高等数学大一上学期完全复习.doc

高等数学第一章 函数、极限与连续第一节、函数1.1 函数分类概念分类类型分类研究函数的主要问题：初等性质：单调性、有界性、奇偶性、周期性。分析性质：极限、连续性、可微性、可积性1.2 例题（仅限于对应）引例 ，求解 例1 ，求。解 例2 ，且，求，并写出定义域。解 ， 。例3 设满足，其中均为常数，且，求的表达式。解 ，消掉得。小结：上述四例均强调或说体现“对应”，即自变量在抽象函数中的位置与具体函数中的位置相对应。抓住“对应”一点。函数问题基本解决。其他问题从略1.3 习题1 设，则 1 。2 设，则（D）（A） （B）（C） （D）3 设，则（B）（A）0（B）1（C）（D）。4 是（D）（A） 有界函数（B）单调函数（C）周期函数（D）偶函数5 设连续，则下列函数中为偶函数的是（D）。（A）（B）（C）（D）6设，求。7设若，求。第二节 极限2.1 内容总结1基本型：型，2等价代换当时，3重要极限（）其他极限不存在例：4用泰勒公式求极限5用夹逼定理和单调有界原理求极限（主要用于数列极限问题）2.2 例题基础题目一、（型） ； 二、（型）；三、（等价代换）1；2（）3（注意的处理。，。）4 5求原式6 求四、幂指12求3求 五、泰勒公式 （注对泰勒公式只需熟悉展开式）六、夹逼定理与单调有界1 表示取整函数解1 当时，故当时，故从而 解2 ，表示小数部分2对于数列，已知，证明。证：由归纳法易证，又 ，即当时有下界同时，即单减，从而收敛。设，对递推式取极限得，解得，（舍）。注：为两点递推式，写成连续型函数，若，则为单调数列，若，则不是单调的，据此可以调整证明目标。3求_ 4设，（）证明极限存在并求极限证明 ，假设，则，即数列单调增加，假设，则，故由单调有界原理存在，设，则，得即=25. 已知，。（1）证明数列数列收敛；（2）求的极限值。解（1），由此可见，设，由知，收敛，令，；其中，由，有（1）由，有由（1）-（2）得，解得知收敛，且极限是专题训练类题目一、重要极限与幂指型极限例1例2例3二、等价代换例1例2例3 三、反问题例1，求值解 原式，故。例2，求。解 原式，由此，有回代原式 例3 已知，求常数。由原式有，即由罗比塔法则有，由分母极限为零，有再由罗比塔法则有，由分母极限为零，有，因此例4 ，求常数。解 当时，分子，又，故分母，又，故积分极限为零，故b=0，从而a=1, 例5，求。解 当时，故，则从而 ，由此。例6在有二阶导数，且，则_，_，_. ， 0042.3 练习1. 求 （1）2 求 （）3求（1）4.已知，求（6）5 设函数在求的某邻域内具有二阶连续导数，且。证明：存在唯一的一组实数，使得当时，是比高阶的无穷小。 （3，-3,1）6求 7 设数列与满足，则下列断言正确的是（A）若发散，则必发散（B）若无界，则必有界（C）若有界，则必为无穷小（D）若为无穷小，则必为无穷小 （D）8设数列满足，（1）证明存在并求之；（0）；（2）求9. 设，证明存在并求此极限。三、连续函数1定义：，称在点连续。（本质上 ）2、问题分类1）讨论函数的连续性2）指出函数间断点，且分类3）介值定理应用4）连续性应用（）3、例题例1 讨论的连续性。解 当时，考查三点；（除以上三点外，函数连续）；，为第一类间断点；是第一类间断点（可去间断）同法 ；，是第一类间断点。例2 设，讨论的间断点及其类型。解 在点 ，为可去间断点。在点 不存在，为第二类间断点（无穷间断点）。例3 设在点连续，求与的关系。解 ，于点连续，则。例4设 ，（1）求的间断点并判别类型（2）在下列哪个区间（1）；（2）；（3）（4）内有界（A）（1）（2） （B）（3）（4） （C）（1）（3） （D）（2）（4）解：(1) 时，间断点：为第二类（无穷）间断点 ，为第一类（可去）间断点时，为第一类（跳跃）间断点时。，故是第二类（无穷）间断点。（2）选（D）例5函数，看到这问为何值在 （1）连续；（2）为可去间断点；（3）为跳跃间断点；（4）为第二类间断点。解：，令，得或，当时，在连续，当时，为可去间断点，当或为跳跃间断点，无第二类间断点。