高等流体力学 Ch1 流体力学的控制方程.pdf

1 第 一 部 分 流体力学的控制方程 第 一 章 流体力学的基本概念 第 一 部 分 流体力学的控制方程 第 一 章 流体力学的基本概念 2 1 1 欧拉和拉格朗日参考系欧拉和拉格朗日参考系 连续介质假说连续介质假说 流体由无穷多的流体质点连续无间隙地组成 流体质点流体质点 流体质点是在流体力学中研究的最小单元 当讨论流体速度 密度等变量时 实际上是指流体质点的速度和密度 由确定流体分子组成的流体团 流体质点的体积在微观上充分大 在 宏观上充分小 3 拉格朗日参考系拉格朗日参考系 2 2 rr tx t iy t jz t k dr u dt d r a dt x y z rr t 理论力学描述质点运动 4 流体中有无数多流体质点 需加以区别 以 t t 0时刻流体质点 空间位置的坐标 作为流体质点的标号 0000 r xy z 0000 rr r tx r t iy r t jz r t k 物理量 000 TT r tr tpp r t 改变 t 不变 表示同一时刻不同流体质点的空间位置或 相关变量 t 改变 不变 表示同一流体质点的空间位 置或相关变量随时间的变化 0000 r xy z 0000 r xy z 拉格朗日参考系拉格朗日参考系 000000000 xx xyz tyy xyz tzz xyz t 5 000 000000000 010203 0 ii iij rx r t iy r t jz r t k xx xyz tyy xyz tzz xyz t xxxxxt xxxt 物理量 000 jjj pp xtxtTT xt 上式括号内的自变量表示 它的指标 j 并非自由指标 只表示在其取值范围内逐一取值 0 j x 010203 xxx 张量下标表示法张量下标表示法 拉格朗日参考系拉格朗日参考系 6 uu x y z t TT x y z tpp x y z tx y z t 欧拉参考系欧拉参考系 改变 t 不变 表示同一时刻不同空间点上的场变量 t 改变 不变 表示同一空间点上的场变量随时间的变化 当采用欧拉参考系时 就定义了空间的场 iijjjj uu r tTT r tpp r tr t uu x tTT x tpp x tx t 或 r x y z r x y z 工程现场或实验室测量速度 温度 压强等 气象站测量空气速 度 温度 湿度 此时速度 温度 密度 压强等是空间点和时 间的函数 7 在欧拉参考系中 x y z t 是相互间无函数关系的独立变量 在拉格朗 日参考系中 x y z 不再是独立变量 他们都是时间 t 和的 函数 x x0 u t t0 y y0 v t t0 z z0 w t t0 0000 r xy z 欧拉参考系欧拉参考系 0 rr r t 8 流体微团体积变化和雅克比行列式流体微团体积变化和雅克比行列式 000 000 000 123 rr xyz t rrr rxyz xyz rrr 0 trr 在 时刻伸长为 在上述微分中 t 可视为常数 000 xyz 0000 xxyz 0 r 000 xyzzx y r 2 r 3 r 1 r t 时刻 0 t 时刻 r o i 1 rr 0000 x x z x x y yz 10 r 20 r 30 r 10 0 r rx x 9 000 xyz r 0 0 r rx x 0 0 r x x 0000 xxyz 00000 000 000 000 000 0 ttxyz rrr txyz xyz t rrr xyz xyz J 时刻微元体体积 时刻微元体边长 时刻微元体体积 流体微团体积变化和雅克比行列式流体微团体积变化和雅克比行列式 000 000000000 000 xyz xxx x y zrrrxyz J xyzyyyxyz xyz zzz 123 123 123 ijkijk aaa abcab cbbb ccc 10 雅克比行列式 J 表示一流体微团或流体质点在 t 时刻和初始时刻 t0 的体积之 比 也表示初始时刻 t0和时刻 t 的密度比 流体微团体积变化和雅克比行列式流体微团体积变化和雅克比行列式 0 0 0 0 J 质量守恒 0 J 11 两种参考系的转换两种参考系的转换 00 iij rr r txxxt 或 0000 iij rr r txxx t 或 由于行列式 J 表示同一流体质点在时刻t 和初始时刻 t0 的体积之比 因此总是一个有限大的正数 于是从数学上讲上述函数和反函数总 是存在的 12 0 r r ttr t 拉格朗日参考系转换为欧拉参考系拉格朗日参考系转换为欧拉参考系 已知 0 r t 代入 00 rr r t 两种参考系的转换两种参考系的转换 13 110220330 0 ccrccrccr rr r t 欧拉参考系转换为拉格朗日参考系欧拉参考系转换为拉格朗日参考系 已知 初始条件 00 ttrr 123 dr u r trr c c c t dt 00 r r ttr t 如已知 r t 代入 0 rr r t 两种参考系的转换两种参考系的转换 14 例1 拉格朗日变数 x0 y0 z0 给出的流体运动规律为 22 00 1 t xx eyyt 22 0 1 t zz et 1 求以欧拉变数描述的速度场 2 问流动是否定常 3 求加速度 