高等流体力学 ch9 层流边界层流动.pdf

1 第九章层流边界层流动第九章层流边界层流动 2 当雷诺数不太小时 固体壁面上形成很薄的边界层 边界层边界层 外部流动 粘性作用可以忽略 涡量为零 边界层 强烈的粘性作用 壁面产生涡量 尾流区 粘性影响不重要 涡量不为零 边界层分离 前驻点 边界层 粘性影响 边界层分离和尾涡区 涡的产生 扩散和对流 3 9 1 边界层厚度边界层厚度 边界层厚度边界层厚度 y 0 99 u U 0 99U U 4 位移厚度位移厚度 从流场中移去的体积流量等于由于边界层存在引起的流量减小 0 0 1 UUu dy u dy U 由于边界层影响流量减少量 边界层内流体以 U 运动时的流量 边界层内流体的实际流量 0 udy 0 Udy 0 Uu dy a a b b yuu 0 Uu 0 Uu99 0 U U 5 动量厚度动量厚度 引起的动量亏损等于由于边界层存在引起的动量减小 2 0 0 1 Uu Uu dy uu dy UU 通常 由于边界层影响动量减少量 0 u Uu dy 边界层内流体以 U 运动时的动量 边界层内流体的实际动量 0 Uudy 0 uudy 6 0 000 0 d ddd 1d Uu y uu yyy UU u y U 22 00 2 000 dd dd1d UUu yuy uuuu yyy UUUU 位移厚度与动量厚度位移厚度与动量厚度 U x L 边界层外沿 流线 由于存在边界层 边界层外流线沿y方向偏移 7 1 x 边界层前缘区域除外 在边界层内粘性力和惯性力具有相同量级 两个基本假设两个基本假设 11 uU xxy vvuU vU yxxx 9 2 边界层方程9 2 边界层方程 本节推导适用于平板边界层或曲面边界层 远小于曲面曲率半径 y U x 8 定常平面流动的定常平面流动的 N S 方程的量级分析方程的量级分析 22 22 22 22 22 22 22 22 1 1 uupuu uv xyxxy UUUU xxx vvpvv uv xyyxy UUUU x xx xxxx uU vU xxx 9 2 222 2 2 2 2 1 1 Re11 Re1 UUu xxx UUx x xU xUx xx 粘性项的比较 删去 粘性项与惯性项具有相同的量级 随增大而增大 的假设相应于 x 方向动量方程量级的比较方向动量方程量级的比较 22 22 22 22 1 uupuu uv xyxxy UUUU xxx 2 2 1 Re xxx UxU 10 x 方向动量方程量级的比较方向动量方程量级的比较 2 2 1 px x uupu uv xyxy 是被动力 起调节作用 它的量阶由方程中其他类型力中的最大量 级决定 方向动量方程可简化为 22 22 22 22 1 uupuu uv xyxxy UUUU xxx 11 1 0 yxx p pp x y 方向方程每一项均是 方向方程相应项的 倍 可以忽略 y方向动量方程量级的比较方向动量方程量级的比较 22 22 22 22 1 vvpvv uv xyyxy UUUU xxxx 压强与 y 无关 边界层内压强沿 x 方向的分布与外流压强沿 x 方向的 分布相同 22 22 22 22 1 uupuu uv xyxxy UUUU xxx 12 2 1 2 1 p UC dpdU U dxdx 由于边界层外为势流 引用势流伯努利方程 p 与与 U 的关联的关联 13 2 2 0 0 0 0 0 N S uv xy uudUu uvU xydxy u xv xu xU 边界条件 方程是椭圆方程 而边界层方程则是 抛物方程 小结小结 边界层内的N S方程可简化为 14 2 2 const 0 0 0 0 0 0 dU U dx uv xy uuu uv xyy u xv xu xU 边界条件 9 3 平板层流边界层的布拉修斯解9 3 平板层流边界层的布拉修斯解 1 平板层流边界层微分方程1 平板层流边界层微分方程 2 2 0 uv xy uudUu uvU xydxy 15 11 22 1212 12 0 4 0 4 nn nn xxu yU xx u yU yyu yu y xxUU uyuy UxUx 抛物方程 无特征长度 两个自变量存在相似解 当 只是的函数 如以 和 绘制速度分布图 两个截面的 速度剖面将会重合 2 相似解2 相似解 y U 1 x 2 x 1 y 2 y 2121 xx yy 16 1 2 y x u Uf uUfUx U y x U Ux f fd y 相似变量 为无量纲量 令 则有 3 