经验模态分解中端点效应的抑制.pdf

第 32 卷 第 10期 2010 年 5 月 武 汉 理 工 大 学 学 报 JOURNAL OF WUHAN UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Vol 32 No 10 May 2010 DOI 10 3963 j issn 1671 4431 2010 10 035 经验模态分解中端点效应的抑制 余 磊 刘 泉 武汉理工大学信息工程学院 武汉 430070 摘 要 Hilbert Huang 变换是通过对信号的经验模态分解 使非平稳信号平稳化 从而使信号 Hilbert 变换后得到的瞬 时频率具有物理意义 在应用经验模态分解方法时 通过 3 次样条插值算法给出的上 下包络在数据信号的两端不可避 免地会出现发散现象 会严重影响经验模态分解的质量 使分解出的本征模态函数没有实际的物理意义 镜像闭合端 点延拓通过镜像法把镜内信号映射成一个周期性的环行信号 不存在端点 从根本上避免了经验模态分解和 Hilbert 变 换的端点效应 从理论上说 镜像闭合端点延拓是解决经验模态分解端点的一个好方法 关键词 Hilbert Huang 变换 经验模态分解 镜像闭合端点延拓 端点效应 中图分类号 TN 911 6文献标识码 A文章编号 1671 4431 2010 10 0151 04 Restrict End Effect of Empirical Mode Decomposition Y U Lei LIU Quan School of Information Engineering Wuhan University of Technology Wuhan 430070 China Abstract Through the Empirical Mode Decomposition Hilbert Huang Transform makes the non stationary signals to be stationary so that the instantaneous frequency that is gotten from the signal after Hilbert transformation has a physical mean ing Using the Empirical Mode Decomposition there is bound to be divergent phenomena at the two ends of the upper and low er envelope signal in the data through the three interpolation algorithm It will affect the quality of the Empirical Mode Decom position badly so that the decomposed Intrinsic Mode Function has no actual physical meaning Mirror closed extension map the signal into a periodic signal of the ring through the mirror image method and there is no endpoint and fundamentally avoids the end effects of the Empirical Mode Decomposition and Hilbert transform Theoretically speaking it s a good way to resolve the Empirical Mode Decomposition end point Key words Hilbert Huang transform empirical mode decomposition mirror closed extension end effects 收稿日期 2009 10 11 基金项目 国家自然科学基金 50775167 作者简介 余 磊 1984 男 硕士生 E mail robinyulei 163 com Hilbert Huang 变换 1 简称 HHT 是通过对信号的经验模态分解 Empirical Mode Decomposition method 简称 EMD 使非平稳信号 2 平稳化 从而使信号Hilbert 变换后得到的瞬时频率具有物理意义 每 个 EMD 分解出的本征模态函数 Intrinsic Mode Function IMF 都是单组分的 相当于序列的每一点只有一 个瞬时频率 无其他频率成分的叠加 瞬时频率是通过对 IMF 进行 Hilbert 变换得到 同时得到振幅 最后 得到振幅 频率 时间的分布 准确反映系统的固有特性 然而 Hilbert Huang 变换在曲线拟合 端点效应 模 态混叠 筛选终止条件等问题上存在着很多问题 利用镜像闭合延拓法来抑制端点效应问题 并通过边际谱 来分析抑制效果 从而更直观的表现出端点效应抑制的有效性 1 Hilbert Huang 变换 Hilbert Huang 变换是一种两步骤信号处理方法 具体步骤 首先用经验模态分解方法 EMD 获得有限 数目的固有模态函数 IMF 然后再利用 Hilbert 变换和瞬时频率方法获得信号的时频谱 Hilbert 谱 经验模态分解方法目的是通过非平稳的信号的分解获得一系列表征信号特征时间尺度的固有模态函 数 使得各个分量 IMF 是单分量的幅值或频率调制信号 每个 IMF 满足以下 2 个条件 1 对于一列数据 极值点和过 0点数目必须相等或至多相差一点 2 在任意点 由局部极大点构成的包络线和局部极小点构 成的包络线的平均值为 0 即信号关于时间轴局部对称 任一信号 x t 进行 EMD 分解最终都可以分解为 x t n j 1 cj t rn t 其中 cj t 代表各 IMF 分量 rn t 称为残余项 代表信号的平均趋势 而各个 IMF 分量则分别代表了信号 从高到低不同频率段的成分 每一频率段所包含的频率成分是不同的 同一个 IMF 分量中 不同时刻处的瞬 时频率也是不同的 这种不同频率成分的局部时间分布是随信号本身的变化而变化的 对每一个 IMF ci t 作 Hilbert 变换得 c t 1 P c t d 1 其中式 1 中 P 为柯西主值 因此 c t 的解析信号为 z