设速度场的三个分量是 u v w解 1 2 0 2 0 0 22 223 0 0 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 t t t x ux e t yyt vyt tt zz ett wz ett tt 两种参考系的转换两种参考系的转换 22 2 11 yzt ux vw tt 由题给流体运动规律表示式 15 2 欧拉表达式中包括变量 t 是不定常流动 2 22 00 2 2 00 22 2222 2 000 0 23334 222 00 44 2 44 2 2 1 2 1 426 2 1 1 1 1 2 2 1 1 3 2 21 2 1 1 tt x y ttt t z tt x ax ex ex tt yy ayty ttt ztz e tz ez e t az e tttttt z ettttz etz tt 2 2 21 1 t t 3 在拉格朗日参考系中求加速度 两种参考系的转换两种参考系的转换 2 0 2 0 22 0 1 1 t t xx e yyt zz et 16 1 2迹线 流线和脉线迹线 流线和脉线 由上式可见一个流体质点的速度矢量总是和该质点的迹线相切 因此 迹线也可以定义为始终与同一个流体质点的速度矢量相切的曲线 迹线是流体质点在空间运动过程中 描绘出来的曲线 即轨迹 迹线迹线 dr u r t dt x y z r rr r 17 在以上方程组中是自变量 是流体质点的空间坐标 因此都是 的函数 110220330 0 ccrccrccr rr r t tt x y z 迹线迹线 微分方程微分方程 drdxdydz u r tdt dtuvw 000000000 xx xy z tyy xy z tzz xy z t 求迹线是在拉格朗日参考系中进行的 或 000 rr xy z t 积分得 123 rr c c c t 初始条件 00 ttrr 即 18 消去得 由条件时 可解出 12 0uxtvy w 12 dx xt dt dy y dt 0t 1 yx1 21 cc t 解 积分得 例2 设两维流动求时刻通过 1 1 点的 流体质点的迹线 0 t 2 1 1 t tt ecy ecx 1 t tt ey ex y yx ln1 迹线迹线 注 满足上述速度分布 的流场中有无数个流体 质点 于是有无数条迹 线 本题只求其中一 条 19 流线流线 流线是流场中的一条曲线 曲线上每一点的速度矢量方向和曲线在 该点的切线方向相同 对于非定常流动 空间给定点的速度大小和方向随时间而变化 因 此谈到流线总是指某一给定时刻的流线 20 0 dldxidyjdzk u uivj wk ijk dl udxdydz uvw dxdydz u x y z tv x y z tw x y z t 因为是求某一时刻的流线 可视时间t为常数 积分以上方程组即 得流线方程 积分在欧拉参考系中进行 这时 x y z t 是相互独立的变量 dl u 微分方程微分方程 流线流线 21 求通过 1 1 点的流线 令解出 于是 例3 设两维流动 求时刻通过 1 1 点的流线 12 0uxtvy w 1 2 1 2 1 12 lnln t t dxdy xty xyc xc y 0t 1 yx 1 1c 解 1 2t xy 流线流线 0t 可见通过 1 1 点的流线随时间不同而不同 在时刻 xy 22 从流场中的一个固定点向流场中连续地注入与流体密度相同的染色 液 该染色液形成一条纤细色线 称为脉线 把相继经过流场同一空间点的流体质点在某瞬时顺序连接起来得到 的一条线 脉线又称烟线 染色线 脉线脉线 23 dt w dz v dy u dx 初始条件 txxyyzz 时 求 时刻从点进入流场的流体质点的迹线方程 即求 时 刻通过点的迹线 x y z 脉线方程脉线方程 xx x y z t yy x y z trr r t zz x y z t 或积分上述方程得 脉线脉线 x y z 24 因此当因此当 取的值时 方程即描绘出取的值时 方程即描绘出 t 时刻的脉线 时刻的脉线 t 固定 变化 时 t 瞬时前不同时刻 经由 x y z 点注入流场的不同流体质点在 t 时刻的空间位置 rr r t t 脉线 固定 变化 rr r t t 迹线 固定 变化 x y z r 脉线方程脉线方程 固定 t 变化 时 时刻由点 x y z 注入流场 的一个流体质点的迹线 不同的 表示不同的迹线 t t t rr r t 脉线脉线 脉线切线与速度矢量方向不一定相同 rr r t 25 由条件时 x y 1 可解出 2 1 1 t tt ecy ecx 解 由例2 t 1 12 cece 1 1 t tt ey ex 当 取的值时 上式即通过 1 1 点的脉线参数 方程 显然在不同时刻 t 取不同值时 脉线形状也不同 t 消去得 在时刻 0 t 1 xe ye y yx ln1 脉线脉线 例3 设两维流动 求时刻通过 1 1 点的脉线 12 0uxtvy w 0t 26 在非定常流动条件下 三种曲线一般是不重合的 在定常流动条件下 三种曲线合而为一 12 0uxtvy w x 1 ln y xy 1 ln y xy xy 迹线 脉线 流线 y 0 1 1 例题小结例题小结 流线和脉线都是t 0时刻流 