相似变量和流函数3 相似变量和流函数 17 2 2 223 23 uv yx uuu uv xyy yx yxyy 流函数自动满足连续方程 由 4 把偏微分方程转化为常微分方程4 把偏微分方程转化为常微分方程 18 232 23 3 2 3 2 2222 111 222 22 222 Uf y UU Uff yxyx UyU fUx fff xxx xU UUyU ff x yxx UUUU f ffffff xxxx 代入动量方程 2 1 0 2 U ff x fff y Ux f x U 223 23 yx yxyy xyf 方程中未出现 或 是 的常微分方程 存在相似性解假设正确 4 把偏微分方程转化为常微分方程4 把偏微分方程转化为常微分方程 19 1 0 2 0 0 0 0 1 1 2 00 00 fff uUf y u xf u xUf U vff xx v xf 5 边界条件5 边界条件 20 6 方程求解6 方程求解 1 0 2 0 0 0 1 301 305 fff fff 级数解和数值解 两点边值问题的求解 参阅吴望一 流体力学 下册 页 21 7 平板边界层函数7 平板边界层函数 f Uu yfff xU 0 0 0 0 33206 4 4 2 69238 0 97587 0 03897 5 0 3 28329 0 99155 0 01591 5 4 3 68094 0 99616 0 00793 8 0 6 27923 1 00000 0 00001 8 4 6 67923 1 00000 0 00000 2 2 uU Uf yyx 22 8 边界层厚度8 边界层厚度 5 0 0 99 5 0 5 0 Re Re u f U x U Ux x 由数值计算结果 时 y x U 23 23 0 2 0 2 0 0 0 2 0 0 664 2ReRe Re uU xxf yyx xf U Ux 9 壁面切应力9 壁面切应力 2 2 U Uf yx 24 10 壁面总摩擦力和总摩擦力系数10 壁面总摩擦力和总摩擦力系数 2 0 0 0 22 00 2 10 664 2 2 1 328 Re x DD xx D D D Fx dxC x U xFxdx Cdx UxUxUx C 0 2 0 664 2Re x U 25 11 位移厚度11 位移厚度 00 1 1 lim 8 46 679 1 721 1 721 Re uxx dyfdf UUU xx UU x y x U 26 00 0 00 1 1 1 22 0 0 664 Re uux dyffd UUU xxx ffff df df UUU x 12 动量厚度12 动量厚度 1 0 2 0 0 0 1 fff fff 27 13 说明13 说明 0 35 0 102 10 N xuv R 在前缘点附近是小雷诺数流动 和 变化具有相 同的数量级 不满足边界层近似条件 布拉修斯解不适用 布拉修斯解适用范围 与实验测量符合很好 28 2 2 1 2 2 x hh uhpu u x vu xxxyyy h hpu 例试证明如果以 为自变量 则平面定常不可压缩流体层流 边界层方程可化简为 式中 证明 在边界层中可作如下近似 2 2 2 1 2 1 11 0 2 1 uphu phuhhuu uvuv xxx phuuhh u yyyyu y uh u y 2 2 3 uh ffx yx y 2 2 1uupu uvv xyxy 29 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 1 uupu uvv xyxy uuvhhvhuuuh uuvuuv hh vu 式代入边界层方程 化简上式得 22 22 11 1 phhuu vuuv x uhh yu y uhuh u y vu xy 30 121122 1212 U xuxy x yyu x yu xy xxU xU x uy F Ux xx yxu U x 用位势流速度 无量纲化 以比例因子 无量纲化如果在 两个不同的 截面上有 则 即 称存在相似解 通常取边界层的厚度 当存在相似解时以无量纲坐标 和画出的速度 xu U xyx yx F 剖面对于不 同 将完全相同 即如果以与 绘制速度剖面 则它们将 会重合为一条曲线 如果以 为自变量则原来的偏微分方程 将化为常微分方程 9 4 边界层方程的相似解边界层方程的相似解 1 相似性解 相似性解 31 2 方程变换 方程变换 1 u U x yx u x y f U x uUfuUfUx