例6设在连续，证明：（1） 存在，使；（2）在上最大值大于1.证明：（1）由及在连续，得令，由连续函数介值定理知存在使，即；（2） 由，由保号性定理知时，有，故在上最大值大于1。例7 证明，恰有三个实根证 令，则于上连续，而，由零点存在定理 ，使 即方程有三个实根，又三次方程至多有三个实根，故恰有三实根。方程有根问题当与微分学结合时会很精彩。例8 设在上连续，且对都使，证明在上。证：在上连续。则有界，即，使。又，使，故又使，同理 ，使令，则有。例9 设在上连续，且，证明，使。证 设，假设，则，相加，与矛盾，即恒大于0，不可能。同理（恒）也不可能，即必有大于0的点，也有小于0的点，由连续性和介值定理，使，即。1. 求函数的间断点并判别类型。是第一类（可去）间断点，）是第二类（无穷）间断点）2. 函数，问函数在是否连续？若不连续，修改函数在处的定义，使之连续。3. 设函数在上有定义，且满足，如果为连续函数，证明在上位=为常数。第二章一元函数微分学及其应用2.1导数概念的三类问题一、“分析”形式问题例1 在处可导，求。解 原式例2 可导，。求。解 原式。例3 设在点可导，且，求。分析：例4 设有连续导数，且，求。分析：原式例5 设是周期为5的连续函数，且于的某邻域内满足（*）其中是当时比高阶无穷小量，且于处可导，求曲线于点的切线方程。分析：由(*)式，令（凑定义）：令，。切线方程：，。例6设在可导，则 例7 设对非零有，且，求由已知可知例8 设，则在处（A） （B）不存在（C）为极小值 （D）为极大值 （D）例9当时，是的_几阶无穷小（A）1（B） 2（C）3 （D）4（C）例10，求 例11设，则在可导的充要条件是（A）存在；（B）存在；(C) 存在 （D）存在。*例12 函数不可导点的个数为（A） 0 （B） 1 （C） 2 （D）3 （C）练习1. 设在的某邻域内连续，则在处 （A）不可导，（B）可导且（C）取得极大值（D）取得极小值 （D）2.当时，下列四个无穷小中，那一个是比其它三个更高阶的无穷小？（A） （B） （C） （D） （D）二、“隐式”导数问题例1 在点连续，且，求。解 ，由分母，则（连续）则例2 设曲线在原点与相切，试求极限。解 在点两曲线相切，。练习已知曲线在原点与相切，求 （）例3 求经过原点且与曲线相切的直线方程。设切点，切线方程将（0，0）带入方程，得，解得或，切点为，带入即可例4 求对数螺线在点处的切线方程将极坐标方程化为为参数方程，点的直角坐标为、切线方程：三、导数物理解释问题（速度，变化率）（相关变化率）例1 有一底半径为Rcm，高为h的锥形容器，现以Acm/s的速率向容器内注水，试求当容器内水位上升到时，水面上升的速率和液面面积的变化率。解 设坐标系如图令，则；令，则。注：体会物理解释，“以速率注水”，“水面上升速度“面积变化率“例2 一动点P在曲线上运动。已知P点横坐标的速率为30cm/s。当P点运动到点时，从原点到P点的距离的变化率是多少？（设坐标轴长度单位为1cm）。解 方程两边对求导，得，。记，则，对求导，得，。例3 设雨滴为球状体，若雨滴聚集水分的速率与其表面积成正比。证明雨滴半径增加的速率为一常数。证 ,则。例4 一梯长5m，它的一端沿直立墙下滑，另一端在地面上移动，假设其速率为0.3m/s，当下端离墙1.4m时，问上端向下移动的速率是多少？取墙角为原点，地面为轴，梯子在地面上移动的一端的运动方程为，在墙上移动的一端的运动方程为，则由题意知，求，满足方程，上式两边对求导得即 例4有一平底容器，其内侧是曲线绕轴旋转而成的旋转曲面，容器的底面圆的半径为2m，根据设计要求，当以的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体），求曲面的方程。 解：时刻液面高度为，液体体积为，液面面积，已知 即，解得二、导数计算（的四个重点）重点掌握：隐函数求导（含二阶导数）；分段函数求导；积分上限函数求导；参数方程所确定函数求导。1复合函数求导例1，求。解 ；例2，求。解 ，例3，求。解 法（1）方程两边对求导 。法（2），。2隐含数求导例1，求。