场中的一条线 迹线则表示 了一个流体质点运动的历史 过程 从t 0一直到时刻 t 27 在流场内作一非流线且不自相交的封闭曲线 在某一瞬时通过该曲 线上各点的流线构成一个管状表面 称流管 若流管的横截面无限 小 则称流管元 流管表面由流线组成 所以流体不能穿 过流管侧面流进流出 而只能从流管一 端流入 而从另一端流出 流管流管 28 在欧拉参考系下用表示流体质点的速度变化 tzyxuu zyx t u 000 uu xyz t 000 xyz u t Dt uD 欧拉和拉格朗日参考系中的时间导数欧拉和拉格朗日参考系中的时间导数 欧拉参考系 某一空间点上的流体速度随时间的变化 称当地导 数或局部导数 拉格朗日参考系 流体质点速度随时间的变化 即加速度 1 3 物质导数物质导数 29 流体质点的物理量随时间的变化率 又称质点导数 随体导数 设场变量 则表示某一流体质点的随时间的变化 Dt D 物质导数物质导数 30 t tzyx tt xx yy zz tt x y z ttxyz txyz 0 0 1 lim lim t t i i D xx yy zz ttx y z t Dtt xyz ttxtytz uvwu txyztx Dt D 在欧拉参考系下的表达式 在欧拉参考系下推导 在欧拉参考系下的表达式 在欧拉参考系下推导 时刻 时刻 物质导数按定义可计算为 物质导数物质导数 31 在欧拉参考系下的表达式 在拉格朗日参考系下推导 在欧拉参考系下的表达式 在拉格朗日参考系下推导 Dt D 是流体质点的某物理量 r t 0 0 rr r t r tr r tt 0 jk xxtt 0 0 j k k j xj x t j j x D Dtttxt x u tx 或写为 于是 物质导数物质导数 32 k k D u Dttx 以矢量和张量下标形式表示的物质导数以矢量和张量下标形式表示的物质导数 D uu Dttt uuivjwkijk xyz uvw xyz 算符 物质导数物质导数 33 称对流导数或位变导数 由于流体质点在不均匀的 场内移 动而引起的物理量的变化 由场的不均匀性引起 Dt D t k k x u 欧拉参考系中的时间导数 称局部导数或就地导数 表示空 间某一点流体物理量随时间的变化 由场的不定常性引起 物质导数 质点导数 随体导数 物质导数物理意义物质导数物理意义 k k D u Dttx 参阅11页 34 正交曲线坐标系中物质导数表达式正交曲线坐标系中物质导数表达式 参阅附录D 409 410页 35 例例5为研究城市的空气污染情况 需测量某项污染指标 s 随时间的 变化率 采用了三种方法 1 把测量探头安装在一高塔上 2 把探 头安装在一直升飞机上 直升飞机速度为 3 把探头安装在一气 球上 设气球随气流运动 气流速度为 试用数学公式分别表 示上述三种方法的测量结果 U u s t i i ss U tx i i Dsss u Dttx 2 直升飞机上探头测得的s 变化率应等于的s 当地变化率加上s 的 空间变化率与直升飞机速度的乘积 3 由于气球与空气速度相同 气球上探头测得的s 变化率就是s 的随 体导数或物质导数 解 1 高塔探头测得的是在流场某一固定点上 s 的随时间的变化率 即 s 的当地导数 36 例例6考虑图示收缩通道内理想不可压缩流体的一维定常流动 分别求 欧拉和拉格朗日参考系内的速度和加速度表达式 0 u l xl xx 0 x A x 0 1 A xAx l 解 1 欧拉参考系 由不可压缩流体 00 000 1 A uA x u x u xu AA xux l 2 00 0 11 x Duuu au Dttx uuuxx uu xllll 37 2 在拉格朗日参考系中 欲求的是 t 0时刻从 x 0 出发的流体 质点的速度和加速度表达式 0 00 00 00 1 ln 1 1 1exp exp1 xt dx ux l dt dx u dtlx lu t x l xu tu t xl lll 分别对时间求 1 阶和 2 阶导数 0 0 2 00 exp exp x u tdx u xu dtl uu td axu x dtll 38 为流场中一任意点 为点邻域内另一点 如果速度场已知 则同一瞬时上述点对于点的相对运动速度可计算如下 M M M uuu uxyz xyz uuu 1 4 速度分解定理1 4 速度分解定理 MM j j i i x x u u r M M r u u rr rxiyjzk 1 4 1 速度分解定理 应变率张量和旋转率张量1 4 1 速度分解定理 应变率张量和旋转率张量 39 uuu uxyz xyz vvv vxyz xyz www wxyz xyz z y x z w y w x w z v y v x v z u y u x u w v u 速度梯度张量速度梯度张量 i ij j u ux x i j uuu xyz uvvv u xxyz www xyz 或称速度梯度张量 二阶张量 速度分解定理 应变率张量和旋转率张量速度分解定理 应变率张量和旋转率张量 40 速度梯度张量速度梯度张量 11 22 1 2 1 2 jj iii ijij jjiji j i ij ji j i ij ji uu uuu sa xxxxx u u s xx u u a xx 速度分解定理 