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高成工程數學教室 九十五年度作業 單元 一階 ODE p 1 習題 1 Solve yx xe dx dy with the boundary condition 2ln y at 0 x 20 94台大電機丁 土木 解 3 xxy exee 高成工程數學教室 九十五年度作業 單元 一階 ODE p 2 習題2 解初值問題 initial value problem 3 1 ln yyx dx dy x 10 90北科高分子 解 2 ln 2 1 3 x ey 高成工程數學教室 九十五年度作業 單元 一階 ODE p 3 習題3 Solve the initial value problem ty eyy 2 2 with 0 2ln ty 10 92中山通訊乙 解 4 3 2 2 ty ee 高成工程數學教室 九十五年度作業 單元 一階ODE p 4 習題4 Find the solution of an ordinary differential equation x x kx dt dx 1 and 0 t 0 xx constx 15 92台科大化工 解 kt e x xx x xx 0 0 高成工程數學教室 九十五年度作業 單元 一階ODE p 5 習題5 Solve the following differential equations 2 2ln ln 22 xy y y dx dy x ey2 1 7 91北科光電 解 3 2 ln 3 1 3 1 ln 2 1 x y x 高成工程數學教室 九十五年度作業 單元 一階ODE p 6 習題6 Solve the initial value problem 0 cos sin 2 22 yyxyy 2 2 y 10 92中央電機甲乙丙 解 16 sin 24 yx 高成工程數學教室 九十五年度作業 單元 一階ODE p 7 習題7 Find the general solution 1exp 2 2 dt dx dt xd 7 93中央光電 解 211 ln ctctctx 高成工程數學教室 九十五年度作業 單元 一階ODE p 8 習題8 12 If a wet sheet in a dryer loses its moisture at a rate proportional to its moisture content and if it loses half of its moisture during the first 10 minutes when will it have lost 90 of its moisture 93中山物理 解 10ln 2ln 10 10ln 1 k t 為loss 90 水份所需時間 高成工程數學教室 九十五年度作業 單元 一階ODE p 9 習題9 A radioactive substance with decay constant k is produced at a constant rate of a units of mass per unit time 1 Assuming that 1 0 QQ find the mass tQ of the substance present at time t 10 2 Find limtQ t 5 94台大環工 解 1 kt eQtQ 1 2 0 lim tQ t 高成工程數學教室 九十五年度作業 單元 一階ODE p 10 習題10 20 一水槽裝有含160公克鹽量之水溶液共1000立方米 假設每單位時 間有40立方米的海水流入槽中 並均勻混合 海水中每立方米含鹽量為 cos1 t 公 克 而槽中水溶液的流出率為每單位時間40立方米 試問槽中水溶液在任意t時間 的含鹽量 ty為何 93成大機械甲乙丙丁戊 解 t cettty 04 0 2 sincos04 0 04 0 1 40 1000 2 04 0 1 4004 0 840 c 高成工程數學教室 九十五年度作業 單元 一階ODE p 11 挑戰題 習題11 Two different chemical solutions are pumped into a container of volume 100 each at the rate of 5 sec and thoroughly mixed solution is pumped out of the container at the rate of 10 sec The inflow concentration of Chemical 1 is 1 q kg and the inflow concentration of Chemical 2 is 2 q kg Denote the mass of Chemical 1 in the container by 1 x kg and the mass of Chemical 2 by 2 x kg A catalyst in the container transforms Chemical 1 into Chemical 2 at the rate of 0 4x kg sec a Formulate the 22 linear system of first order ODEs that 1 x and 2 x satisfy b Without finding the general solution determine the steady state solution for 1 x and 2 x 5 94成大機械甲乙丙丁戊 解 a 1 2 2 2 1 1 1 1 4 0 100 105 4 0 100 105 x x q dt dx x x q dt dx b 11 10 limqtx t 122 4050 limqqtx t 高成工程數學教室 九十五年度作業 單元 一階ODE p 12 挑戰題 習題12 Tank A contains 50 liters of aqueous solution in which 25 kg of salt is dissolved and tank B contains 50 liters of pure water initially Pure water is then pumped into tank A at a rate 3 liters min and the liquid in tank B is pumped out from it at a rate 3 liters min Also the liquid in tank B is pumped into tank A at a rate 1 liter min and the liquid in tank A is pumped into tank B at a rate 4 liters min a Derive the differential equations that describe the amount of salt in tank A XA t and that in tank B XB t where t is time 10 b Solve the equations derived in part a 10 90台大化工 解 a BA B BA A XX dt dX XX dt dX 50 4 50 4 50 1 50 4 0 0 0 0 25 0 2 1 50 25 0 BB AA XN XN b 25 2 25 25 3 25 1 25 3 25 1 tt tt B A ee ee tX tX X 高成工程數學教室 九十五年度作業 單元 一階ODE p 13 挑戰題 習題13 A mass m is projected vertically upward from the ground with initial velocity 0 v Find the maximum height reached assuming that the resistance of the air is proportional to the velocity i e Kv where K is a constant 20 93台大電機 醫工 94台大工科 解 最高高度 mg Kv K gm K mv 0 2 2 0 1ln 高成工程數學教室 九十五年度作業 單元 一階ODE p 14 習題14 Solve the equation 0 3 dyyxdxyx with 1 0 y ln 1 yx 10 93成大航太甲乙丙丁戊 解 yx x yxyx ln 2 1 ln 1 高成工程數學教室 九十五年度作業 單元 一階ODE p 15 習題15 1 Solve the differential equation 01 222 yxxyyx 20 94北科自動甲 2 Solve the initial value