究对象 提出了一种基于 平衡流形的近似线性化状态反馈镇定算法 并用 它解决了一类完整约束轮式移动机器人的镇定 问题 最后通过仿真分析 说明了这种基于平衡 流形的近似算法具有良好的控制效果和稳定性 1 基于平衡流形的近似线性化及状 态反馈镇定 111 问题描述 考虑如下一类多输入多输出仿射非线性系 统M x f x m j 1 gj x uj y Cx 其中 x x1 xk xk 1 xn R n 为状态 向量 u Rm为控制向量 y Rm为输出向量 f x 与gj x 为n维向量 C为m n维常数矩 阵 fi x fi x k 1 xn gji x aji bjisin i x 1 xk cjicos i x 1 xk aij bji cji均是定常实数 i 1 n j 1 m 假设系统M不满足状态反馈精确线性化的条 件 本文的任务是实现系统M的状态反馈镇定 112 解决方案 概括地说 借助于微分几何理论对非线性系 统的近似线性化综合问题的研究 其基本思想大 体上有两种 一种是在平衡流形上通过采用适当 的近似反馈控制律来寻求使系统达到某一性能 指标的方法 另一种是在平衡点邻域内通过忽略 系统内的部分影响来寻求使系统实现某一性能 指标的方法 综合上述思想 提出解决方案如下 当对一类无法实现精确线性化的仿射非线 性系统M x F x u 进行状态反馈镇定时 如果能够在它的平衡工作区域内对某些状态或 输入加以限定 使其转化为满足非奇异和对合条 件的总体结构与原系统近似的仿射非线性系统 M x F x u 同时满足条件 x 0 u0 x 0 u0 其中 和 分别表示系统M和 M的平衡流形 那么在误差允许范围内 可以直接对系统 M的线 性化模型进行状态反馈镇定 最后将得到的控制 规律应用于系统M上 113 算法 下面给出基于平衡流形的近似线性化状态 反馈镇定的具体算法 第一步 确定非线性系统M的平衡流形 x u f x m j 1 gj x uj 0 第二步 基于平衡流形 对非线性系统M 的某些状态x1 xk加以限定 从而获得一个满 足非奇异和对合条件的总体结构与系统近似的 仿射非线性系统 M x f x m j 1 gj x u y Cx 同时满足 x 0 u0 x 0 u0 其中 表示近似系统 M的平衡流形 x u f x m j 1 gj x uj 0 在构造近似系统 M时 必须遵循以下三条原 则 1 应该选择那些不改变原非线性系统M中 的函数向量 f x 结构的状态来加以限定 并且 数量越少越好 2 为使该算法有效 应该保证在平衡流形 上满足 g x g x gx x gx x 3 应该充分合理地利用原非线性系统M中 函数向量的各个元的有界性 周期性等性质 第三步 确定N个指标数n1 n2 nN 其中 m n1 n2 nN N i 1 ni n 计算各阶李括号 adf g1 adf gn2 ad2f g1 ad2f gn3 adN 1 f g1 adN 1 f gnN 通过选取n个线性独立向量场 Di i 1 n 和确立映射关系 w 1 wn D1 w1 Dn wn x 0 最终求出近似系统 M的状态反馈Brunovsky 标准型 6 z1 z2 zn m zn m 1 102第2期姜 勇等 移动机器人数学模型的近似线性化 zn m 1 v1 zn vm 并获得相应的坐标变换及状态反馈规律 z T x u b 1 x a x b 1 x v 第四步 对上一步获得的Brunovsky标准型 进行状态反馈镇定 并将控制规律 v Kz w 经过逆变换 z x v u 直接作用于原仿射非线性系统M 从而实现对非 线性系统M的近似线性化状态反馈镇定 114 稳定性分析 此算法的关键在于寻找合适的近似系统 M 使得存在相应的坐标变换 T x 和状态反馈以实 现 M的精确线性化 因为构造原则 1 保证了系 统M和 M中的 f x 是不变的 并且构造原则 2 保证了 g x g x gx x gx x 因此 对于任意平衡工作点x 系统 M 都正切于系统M 3 所以在平衡流形 上系统M 和 M对应的一阶近似系统处处相同 所以一定存 在针对 M的精确线性化系统的镇定控制器 将其 作用于系统M上从而实现系统M稳定 2 在移动机器人上的应用 考虑一类具有完整约束的轮式移动机器人 的仿射非线性数学模型 7 x f x g1 x u1 g2 x u2 g3 x u3 y Cx 1 其中 状态向量x x1 x2 x3 x4 x5 x6 T 输 入向量u u1 u2 u3 T y y1 y2 y3 T为输 出向量 f x g1 x g2 x g3 x C分别为 f x x4 x5 x6 x4 x5x6 x4x6 x5 2x6 3 C 100000 010000 001000 g1 x 0 0 0 cosx3 3 sinx3 sinx3 3 cosx3 2 g2 x 0 0 0 2 cosx3 2 sinx3 2 g3 x 0 0 0 cosx3 3 sinx3 sinx3 3 cosx3 2 显然f x g1 x g2 x g3 x 中的各个分量 都是欧氏空间中的光滑映射 非线性系统 1 的平衡流形记为 x u f x g1 x u1 g2 x u2 g3 x u3 0 根据多输入多输出仿射非线性系统状态反 馈精确线性化的充要条件 设李括号 g4 x adfg1 x g5 x adfg2 x 因为 rank g1 x g5 x 5 rank g1 x g5 x g4 x g5 x 6 所以向量场集合不满足对合性 故系统 1 在其 平衡流形上无法进行状态反馈精确线性化 考虑如下仿射非线性系统 x f x g1u1 g2u2 g3u3 y Cx 2 其中 f x 和C与系统 1 相同 仿射非线性系 统 2 是将系统 1 的状态分量x3在其平衡流形 