应变率张量和旋转率张量速度分解定理 应变率张量和旋转率张量 41 只有6个独立分量 除对角线元素外 非对角线元素两两对应相 等 可表示为 是一个对称张量 该张量描述流体微团的 变形运动 z w z v y w z u x w y w z v y v y u x v x w z u x v y u x u sij 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ij s jiij ss 应变率张量应变率张量 1 2 j i ij ji u u s xx 速度分解定理 应变率张量和旋转率张量速度分解定理 应变率张量和旋转率张量 42 0 2 1 2 1 2 1 0 2 1 2 1 2 1 0 z v y w z u x w y w z v y u x v x w z u x v y u aij 只有3个独立分量 对角线元素为零 非对角线元素两两互为负 数 可表示为 是一个反对称张量 该张量描述流体微 团的旋转运动 ij a jiij aa 1 2 j i ij ji u u a xx 旋转率张量旋转率张量 速度分解定理 应变率张量和旋转率张量速度分解定理 应变率张量和旋转率张量 43 反对称张量只有三个独立分量 可看作一个矢量的三个分量 z v y w 2 1 1 2 1 2 uw zx y u x v 2 1 3 ij a 旋转率张量旋转率张量 速度分解定理 应变率张量和旋转率张量速度分解定理 应变率张量和旋转率张量 ijijkk a 122132332131132 aaaaaa 11121332 21222331 31323321 0 0 0 ij aaa aaaa aaa 44 111 222 11 22 xyz ijk wvuwvu ijk yzzxxy ijk u xyz uvw 旋转率张量旋转率张量 速度分解定理 应变率张量和旋转率张量速度分解定理 应变率张量和旋转率张量 45 表示由于流体微团绕瞬时轴旋转而产生的点相 对于M 点的速度变化 表示由于流体微团变形而产生的点相对于M点 的速度变化 11 22 1 2 jj iii ijj jjiji ijjijj uu uuu uxx xxxxx sxaxrr rur SA S RD uuu D ur S M 1 2 R uur M 速度分解定理速度分解定理 速度分解定理 应变率张量和旋转率张量速度分解定理 应变率张量和旋转率张量 1 2 ijjijkjk axx r ur ijijkk a 46 只有0 u x 0 11 lim 1 t u dxx t x u x t Dxu x x Dttx u x Dxu x s xDtxx x x u u tx x u x x y y u AO BCB O C A C A u x x u u 1 4 2 应变率张量和旋 转率张量的物理意义 1 4 2 应变率张量和旋 转率张量的物理意义 相对伸长率相对伸长率 47 22 33 1 1 Dyv s yDty Dzw s zDtz 应变率张量对角线分量表示与坐标轴平行的线段元的相对伸长率 同理 应变率张量和旋转率张量的物理意义应变率张量和旋转率张量的物理意义 相对伸长率相对伸长率 48 相对体积膨胀率相对体积膨胀率 11 111 1 ii x y z DDxDyDz y zx zx y Dtx y zDtDtDt DxDyDzuvw xDtyDtz D us Dt Dtxyz 0 0 1 ii DDJ D DJ s JJu Dt tJ Dt 速度的散度等于流体微团的相对体积膨胀率 应变率张量和旋转率张量的物理意义应变率张量和旋转率张量的物理意义 相对体积膨胀率意味 着单位体积流体单位 时间内增加了多少体 积 也可理解为单位 时间有多少流体体积 从单位体积内流出 0 J 49 0 uv yx 设只有 0 lim tg OA t OA t v x t v x t xx v x 同样可推得 y u OB 旋转角速度旋转角速度 tx x v 0 0 B C A B A B A y y x x y y u u x x v v u v ty y u 应变率张量和旋转率张量的物理意义应变率张量和旋转率张量的物理意义 50 流体微团绕 x 轴和 y 轴旋转的角速度 23 31 1 2 1 2 x y wv a yz uw a zx 定义流体线OA和OB的角速度和的平均值为流体微团绕 z 轴旋转的角速度 逆时针为正 OA OB z 应变率张量和旋转率张量的物理意义应变率张量和旋转率张量的物理意义 旋转角速度旋转角速度 12 1 2 z vu a xy 1 2 xyz ijku 由旋转率张量3个非零分量组成的矢量就是流体微团的旋转角速度 51 速度分解定理 1 2 iijjijj usxaxrur S 应变率张量和旋转率张量的物理意义应变率张量和旋转率张量的物理意义 旋转角速度旋转角速度 1 2 urr 表示流体微团旋转引起的两相邻点间速度变化 这里认为点周围很小邻域内的流体像刚体一样以角速度旋转 O r ur 刚体旋转运动刚体旋转运动 52 OA 和 OB 间夹角为 0 B A B A y x tx x v ty y u xy x 轴和 y 轴间夹角变形率 00 1221 limlim 22 xyxy tt xy vu tt D vuxy Dtttxy D