f yx x yU xx f 由于 只是 的函数 令 流函数流函数 32 2 2 223 2232 2 2 uudUu uvU xydxy x yU xx fyx uUuU u x yUfff yyyyy udUy ddUUd fUfff xx ydxdxdxdx v 流函数 2 2 2 2 1 0 dUddy fUfUf xdxdxdx dUdd fUfUf dxdxdx ddU fUfff dxdx f ddU U dxdx 代入边界层方程 并加以整理 如存在相似性解 上式应可化为 的常微分方程 即 和 均为常数 2 方程变换 方程变换 33 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 u xv xu xU dUdd u x yUfvfUfUf dxdx ffff fff dx 边界 条件 yx 2 方程变换 方程变换 34 3 具有相似性解的势流速度分布具有相似性解的势流速度分布 2 222 2 222 2 11 22 22 111 2 ddU U dxdx ddUdUddU UU dxdxdxdxdx ddUddUd UUU dxdxdxdxdx d U dx 2 2 2 1 0 ddU fUfff dxdx 35 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 0 2 2 m x U Ucxcxm d U dx Uxcc dUx dUdUdx dxUdxUx 当 积分 于是 势流速度分布具 有 幂次形式 3 具有相似性解的势流速度分布具有相似性解的势流速度分布 2 ddU U dxdx 2 2 d U dx 36 4 求解步骤 求解步骤 2 2 2 4 1 0 0 0 0 1 1 选取和的值 2 求和 3 由势流速度 的形式与第 章势流解比较可确定绕流物体形状 4 求 5 确定流函数 U x Ucx U U f ffff ff f y xyU xx f x u f U 37 5 平板边界层 平板边界层 1 0 2 1 0 2 0 0 0 1 x Uc U fff ff f y U x f x U 令 则 速度为常数表示平板绕流 边界层方程及边界条件 流函数 与上节结果完全一致 2 2 x Ucx U 2 1 0ffff y xyU xx f x 38 9 5 绕楔角流动9 5 绕楔角流动 1 势流速度分布 势流速度分布 2 1 m U xcxcx 取 变化 2 Ucx 39 2 绕角流动 绕角流动 的物理意义的物理意义 1 1 1 0 0 2 1 22 22 2 2 n n n n F zU z W znU z uivnUxiy y unU xv nn n 在 的表面上 楔角 2 m U xcxcx 40 i 表示绕顶角为的楔形物体的势流速度分布 ii 半无限长顺流平板流动 iii 二维滞止点附近的流动 iv 绕外凸钝角物体流动 此时折转角为 02 0 1 20 2 2 x y y x 2 绕角流动 绕角流动 的物理意义的物理意义 2 m U xcxcx 41 3 微分方程和流函数 微分方程和流函数 1 0 0 0 0 1 2 f ff ff ff 2 2 2 2 x yUx f x Uf U xU f xyU y Ux 2 m U xcxcx 2 x U 表9 2 260页 42 00 0 00 0 3 0 0 1 2 2 1212 1 1212 1 0 2 y uUf y U vff xx x U uxx dyfdA UUU A Bfd uuxx dyffdB UUUU Bffd uU f yx 4 边界层厚度与切应力 边界层厚度与切应力 当 即时 对应的 因而 对应边 界层即将发生分离的情况 0 1988 0 0904m 00 f 0 0 2 2 x yxU f yU x 2 m U xcxcx 表9 3 263页 2 2 uU f yy 43 9 6 动量积分方程9 6 动量积分方程 微分方程和动量积分方程微分方程和动量积分方程 yx 微分方程的解在边界层内的每一点上满足方程 在边界层外缘趋近于 外流参数 沿方向在边界层内积分微分方程得到积分方程 它表示在 方向的 平均惯性力和压力 粘性力的平衡 其解只满足平均力平衡 而不在 每一点满足力的平衡关系 其解有足够精度 44 动量积分方程动量积分方程 0 0 0 0 2 0 2 1 1 1 2 0 位移厚度 动量厚度 主流或外流势流速度 壁面切应力 对平板边界层 u dy U uu dy UU U dU dx