t c t i c t a t ei t 其中a t c2 t c2 t 1 2 t arctan c t c t 得到的瞬时频率为 d t dt 于是 原始数据最终可表示为 H t Re n i 1 aiej i t 2 式 2 中 Re 表示取实部 i和ai为常数 因此 HHT 为 Fourier 变换的一般化 而瞬时频率可视为 Fourier 频率的一般化 对 H r 进行积分 就可得到边际谱 3 h H t dt 其中 h 表明单位频率内的幅度分布 代表着整个数据段幅度概率分布的累加 2 端点效应的抑制 2 1 端点效应简介 在应用 EMD方法时 因为在每一次的筛选过程中 要根据信号的上 下包络来计算信号的局部平均值 上 下包络是由信号的局部极大值和极小值通过 3 次样条插值算法 4 给出 由于信号两端不可能同时处于 极大值和极小值 因此上 下包络在数据信号的两端不可避免地会出现发散现象 仿真信号为 2 个正弦信号相加 一个信号的频率为 10 Hz 另一个信号频率为 100 Hz 采样率为 44 1 kHz 采样点数为 4 410 之所以 44 1 kHz采样率来进行采样的 是因为采样信号刚好是原信号的一个 周期 这样做并不影响数据的准确性 而且从细节可以更加明显呈现出端点效应的问题 利用三次样条插值 求得曲线上 下包络线如图 1 所示 由图 1 可见 在端点附近 信号的上下包络出现严重的失真 出现下包络越过上包络的情况 如果不对 端部进行处理的话 就会使分解出的 IMF 在端点附近就会产生失真 这种现象就称为端点飞翼 5 由于低 152 武 汉 理 工 大 学 学 报 2010 年 5 月 频分量相对的 IMF 时间尺度大 极值间的距离大 端点效应还会传播到信号内部 尤其当原始信号数据集较 短时 会严重影响 EMD 分解的质量 使分解出的 IMF 分量没有实际的物理意义 2 2 基于镜像闭合端点延拓抑制端点效应 根据三次样条插值的特点 必须在极大值和极小值数据集两端增加极大值和极小值点 但是 由于原 始信号的两端点可能不是极值点 必须进行合理的预测 为此 基本的指导思想就是在每次平滑过程中必 须正确地确定添加极值点的位置和幅值 确定的方法是根据原始信号的极大值和极小值数据集的规律 预 测附加的极值点 镜像闭合端点延拓 6 就是在信号的左右两侧具有对称性的极值点上各放一面镜子 这样就可以得到长 度为 2 倍镜内信号长度的周期性信号 若取一周期信号 将之首尾相接 就可形成环形的闭合曲线 经镜像 延拓后的信号不含端点 具有周期性 对其一周期信号进行处理 最后取出原信号对应的数据点作为输出 镜像闭合端点延拓的优点在于 由于闭合信号的无端点性 只需对端点进行一次延拓处理 从理论上说 是从 本质上解决 EMD端点的一个好方法 对图 1 中的信号进行分析 曲线的上 下包络线依然利用三次样条插值求的 但是其中用镜像闭合端点 延拓来抑制端点效应 得到的结果如图 2 所示 通过对比图 1 与图 2 可以看出 图 2 的包络线更加平滑 在端点附近 信号的上下包络并未出现图 1 那 样严重的失真 也未出现下包络越过上包络的情况 说明镜像闭合端点延拓抑制端点效应 从而避免了端点 飞翼现象 3 仿真信号的延拓及分析 在EMD分解的 筛 7 的过程中 由于端点处极值的不确定性 每一次样条插值都有拟合误差 这样 每 一次的拟合会产生误差 误差不停积累 分解出来的第 1 个本征模函数端点处就会有较大的误差 而第 2 个 本征模函数的分解是建立在原数据减去第 1 个本征模函数的残余项的基础上进行的 这样 由于第 1 个本征 模函数的误差 使残余项也产生误差 导致分解的第 2 个本征模函数产生更大的误差 依此类推 随着分解 的进行 误差就会由端点处向内逐渐传播 最后在严重的情况下会使分解的数据失去意义 并且可能会产生 与数据无关的虚假分量 8 为了便于比较 继续采用图 1 中的仿真信号进行 Hilbert Huang 变换分析 不同的只是采样率为 4 41 kHz 图 3 是该信号未经延拓的 EMD分解图 图 4 是该信号进行镜像闭合延拓后的 EMD 分解图 图 5 是该信号未经延拓的边际谱图 图 6 是该信号进行镜像闭合延拓后的边际谱图 因为仿真信号是 2 个正弦信号的叠加 该信号理想的边际谱应该只是分别在 10 Hz 和 100 Hz 处出现 2 个冲激 对比图 5 和图 6 可以明显看出 图 5 的边际谱在低频处存在很多虚假分量 而图 6 的边际谱效果要 好很多 这是因为端点效应使信号在 EMD 分解过程中产生了虚假分量 导致了边际谱出现很大的误差 也 从哦试试另一个方面说明了镜像闭合延拓有效地抑制了端点效应 153 第 32 卷 第 10 期 余 磊 刘 泉 经验模态分解中端点效应的抑制 4 结 语 在 EMD分解过程中 端点效应对其影响是非常严重的 文中采用了镜像闭合延拓法来抑制端点效应 并通过对比端点效应抑制前后的效果图说明了该方法的有效性 最后通过对比端点效应抑制前后的 EMD 分量和边际谱 进一步证实了镜像闭合延拓法在 EMD 分解过程中去掉了虚假分量 保持原始信号的真实 性 由此可以看出 在 EMD 分解过程中 对端点效应的抑制是必不可少的 参考文献 1 Huang N E The Empirical Mode Decomposition and the Hilbert Spectrum for Nonlinear and Non stationary Time Series Analysis J Proceeding of Royal Society London 1998 454 903 995 2 Gloersen P Huang N E Comparison of Interannual Intrinsic Modes in Hemispheric Sea Ice Covers and Other Geophysical Parameters J IEEE Trans on Geoscience and Remote Sensing 2003 41 5 1 14 3 Ye Yuan Mei Wenbo Wu Siliang et al Performance Assessment of HHT Marginal Spectrum Based on Resolution Measure Image and Signal Processing C CISP 08 Sanya s n 2008 291 294 4 许小勇 钟太勇 三次样条插值函数的构造与 Matlab 实现 J 自动测量与控制 2006 25 1