uv ss Dtyx xy 0 uv yx 设只有 角变形率角变形率 剪切变形率剪切变形率 应变率张量和旋转率张量的物理意义应变率张量和旋转率张量的物理意义 应变率张量的非对角线分量或表示分别与 x 轴和 y 轴平行的两个 微元线段元之间夹角变化率一半的负值 12 s 21 s 53 角变形率角变形率 剪切变形率剪切变形率 2332 3113 22 22 yz zx D vw ss Dtzy Dwu ss Dtxz 同样可以推得 S23或 S32表示分别与 y 轴和 z 轴平行的两个微元线段元之间夹角变 化率一半的负值 S31或 S13表示分别与 z 轴和 x 轴平行的两个微元 线段元之间夹角变化率一半的负值 应变率张量和旋转率张量的物理意义应变率张量和旋转率张量的物理意义 54 应变率张量和旋转率张量的物理意义应变率张量和旋转率张量的物理意义 ijj rsx S 速度分解定理 1 rot 2 iijjijj usxaxrur S 给出线相对伸长率和剪切变形率对于流体微团内两相 邻点间速度变化的贡献 角变形率角变形率 剪切变形率剪切变形率 55 1 流体微团旋转角速度 2 应变率张量 3 旋转率张量 4 变形速度和旋转速度 例7 设平面简单剪切运动的速度分布为 0uay vw ij s ij a ijj sx 试求 解 00 ijk uxyzak ay 0 20 200 000 ij a sa ijj ax 1 2 y u 1 22 a uk 56 0 20 200 000 ij a aa 0 20 2 200 2 0000 ijj axa y sxaya x z 0 20 2 200 2 0000 ijj axa y axaya x z 3 4 5 222 aaa rkxiyjzkyixj 57 以上结果表明一个平面剪切运动可以分解为一个剪切变形运动和一 个旋转运动 可以用下图直观的表示 2 2 0 ijj a y sxa x 2 2 0 ijj a y axa x 0 0 a y ua y 2 2 ua y va x 2 2 ua y va x 58 1 5 有旋运动的基本概念有旋运动的基本概念 u 涡量涡量 速度的旋度称为涡量 涡量是流体微团旋转角速度的两倍 59 有旋运动与无旋运动有旋运动与无旋运动 流场中处处涡量为零 称势流 或 否则称有旋流动 0 0u 势流势流 60 x y 有旋运动与无旋运动有旋运动与无旋运动 势流势流 在点涡流动中流体微团作圆周运动 但其自身并不旋转 在简单剪切 流动中 流体微团作直线运动 但自身却作顺时针方向的旋转 流动是否有旋主要看流场中的流体微团自身是否旋转 而与其运动轨 迹无关 平面剪切流动 点涡流动 0 z uay vw vu a xy 0 0 11 0 Rz R z uub R u Ruu RRR 参阅404页 61 0 0 0 0 wvuwvu u yzzxxy wvuwvu yzzxxy 称速度势函数 易证以 的梯度形式表示的速度场是无旋场 速度势函数速度势函数 dudxvdywdzdxdydz xyz uvwu xyz 上式即为某一标量函数全微分的充要条件 udxvdywdz 0u 有旋运动与无旋运动有旋运动与无旋运动 62 L l du 速度环量速度环量 速度环量是流体绕封闭曲线旋转强度的度 量 线积分沿逆时针方向进行 L l u 速度环量和涡通量 斯托克斯公式速度环量和涡通量 斯托克斯公式 AA undAndA 涡通量涡通量 63 AL ndAu dl Stokes定理定理 L A A n 由于速度环量是线积分 被积函数是速度本 身 而涡通量则是面积分 被积函数是速度 的偏导数 涡量的分量以速度偏导数表 示 因此利用速度环量常常比使用涡通量 更为简便 速度环量和涡通量 斯托克斯公式速度环量和涡通量 斯托克斯公式 64 涡线涡线 流场中的一条曲线 曲线上 各点的涡量矢量方向和曲线在该点 的切线方向相同 涡管涡管 在流场内作一非涡线且不自相交的封闭曲线 在某瞬时通过该 曲线上各点的涡线组成一管状表面 称涡管 涡管横截面无限小时 称微元涡管微元涡管 涡线 涡面和涡管涡线 涡面和涡管 xyz dxdydz 在某一给定时刻 通过空间同一点的流线和涡线 一般来说方向不 同 在平面流动和轴对称流动中 流线与涡线正交 涡面涡面 在涡量场内取一非涡线的曲线 过曲线每一点作涡线 这些涡 线组成的曲面称涡面 65 0 u 矢量恒等式 涡量场内无源无汇 涡量场的运动学性质涡量场的运动学性质 散度是流出单位体积控制体 的流体体积流量 有源与有汇 涡量场是无源场涡量场是无源场 66 涡线和涡管都不能在流体内部中断涡线和涡管都不能在流体内部中断 由于涡旋场是无源场 可以推断 涡线和涡管都不能在流体内部中 断 如果发生中断 取封闭曲面 将中断处包在其中 则通过封闭 曲面的涡通量将不为零 与无源场事实相矛盾 涡线和涡管只能在流体中自行封闭 形成涡环 或将其头尾搭在固 壁或自由面 或延伸至无穷远 不可压缩流体的速度场是无源 场 因此流线和流管也不能在流 体内部终止 它们必须自行封 闭 或延伸至无穷远 或将其头 尾搭在固壁或自由面上 涡量场的运动学性质涡量场的运动学性质 67 由 对图示涡管 0 12 AA ndAndA 12 12 0 AA AA dndA ndAndA 2 A 1 A 2 1 涡量场的运动学性质涡量场的运动学性质 