ddU dxU dxU d dxU 45 附录 动量积分方程推导附录 动量积分方程推导 2 2 2 0 1 2 1 2 uv xy uudUu uvU xydxy u u x 2 2 0 2 0 00 3 3 0 0 0 0 uvdUu U ydxy yu xu xUu xy u xy udU dyUv xUdy xdx 式对 积分 并考虑到 得 46 0 2 0 000 2 22 00 00 4 v xux dy uudU dyUdyUdy xxdx udd dyu dyU xdxdx uddu dyudyUUd xdxdxx 由连续方程 由含参数定积分求导运算法则 2 00 2 0 000 4 dd yUudyU dxdx dddU u dyUudyUdy dxdxdx 代入 式并化简 附录 动量积分方程推导附录 动量积分方程推导 b xb x aa df x ydb x f x y dydyf x b x dxxdx 2 0 00 udU dyUv xUdy xdx 47 000 2 0 0000 0 00 2 0 00 11 dddU UudyUudyudy dxdxdx dddUdU u dyUudyudyUdy dxdxdxdx ddU u Uu dyUu dy dxdx duudUu UdyUdy dxUUdxU 考虑到 代入上式 2 0 2 0 1 2 d ddU UU dxd dU dxU dxU x 附录 动量积分方程推导附录 动量积分方程推导 2 0 000 dddU u dyUudyUdy dxdxdx 48 例题2 求解平板边界层 2 012 0 1 2 2 0 0 0 2 0 1 2 uyy aaa U u xa u xUa u xya uyy U u x U 由边界条件 在不同位置 具有相同的速度剖面 解 假设速度分布 0 2 d dxU 49 22 00 1 22 0 00 0 1212 2 2 12 15 2 y uuyyyy dydy UU d duU dy 求和表达式 2 2 uyy U 0 2 d dxU 50 0 2 0 0 2 22 15 15 0 30 30 5 48 Re 代入和表 求解积分方程 得出 和 达式 考虑到 x d dxU d ddx dxUU x x UU x xx 0 2 2 15 U 51 0 0 2 0 2 2 40 73 2Re 5 00 664 2ReRe 由 准确解 U UU xU 5 48 Re x 求解积分方程 得出 和 xx 52 利用动量方程求解边界层问题步骤利用动量方程求解边界层问题步骤 0 0 u f U 假设速度分布 通常采用多项式形式 利用边界条件确定多项式各常数 利用速度分布计算 代入方程求解 和 以及其他参数 53 边界条件边界条件 2 2 2 2 0 1 2 3 0 0 0 n n u yuUn y yuv uudUu uvU xydxy uU dU y ydx 边界层外边界上 粘性流与势流相衔接 不可渗透固体壁面的黏附条件 由动量方程 54 边界条件边界条件 223 23 223 23 3 3 0 0 y u uuv uuu uv yxx yy yyy uuvuuu uv yxyx yyy u y y 把动量方程对微分 考虑到连续方程 2 2 uudUu uvU xydxy 55 0 2 2 3 3 n 0 00 0 0 1 2 3 n yuv u y uU dU ydx u y y u U u n y 可自由选择 边界条件边界条件 56 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 u x u xU u x y uU dU x ydx u x y uU dU x ydx 边界条件选用的优先顺序 其中控制物面形状对速度剖面影响 在曲面边界 层中应尽量满足 否则无正确结果 边界条件边界条件 57 2 2 0 1 2 0 uv xy uuu uv xyy y 解从下列边界层方程出发推导相应的动量积分关系式 边界条件 w 0 0 uvV u yuU y w 0 4 y U vV uy U x 例设某不可压缩流体以常速度纵向绕流多孔平板流动 平板表 面流体的法向速度为常数 试导出边界层的动量积分关 系 如果把速度剖面近似地表示为 是边界层厚度 试确 定随的变化规律 U x w V y 58 22 2 22 2 2 2 0 1 2 3 1 3 0 u uuvu xyy U uuvu UuUv xxyyy u u Uuv Uu xyy y u Uudy