解 ，两边对求导得整理 (1)(2)(1)两边对求导：，例2设，求。解 令得，方程两边对求导：（1）对（1）再求导得：（2）当时，代入（2），。3参数方程求导,.例1. ，求，。解 ，。例2且，求。解 ，。例3设是由方程组所确定的函数，求。解 ，方程两边对微分得从而，。将代入得。4绝对值函数与分段函数求导1设，则使存在的最高阶导数解 由于因而，从而类似地可求得，以及而因而不存在。可见，存在的最高阶数为。例2设在0点可导，求之值。解 要在点连续，则，则，由于在可导，所以5、积分上限求导，。例1，求。解 ， ；例2连续 ，求。解 令， ；例3设由方程确定，求（1）；（2）过点切线方程（3）。解 在，对方程求导（1）再求导 （2）将代入（1），切线，将代入得代入（2），得，例4 时，与为等价无穷小，且连续，求。解，6关于高阶导数例1，求。解 ，。例2，求。解 例4，求。解 ，则，即。注：1. 高阶导数直接用公式的已推广到例5 已知具有任意阶的导数，且，当n为大于2 的正整数时，求解：，故例6 求函数在处的n阶导数，解 ，则，即。2结合泰勒公式如3，4尤其4应注意。例5、三阶导数存在，求，。解 ，。3 结合罗比塔法则例6 设其中具有二阶连续导数，（1）求的值使连续;(2)求；（3）讨论的连续性1），2) ，3) 在上连续练习 1设可导，则是在处可导的（A）充分必要条件（B）充分条件但非必要条件（C） 必要条件但非充分条件（D）即非充分也非必要条件 （A）2.设函数连续且，则存在，使得（A）在内单调增加（B）在内单调减少（C）对任意有 （D）对任意有 （C）3 设其中有二阶连续导数，且，求，并讨论在内的连续性。（在连续）4 设在可导，则函数在不可导的充要条件是（A）且（B）且（C）且（D）且 （C）5 求 的n阶导数。（）三、微分中值定理与Taylor公式1内容小结1）费马引理：在点处取得极值，并且在处可导，那么。2）罗尔定理：满足（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；（3）在区间端点处的函数值相等，即，那么在内至少有一点，使得。3）拉格朗日中值定理 满足（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导，那么在内至少有一点，使 4）柯西中值定理 满足（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；（3）对任一，那么在内至少有一点，使5）泰勒中值定理 含有的某个开区间内具有直到阶的导数，则对任一，有其中。或者前者展开到项常用于求极限，后者余项确切常用于估计误差。要点:中值定理：证等式（含方程有根），放缩一下也可以证不等式。泰勒公式：“建立两点连续”，“一点在另一点展开”，“寻求函数和其导数之间的联系。2例题1）关于罗尔定理直接法例1 设抛物线与轴有两个交点和，又二阶可导，且，同时上述两曲线在上有一交点。证明使。证 令，则，（在点两曲线相交），由罗尔定理，使，使，从而，使，即。倒推法例2 在上连续，在可导，证明，使。分析：，。，验证例3 设在上连续，在上可导，且，证明正整数，使。分析 。（乘一因子，使之易求原函数，考题难度合适！）例4 设函数和在二阶可导，并且，证明存在，使证明：令，则在连续，可导，且，由罗尔定理，至少存在，使，即，即例5设函数在二阶可导，（1）至少存在使。（2）至少存在，使证明：（1）不妨设，由保号性及，有，同理，由介值定理：至少存在使（2）两次应用罗尔定理即可例6设函数在可导，证明若，则至少存在，使证明，由保号性，有，同理所以存在，为最小值即为极小值，故其他1） 欲证，2） ；3）4） ；5）6） ；7）8）9）2）关于拉格朗日中值定理 例1 求极限。解 原式，介于之间*例2 设在内有界。可导且存在，证明证 ，若，则，但矛盾，说明例4 以下四个命题中，正确的是：（A）若在内连续，则在内有界（B）若在内连续，则在内有界（C）若在内有界，则在内有界（D）若在内有界，则在内有界例5设在上可导，证明至少存在，且，使小注：（1）凡遇到先用一下中值定理往往有效。