对一个确定的涡管 它的任一横截面上的涡通量相等 该常数称为 涡管强度 涡管强度涡管强度 1122 AA 当横截面积增加时 截面的平均涡量值减小 反之亦然 引入平均截面涡量概念 68 涡量场的运动学性质涡量场的运动学性质 即在同一时刻围绕周界的速度环量与围绕 周界的速度环量相等 也可以说涡管任意横截 面上的环量相等 12 12 12 AA ndAndA 1 A 2 A 引用斯托克斯公式 涡管强度涡管强度 2 A 1 A 2 1 69 系统系统 某一确定流体质点集合的总体 随时间改变其空间位置 大小和形状 系统边界上没有质量交换 始终由同一些流体质点组成 在拉格朗日参考系中 通常把注意力集中在流动的系统上 应用质 量 动量和能量守恒定律于系统 即可得到拉格朗日参考系中的基 本方程组 系统和控制体系统和控制体 1 6 物质积分的随体导数物质积分的随体导数 雷诺输运定理雷诺输运定理 70 控制体控制体 流场中某一确定的空间区域 其边界称控制面 流体可以通过控制面流进流出控制体 占据控制体的流体质点随时 间变化 在欧拉参考系中通常把注意力集中在通过控制体的流体上 应用质 量 动量和能量守恒定律于控制体 即可得到欧拉参考系中的基本 方程组 系统和控制体系统和控制体 通常力学和热力学定律都是针对系统的 于是需要在拉格朗日参考 系下推导基本守恒方程 而绝大多数流体力学问题又是在欧拉参考 系下求解的 因此需要寻求联系两种参考系下场变量及其导数的关 系式 71 dt kd F t kud t D Fud Dt 对系统体积分的随体导数对系统体积分的随体导数 动量定理动量定理 72 设是单位体积流体的物理量分布函数 而是系统体 积内包含的总物理量 则 r t t Nd t DND d DtDt 1 2 uu uNMkG 质量总动量总动能 对系统体积分的随体导数对系统体积分的随体导数 73 如果利用一个在时刻t与重合 空间位置及大小形状均不随时间 变化的体积 控制体 来替换 上述体积分结果将保持不变 雷诺输运定理雷诺输运定理 把欧拉参考系的积分改变为拉格朗日参考系的积分 积分域由可变 体积变为固定体积 求导和积分运算顺序可相互交换 00 rr r tdJd 0 00 0 00 00 0 1 t t DD r t dr r tt Jd DtDt DDJDDJ JdJd DtDtDtJ Dt DD u Jdu d DtDt 1 DJ u J Dt t t t DD du d DtDt t DND d DtDt 74 雷诺输运定理雷诺输运定理 t D uuuu Dttt D dud Dtt tA D ddu ndA Dtt t DD du d DtDt 高斯公式 公式左侧表示一个系统的总物理量对时间的变化率 公式右侧第一项表示 在 t 时刻与系统重合的固定控制体内的物理量的变化率 这个变化是由于 分布函数的不定常性引起的 公式右侧第二项表示通过控制面净流出控制 体的物理量流率 此项是由于分布函数的不均匀性以及系统的空间位置和 体积形状随时间改变而引起的 公式右侧分别是针对静止控制体和静止控 制面的积分 被积函数是欧拉参考系中的变量 tA Dd ddu ndA Dtdt 75 0 00 0 00 t DD dJd DtDt DJDD J dJd DtDtDt 0 0 0 DJDJdDD dddm DtDtDtDt t 用静止控制体 替换 t DD dd DtDt 雷诺输运定理雷诺输运定理 令 考虑到 0 0 tt DDD dJdd DtDtDt 76 例8 给定一流场的速度分布和密度分布为 333 xyz uvw rrr 3 3 k rt 2222 rxyz 其中 k 为非零常数 求 1 在流场中某点的流体密度随时间的变化率 2 流体质点密度在运动过程中随时间的变化率 3 证明体积中的流体质量的随体导数等于零 0ra 3k t 解 222 333 222 222 3333 33330 D uvw Dttxyz xxyyzz kkrkrkr rrrrrr xyz kkkk rrr 1 2 A A O a 77 3 3 3 tt Mdk rt d 33 0 3 lim 3 A A DMd k rt dk rt u ndA Dtdt 333 3 3 34 d k rt dk rt dkdk a dtt 在体积中流体质量为0ra A A O a n n tA Dd ddu ndA Dtdt 是以0点为圆心 半径为 的圆面 A 78 3333 2 32 2 2 3323 2 0 0 3 1 1 1 1 3 3 sin4 3 3 A xiyjzkr u rrrr A rr u nu na rrr A u nu n k rt u ndAk atad dk at a k rt u n 在 表面上 在表面 2 323 2 0 0 33333 1 3 sin4 3 3 4 3 4 3 44 A A A dAktd dkt k rt u ndAk atktkak 333 3 3 3 A A AA k rt u ndAk rt u ndAk rt u ndA A A O a n n 79 于是 3 0 lim4 A A u ndAka 3 0 33 3 lim 440 A A DM k rt du ndA Dtt kaka P x y z a sina a 2 sinAa 80 