x 将上式对从 到积分 2 2 00 4 u v Uudydy yy 2 2 0 1 2 uv xy uuu uv xyy 59 2 2 000 00 22 0 0 4 1 xx x x u u Uudyv Uudydy xyy dd u Uudyu Uu dyU UU xdxdx duud UdyU dxUUdx v Uudy y 注意到边界条件后得 w 2 0 2 0 0 2 00 w w 2 4 5 y V U uu dy yy d UV U dx Vd dxUU 则 式可写为 b xb x aa df x ydb x f x y dydyf x b x dxxdx 60 ww w w www www ww 11 6 66 1 1 6 6 6 1 1 6 ln 16 1 0 0 w VVddd dx dxUUdxUUUVU VVdd dxdxddx UVUVUVU VVVd ddxxc VUVU x ww w 0 ln 16 c VV x VU w0 2 5 Vd dxUU 0 0 22 0 1 1 6 7 6 y uy U uy yy dy UUU 取则 6 7 5 61 ww w w 2 www 2 2 wwww w 2 6 ln 1 1 1 ln 1 2 611 22 12 VV x VU V VVV VVVV x VU x U 如则 此时边界层厚度与无抽气情况是相同的 62 9 10 卡门 波尔豪森近似9 10 卡门 波尔豪森近似 速度剖面速度剖面 234 u abcde U y x y x x a b c dex 对于曲面边界层 外流中存在 方向的压强梯度 一般不存在相似 解 和均是 的函数 63 2 2 2 2 0 0 0 0 0 u x u xU x u x y uU x dU x x ydx u x y 22 2 2 2 0 0 1 1 1 0 0 1 0 u x U u x U u U x u UdU xx dx u U x 2 dU x dx 压强参数 边界条件边界条件 234 u abcde U 64 速度表达式速度表达式 33 02 62 21 26 1 1 1 1 6 1212 把边界条件代入速度多项式得 于是 取值范围 y u y 0 0 y u y w 0 0 x 75 边界层内的速度剖面边界层内的速度剖面 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 1 0 0 0 y y udp ydx dpu dxy u yuy y u y u y 0 最小压强点 速度拐点先发生在物面上 沿物面向下游移动 拐点向外边界挪动 当拐点靠近物面时 整个速度剖面保持 所有流体质点沿 流动方向前进 拐点外移 速度剖面变得愈加瘦削 拐点外移至某一位置时就会在 物面的某一点上出现 从此点后向下游 0 y u y 0 发生倒流和边界层分离 u 0 y 分离发生过程分离发生过程 边界层内的速度剖面边界层内的速度剖面 78 边界层分离的计算边界层分离的计算 在逆压区用波尔豪森方法预测的分离点比实际发生的晚 用边界层方程只能求出分离点 而不能得到分离点后的流场 计算分离点后流场则需借助于N S方程 79 例7例7 求绕流圆柱表面层流边界层流动分离点的位置 U a x是沿圆柱面的坐标 在圆柱前驻点坐标等于 0 2sinU xU 解解 均匀流绕流半径为a的圆柱 2555 6666 00 2 42 2 2235 66 1 0 450 45 32sin 2sin cos sin1 sinsin 0 45 10 0158 15103 2sinsin xx t Ux dxUdx UxU ttdxadadt aa tdtttt UU 80 2 222 633 2 32352345 3 22 2 3 2 sin 2 sin4sin 2 cos 24 1 sin64 1 cos1 2sin 21 2 1 61281 1040808032 33 0 037511 25 33 0 037511 25 t tt a U dU xa K dxU 3 23 2 1 2 7186 0 075 11 255 U a 235 6 0 0158 15103 sin a ttt U 2 2 cos 22 1 2sin1 2 2 UdU xdU x d dxddxa UU aa 2 0 090 0 613sin 2 103 K 2sinU xU 81 9 12 边界层稳定性分析9 12 边界层稳定性分析 导入一微小扰动 扰动随时间衰减 稳定 扰动随时间放大 不稳定 过渡到紊