上限定为2 的整数倍后获得的 把系统 2 的 平衡流形记为 则对于 x 0 u0 一定存 在 x 0 u0 成立 可以证明系统 2 在 上满足向量场非奇异 和向量场集合对合这两个条件 经过计算 最终得到变换关系及控制律如下 z1 015x3 z2 012x1 012x2 013x3 014 015 202 沈 阳 工 业 大 学 学 报第27卷 z3 011 015 015 z4 012x4 015 013x5 015 012x6 015 z5 012 0114 015 x 4 012 0124 015 x 5 013 0114 015 x 6 z6 015x6 u b 1 x a x b 1 x v b x 111 0111017 0184 015 011 015 011111 015 a x 013x6 0101 115 5x4 8x5 5x6 x 4 01001 115 8 x4 14x5 8x6 x 5 01001 115 5 x4 8x5 5x6 x 6 012 0114 015 x 5x6 x4 012 0124 015 x4x6 x5 0167x6 013 0114 015 0101 115 7x4 10 x5 7x6 x 4 01001 115 12 x4 18x5 12x6 x 5 0101 115 7 x4 10 x5 7x6 x 6 012 015 x 5x6 x4 013 015 x4x6 x5 0113 015 x6 其中 017x1 112x2 017x3 则仿射非线性系统 2 的Brunovsky标准型 即文 献 7 的近似线性化模型为 z 010000 001000 000100 000000 000000 000000 z 000 000 000 100 010 001 v y 100000 010000 001000 z 3 其中 z z1 z2 z3 z4 z5 z6 T v v1 v2 v3 T y y1 y2 y3 T 对于线性系统 3 取状态反馈增益矩阵 K 7094611400 000020 000001 则相应的线性状态反馈镇定控制律为 v Kz w 4 3 仿真分析 把以Brunovsky标准型 3 为镇定对象得到 的反馈控制律 4 经过逆变换 z x v u 直接作用于原仿射非线性系统 1 上 并且假设 初始状态xi 0 0 i 1 6 分别对镇定控 制前后的仿射非线性系统 1 施加等效单位阶跃 激励 uj t 1 t 0 0 t 0 j 1 3 得到仿真结果如图1 图2所示 图1 系统 1 未经线性化和状态反馈镇定的阶跃 响应结果 Fig 1 Stepresponse ofsystem 1 without linearizationandstabilizationviastate feedback 图2 系统 1 基于平衡流形的近似线性化状态反 馈镇定的阶跃响应结果 Fig 2 Step response of system 1 with approximate linearization and stabilization via state feedback based on balanced flow pattern 仿真结果表明 基于平衡流形的近似线性化 状态反馈镇定方法不仅能够使此类完整约束移 302第2期姜 勇等 移动机器人数学模型的近似线性化 动机器人的仿射非线性模型实现较理想的镇定 效果 而且与传统的基于单平衡点的Taylor级数 展开法相比较 由于新方法是以平衡流形为研究 范围的 因此减小了系统受平衡工作点移动的影 响 使其具有良好的控制效果和稳定性 同时 这 种算法借助了系统逼近的思想 与伪线性方法等 相比 允许工作点的较快变动 另外 它也避免了 使用抽象繁琐的数学工具 大大地简化了对系统 的综合设计过程 4 结 论 本文针对无法实现状态反馈精确线性化的 多输入多输出仿射非线性系统 提出了一种基于 平衡流形的近似线性化状态反馈镇定算法 并用 此算法解决了一类完整约束轮式移动机器人的 镇定问题 类似的 这种基于平衡流形的解决方 案也可以用来处理仿射非线性系统的其它综合 问题 该算法结构简单 实用性强 不足之处是如 果近似系统构造不合适 则会影响最终的控制效 果 参考文献 1 Champetier C Mouyon P Reboulet C Pseudolin2 earization of multi2input nonlinear systems A Proc 23rd IEEE Conf on Decision and Control C Las Vegas USA 1985 593 598 2 Bortoff S A Spong M Pseudolinearization of the acrobot using spline functions A Proc 31st IEEE Conf on Decision and Control C Tucson Arizona USA 1992 96 97 3 Hauser J Nonlinear control via uniform system ap2 proximation J Sys Contr Lett 1991 17 145 154 4 Baumann W T Rugh W J Feedback control of nonlinear systems by extended linearization J IEEE Trans A C 1986 31 40 46 5 Hunt L R Turi A new algorithm for constructing approximate 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