下标表示面元的法线方向 nA 1 7应力张量1 7应力张量 应力矢量应力矢量 应力矢量方向与法线方向不一定重合 nn pp r t n 0 lim n A F p A n p n A 应力矢量是一个特殊矢量 81 nn pp n p n p 正侧流体对负侧流体的作用应力 负侧流体对正侧流体的作用应力 应力矢量应力矢量 n n p A n p 82 nnnn p npn nn 2 2 nnnn p 应力矢量的投影应力矢量的投影 应力矢量应力矢量 n p n A 83 nznynxn p 应力的双下标表示法 第 1 个下标表示应力所在平面的法线方向 第 2 个下标表示应力投影方向 应力矢量应力矢量 应力矢量的投影应力矢量的投影 应力矢量向坐标轴投影 84 t ud t gd n A t p dA n tA tt D udp dAgd Dt 系统中流体动量的变化率等于作用在该系统上的质量力和表面力之和 积分形式的动量方程积分形式的动量方程 由动量定理得积分形式的动量方程如下 系统的动量 作用在系统上的重力 作用在系统上的表面力 应力张量应力张量 85 引入系统的一个特征长度 于是系统的体积为 而系统表 面积则与成正比 用遍除上式各项 然后让上述流体系统在保持 原形状不变的条件下收缩到一点 即令 则两个体积分项趋于零 积分形式的动量方程积分形式的动量方程 应力张量应力张量 2 0 lim0 n L A t Lp dA 0L 1 3 Lt 3 L 2 L 2 L n tA tt D udp dAgd Dt 86 x n n p x p z p y p 0 z A y C B 应力张量应力张量 四面体流体元受力平衡四面体流体元受力平衡 倾斜面外法线单位矢量为 cos cos cos xyz nn x in y jn z k n in jn k 倾斜面和其余三个面的面积分别为 xyz AnAnAnA 倾斜面和其余三个面上作用的应力矢量分别为 nxyz pppp 取四面体流体元 nxxyyzzn A t p dAn pn pn pp 四面体表面力合力 87 2 0 2 0 lim0 lim0 n L A t xxyyzzn L nxxyyzzxxyyzz Lp dA A n pn pn pp L pn pn pn pn pn pn p 每个表面上应力可认为均匀分布 四面体流体元受力平衡四面体流体元受力平衡 应力张量应力张量 四面体体积在保持形状不变条件下趋于零 一个流体微团所受到的表面力是局部平衡的一个流体微团所受到的表面力是局部平衡的 88 xxxxyxz yyxyyyz zzxzyzz nnxnynz nxnynz xxxyyxzzx xxyyyyzzy xxzyyzzzz pijk pijk pijk pijk ijk i nnn j nnn k nnn 四面体流体元受力平衡四面体流体元受力平衡 应力张量应力张量 nxxyyzz pn pn pn p 89 nxxxxyyxzzx nyxxyyyyzzy nzxxzyyzzzz xxxyxz nxnynzxyzyxyyyz nijji zy n xzzz n p nnn nnn nnn n nn n 应力矢量与应力张量应力矢量与应力张量 应力张量应力张量 90 ij zzzyzx yzyyyx xzxyxx 或称应力张量 应力张量的对角线元素为法向应力分量 非对角线元素为切向应力 分量 应力张量应力张量 应力矢量与应力张量应力矢量与应力张量 nijji n n pn 91 应力张量的9个独立分量某瞬时在每一空间点都有唯一确定的值 与无关 只是空间点位置和时间的函数 n n p n r tnr t 应力张量应力张量 应力矢量与应力张量应力矢量与应力张量 由九个分量 下文中将证明只有6个独立分量 组成的应力张量完全表达了 给定时刻一点的应力状态 如何求一点沿某个方位的应力矢量 92 应力张量应力张量 动量方程动量方程 上述积分的被积函数是连续的 积分区域是任选的 欲使上式恒等 于零 被积函数需恒等于零 Du g Dt 以张量下标形式可写为 ji i i j Du g Dtx 0 n tA tt A D udp dAgd Dt Du dndAgd Dt Du ddgd Dt Du g d Dt t DDu udd DtDt 93 应力张量的对称性应力张量的对称性 动量矩定理 DH T Dt 系统的角动量或动量矩 t Hru d 作用于流体系统的力矩 包括由质量力 重力 和表面力产生的力矩 n tA t Trg drp dA 将动量距和力矩的表达式代入动量距方程 n ttA t ijkjkijkjkijkjnk A D rudrg drp dA Dt D x u dx g dxdA Dt r u ijkjk aba b t DDu udd DtDt 94 应力张量的对称性应力张量的对称性 2 li lli lAA ijkjnkijkjlkllijkjlkijkjlk lAAA ijkjkijkjkijkjlk l p ndAdn p dAd x xdAxn dAnxdAxd x D x udx g dxd Dtx PP 由高斯公式或 上式右侧第 项 代入动量方程 0 ijkjkjlkjk l D x uxx gd Dtx nkllk n ijkjkijkjkijkjnk A D x u dx g dxdA