problem 2 122 yxy dx dy x 0 1 y 15 94北科冷凍空調 解 1 x xc y lnsin 2 sin ln nxxy 高成工程數學教室 九十五年度作業 單元 一階ODE p 16 習題16 5 0 642 352 dyyxdxyx 92北科大冷凍 解 cxyxy 2 32 34 高成工程數學教室 九十五年度作業 單元 一階ODE p 17 習題17 Solve 0 542 32 yx yx y 15 高科大環工 解 cxyxyx 4 11 2ln 8 1 2 2 1 高成工程數學教室 九十五年度作業 單元 一階ODE p 18 挑戰題 習題18 Solve 23 2 y yax dx dy for xy with a being a real number Note that different values of a may lead to different solutions so that your solution must include ALL possibilities 18 91台大土木 解 高成工程數學教室 九十五年度作業 單元 一階ODE p 19 習題19 Find the general solution a 0cos sin 123 xyyxyy 7 b 0 223 xyyyxy 7 93中央光電 解 a 通解為cx yy sin 1 2 1 2 b 通解為cyyx 422 4 1 2 1 高成工程數學教室 九十五年度作業 單元 一階ODE p 20 習題20 Solve the following differential equation dxxxyyydyxyx lnln ln ln 10 94台大電機甲 乙 光電 電信甲 電子乙 解 lnlncx x y x y x y 高成工程數學教室 九十五年度作業 單元 一階ODE p 21 習題21 Solve the differential equation yxx yyx y 2cos2 22sin3 2 8 90清大材料 解 通解為cyxyxyx 23 2sin 高成工程數學教室 九十五年度作業 單元 一階ODE p 22 習題22 Solve the differential equation yey ye dx dy x x cos2 sin 2 3 0 y 20 91台科高分子 解 2sincossin2 yyyyex通解為 高成工程數學教室 九十五年度作業 單元 一階ODE p 23 習題23 For what value of k is the function k xy an integration factor for the differential equation 0 ln y dx dy yxyxy and find the general solution 17 台科高分子 解 cxyy ln 高成工程數學教室 九十五年度作業 單元 一階ODE p 24 習題24 20 0 1 1 dx dy xxyyxy 93北科大自動甲 解 ce y x xy 1 高成工程數學教室 九十五年度作業 單元 一階ODE p 25 習題25 The Bernoulli equation is in the form of yxRyxQyxP in which is a constant Please find the integrating factor yxu 10 Hint try yxfyxu 92北科大光電 解 ye xP c yxu dx xP xQ 1 為其積分因子 高成工程數學教室 九十五年度作業 單元 一階ODE p 26 習題26 2 63 2 xdyydxxxdyydxy 已知 ba yx為上式之積分因子 求a b解之 8 北科高分子 解 12 yxI 高成工程數學教室 九十五年度作業 單元 一階ODE p 27 習題27 Consider the one parameter family of curves cyxyxyx 442 22 where c is the parameter Find the equation for the orthogonal trajectories of this family and show that they are hyperbolas 7 87交大電子甲 解 正交軌跡cxyxy 22 2 2 2 ctscxyxy 2 21 2 21 雙曲線 高成工程數學教室 九十五年度作業 單元 一階ODE p 28 習題28 10 A first order system with a sinusoidal input can be generally written as the following equation tAyy sin where is the system time constant is the frequency and A is the input amplitude a Find the general solution of this equation 5 b If 1 1 A 1 rad s 2 0 y Please find it s solution and draw the curve of ty 5 93中正光電整合 解 a t cett A y cossin 1 1 2 2 b t ettty 2 3 cos sin 2 1 高成工程數學教室 九十五年度作業 單元 一階ODE p 29 習題29 Find the general solution of ln 2 2 xx yx dx dy 15 94台大機械 解 x c x x y lnln 2 高成工程數學教室 九十五年度作業 單元 一階ODE p 30 挑戰題 習題30 Find in the form of an integral the solution of the differential equation tfy dt dy for a general function tf Find the specific solutions for a tHtf where 1 tH for 0 t and 0 for 0 t b ttf c 1 tHetf t with For case c what happens if 0 10 94台大物理 天文 解 a y ttt cetHee 1 b y tt cetHe 1 c y t t t cetHee 1 1 高成工程數學教室 九十五年度作業 單元 一階ODE p 31 習題31 10 Find the general solution of the differential equation xyxyy2 sin cos 93中央電機甲乙丙 解 2 2 1 2sin x ceyz 高成工程數學教室 九十五年度作業 單元 一階ODE p 32 習題32 求下列微分方程式之通解 xy y sin2 1 93台大生物機電甲乙 解 y ceyyx cossin 高成工程數學教室 九十五年度作業 單元 一階ODE p 33 挑戰題 習題33 Consider the differential equation 0ln24 2 yyyx dx dy x a Show that the substitution yvln transforms the differential equation into a linear differential equation 6 b Find xy 6 c Find an integrating factor yx so that the multiplication of the differential equation by yx yields an exact differential equation 6 94暨南通訊 解 a 2 42xv dx dv x b 2 2 x c x v eey c y x yx 高成工程數學教室 九十五年度作業 單元 一階ODE p 34 挑戰題 習題34設 0 cos 2 txdxetg x 其中t為實變數 a 試證 tg是微分方程0 2 y t dt dy 之一個解 8 b 由 a 之解求出 tg 提示 2 0 2 dxe x 8 92中山光電 91北科高分子乙 解 b 4 2 2 t etg 高成工程數學教室 九十五年度作業 單元 一階ODE p 35 挑戰題 習題35 20 0 yxp dx dy 1 0 y 其中 x x xp 11 102 93北科大自動甲 解 x 1 Let 1 xzyxy to derive the general solution of Eq 1 b 10 Under the variable transformation u xu y 0 x 2 can you derive the corresponding second order differential for xu What is the particular solution 1 xu