（2）有时要刻意构造同一类函数在两点做差。练习3）关于泰勒公式问题已知一点信息例1 设二阶可导，求。解 原式已知多点信息例2 设在上具有三阶连续导数，且，证明，使。分析：（1）求证泰勒公式，余项三阶（2），故在点展开可去掉一阶项（3）两端在中点展开相减可去掉二阶项（4）三阶导数连续用介值定理证 相减：，若，则，由的连续性及介值定理，使，若否则可取。展开中再展开例1 设，又有，证明。证 与假设式比较 整理，令，得。*例2 例3 例4 例5 例6 例7 练习四、利用导数研究函数性态1小结1）用极值定义判别极值（常用极限保号性）2）用一阶导数判别极值3）用二阶导数（或2n阶）导数判别极值2习题例1 ，求极值点与极值。解 ，得驻点，及不可导点。如上三点充分小的邻域内，故是极大值。，不是极值，是极小值用一阶导数，注意不可导点，画图，反映。例2 求所确定隐含数是极值。解 方程两边对求导 令得代入原方程得驻点，对（*）式再求导：。1） 将代入上式，是极大值。2） 将代入，是极小值。例3 例4 例5 练习用二阶导数，隐含数，对*求导直接代入，计算技巧。3单调性，凹凸性，拐点，渐近线，曲率等1）概念l 单调性判别定理：，l 凹凸性判别定理：，下凸（上凹）；，上凸（下凹）在两边变号，称为拐点，特殊情况不存在。l 斜率：，。2）例题例1 求 的单调区间，极值，凸性及拐点。解 定义域，令及驻点，单增。，单减，是极大值点，是极大值；得，当， ，为拐点。下凸区间，上凸区间。例2 依图的特点判断函数的图形特征。单增区间，单减区间，：拐点，极值点，极小值，单增，是拐点，下凸区间，上凸区间，极大值，不可导点，尖点。例3 对数曲线上的那点曲率半径最小，并求该点的曲率半径。解 ，令得，在两边附近异号，由负到正，故在点曲率半径最小，此时。例4 v例5 例6 例7 练习例8 例9 第三章一元函数积分学及其应用一、不定积分本节重点掌握（1）不定积分概念；（2）换元法；（3）分布积分法。1. 概念，。的原函数的一般式或全体2. 性质,或 ;,或记作 .3. 例题例1 ，求。解 ，则，。例2 设是的一个原函数，求。解 (1)(2)例3 的一个原函数满足，求。解 ，则可导，必连续。；即，则，。；即，则，。记，则满足，则，故例4 二、不定积分计算1凑分法简例例1.；例2.例3.。2拆项，补项积分例1 例2 例3 例4例5 ；例6；3一般换元法注意积分中含有令，令，令例1 解 令 例2 4分布积分法例1 例2 令 例3 例4 注意分母为平方项，原函数分母为一次方项，求导至此，因此积分中先要营造在分子中出现分母的导数项，而分母的导数易求得们为，类似可完成下题。例4 例3 例6 例7 练习三、定积分与不定积分相联系，计算定级分，只须将原函数带上下限即可解决问题了。因此本节只须解决或说注重一些特殊解即可，特殊问题有那些呢？1和式极限问题由定积分定义：实际和式极限问题多是采用等分区间。（例）取分点。引例：求 解 原式；（注意：识，定限方法：（下限）（上限）（有界）例1 （以上为标准和式极限）。例2 ，连续。（乘积变为和式！）例3 （夹挤一下）计算 解 ；故 。（放大、缩小无关紧要小量）例4 2定积分计算中的几个特殊问题1）奇函数、偶函数在对称区间上的积分（1）若在上连续且为偶函数，则 （2）若在上连续且为奇函数，则 上述结论可推广到关于对称函数积分 2）绝对值函数和分段函数积分：分区间去绝对值符号积之。3）注意公式例 ；4）周期函数积分5）（证：令代换即可证得，此处连续）例例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 练习四、定积分与微分学相联系问题定积分与微分学相联系“桥梁”是积分上限函数。引入这个函数。重写微分学讨论的到问题，使问题形式新颖，丰富多彩。1、极限与连续问题例1例2例3求A为何值时，在点可导，且求。解 使在可导，则（连续）而即，例4 2、导数例1设由方程确定，（1）求（2）求过点的切线方程（3）求。解 在，方程两边对求导，得（1） ，过点切线方程为。对（1）两边求导：，3中值定理例1设，均为上的连续