Dt 95 2332131132 12213 0 0 0 klk ijkjkijkjkijkjk l ijkjk ijkjk Du xgu ud Dtx d ee e 展开被积函数并加以整理 引用动量方程 0 ijji 应力张量的对称性应力张量的对称性 jkjlkjk l jj klk jkjlkjk ll klk jkjklkjl l D x uxx g Dtx Dxx Du xuxx g DtDtxx Du xgu u Dtx 0 ijkjkjlkjk l D x uxx gd Dtx 0 jj jjlijkjk l Dxx uu uuu Dtx 应力张量是对称张量 独立分量只有6个 96 例10 流体内某处的应力张量可表示为 012 120 201 试求作用于平面外侧 离开原点一侧 的应力矢量 及应力矢量的法向和切向分量 31xyz 310Fxyz 解 求该平面外侧的法向单位矢量 2 33 11 1 31 Fijkijk n F 012 11 1 3 1 120 5 7 3 1111 201 n pn x z y 97 5 11 17129 1 3 1 521 3 11111111 3 11 nnn n p 2 222 22 573296 2 111111 nnnn p 98 同一点各个不同方向上的法向应力是相等的 取是强调压强与作用面的法线方向相反 在理想流体或静止流体中 只要用一个标量函数即压强函数便完全 地描述了一点上的应力状态 nxxxx nijijnyyyy nzzzz n nn n nxnnx nnnnynny nznnz n pnn n 理想流体与静止流体的应力张量理想流体与静止流体的应力张量 在理想流体或静止流体中切应力为零 xxyyzznn p p p nxxxxyyxzzx nyxxyyyyzzy nzxxzyyzzzz nnn nnn nnn 99 0010 1 0001 nn ijnnij nn p ppp p ijij pp I I称单位张量 一个单位张量和矢量的点积等于这个矢量本身 aa I 理想流体与静止流体的应力张量理想流体与静止流体的应力张量 100 例11 圆球表面应力如下 0 33 cos sin 0 22 rrrr UU p aa 求圆球所受的力 以上表达中 为无 穷远处压强和流体速度 为动力粘性系 数 a为圆球半径 Up 0 球坐标和直角坐标关系 解 sin cos sin sin cos cos cos cos sin sin sin cos rxyz xyz xy eeee eeee eee rrrrrr peee nr AA Fp dAp dA rr r r P x y z a U 0 p 101 0 0 3 cos sincos sinsin cos 2 3 sin coscos cos sin sin 2 3 2 rrrrr xyz xyz rz pee U peee a U eee a U p ee a 22 22 0 0 00 0 2 22 0 0 3 sinsin 2 33 sin46 22 rrz zzz U Fp ad dp ee ad d a UU e ad da eUae aa 2 0 0 0 000 sin0 0 r r AA p ed d p e dAnp dAp d 注意 102 又解 由于 与对方向对称 因此它们无 方向 和垂直于z 轴方向的分量 只有沿z轴方向的分量 cossin 2sin zrrr A Feaad 2 22 0 0 2 0 0 2 2 0 3cos3 2cossinsin 22 3 2cossin 2 sin3 2cos 022 6 z z z z UU eapd aa U eapd a pU ea a Ua e rr r r P x y z a 0 r rr r 0 33 cos sin 22 rrr UU p aa 103 例12 试求图示圆柱坐标系微元体所受表 面力的合力 计算中可取每个表面中心的 应力作为该表面的平均应力 已知单位矢 量和均是 的函数 且 微元体中心的应力张量已知 R e e R e e R e e 解 RRRRR zzzzz RRRRR zzzzz Fp Rd dzp Rd dz p dzdRp dzdRp RdRdp RdRd RpRpd dzppdzdR RpRpdRd R dR dz x z d z 104 r e 0 lim1 rr r r r ee ee e e r e 0 lim1 r ee ee e e e e e r e r e r e e e 105 2 222 22 RRRRR R RRRRRRR R RRR R RRRRRR RpRp RR RpRpRpRp RR RpR R RpRpRpR R R dR dz x z d z 同理 zzzzzz p ppd RpRpRp dz z Rz p FRpRpd dzdR Rz RRRRR zzzzz FRpRpd dzppdzdR RpRpdRd 106 Rz RR RRRz z R Rz zzR Rzzz z R RRRRRzzRR p FRpRpd dzdR Rz eee R R eeeeee RdRd dz z ReReRee RRR z RzzRRzzzz ee eeReReRedRd dz zzz R dR dz x d RR Rz R