阿基米德穷竭法与缪顿莱布尼兹微积分求积法之比较.doc

阿基米德穷竭法与牛顿莱布尼兹微积分求积法之比较摘要：微积分是人类伟大的智慧结晶，它给出了一整套的科学方法，并具有将复杂问题划归为简单规律和算法的能力。微积分的诞生加强和加深了数学的作用，开创了科学的新纪元。本文从阿基米德穷竭法的思想入手，列举了运用阿基米德的极限思想来解决求曲边形面积和抛物线弓形面积问题。简述促使微积分产生的主要因素、牛顿微积分和莱布尼兹微积分的思想以及牛顿莱布尼兹微积分在解决实际问题中的运用，并对二者求积法进行比较。关键词：极限 穷竭法 微积分 应用引言极限要解决的主要矛盾是近似与精确的矛盾，圆周率的计算史已经清楚的说明了这一点。代数是人们已经熟悉的概念，但是，代数无法处理“无限”的概念。所以为了要利用代数处理代表无限的量，于是精心构造了“极限”的概念。这个概念绕过了用一个数除以0的麻烦，而引入了一个过程任意小量。实用性证明，这样的定义还算是比较完善的，并且给出了正确推论的可能。因此概念是成功的，创造性的。 一.阿基米德穷竭法的思想穷竭法是古希腊伟大的科学家阿基米德(公元前287-212)发明的一种求曲边形面积的方法。就是将一个曲边图形“细”分成若干个“小的矩形或三角形”(即各种简单“直边形”)，首先分别求这些“小直边形的面积”，然后将这些面积“加”起来，就求得该曲边图形的“近似面积”。求曲面体积也是按类似原理。显然，将一个曲边图形“分得越细”，细得以至于不可再细时，得到的“结果”将越“精确”，这就是“穷竭法”思想的精髓。“穷竭法”也被后人称为阿基米德原理。 古希腊的安提芬（公元前480-403年)最早表述了穷竭法，他在研究“化圆为方”问题时，提出了使用圆内接正多边形面积“穷竭”圆面积的思想。 后来，古希腊数学家欧多克斯(公元前 408-355 年)改进了安提芬的穷竭法。将其定义为：“在一个量中减去比其一半还大的量，不断重复这个过程，可以使剩下的量变得任意小”。 古希腊数学家阿基米德进一步完善了“穷竭法”，并广泛应用于求解曲面面积和旋转体体积问题中。当时，“穷竭法”已经蕴涵了微积分的思想分成小直边形就是“微分”；小直边形形的面积加起来就是“积分”，阿基米德最早使用“穷竭法”进行了积分运算，是微积分学的先驱。 但阿基米德原理却没有“极限”概念，也不通过“坐标系”和“函数”来解决问题，故它还不能被称为“微积分”。而“穷竭”，实际就是“达到极限”，再不能继续往下进行的意思，但当时还不没有“极限”这一概念，所以阿基米德就形象地将这种方法用“穷竭”二字来形容了。阿基米德把穷竭法即极限的思想用在求曲边形面积上，并找到了计算抛物线弓形、螺线、圆形等面积的方法,也给出了计算球体、椭球体、旋转抛物体等表面积和体积的方法,他使得“穷竭法”得到发扬光大，这一思想类似于微积分中的逐步近似求极限的方法.下面列举阿基米德穷竭法思想在求曲边形面积和抛物线弓形面积问题中的运用。1. 求曲边形面积例1：计算y=x2与x轴在x=0和x=1之间围成的曲边三角形的面积。（见下图）解：求曲边三角形的面积就是求图中“竖条”部分的面积，具体步骤如下第一步：先把曲边三角形底边0,1分成n等分，则分点分别是1/n,2/n,(n-1)/n。 第二步：过每个分点作底边的垂线，这样曲边三角形就被分成了n个窄条，这些窄条近似于一个个矩形。而每个矩形的底宽为1/n,高为(i/n)2(i=0,1,2,n-1)（注：高就是y，而y，由y=x2算出来。x就是横坐标，它们分别是0、1/n,2/n,）。 第三步：将这些矩形条的面积加起来，就得到了这个曲边三角形的面积S的近似值Sn:Sn=0(1/n)+(1/n)2(1/n)+(2/n)2(1/n)+(n-1)/n2(1/n)=1/n3n(n-1)(2n-1)/6=1/6(1-1/n)(2-1/n)这里“n”可以取任意值。对于每一个n,我们都有相应的Sn的值与之对应。随着n的增大，Sn的值将越来越接近S。为了得到S的精确值，使n无限制地增大，从图形上看，即分的“窄条”越来越窄，以至于窄得不可再窄时，Sn即 “窄条矩形总和” 最大限度地逼近了S，也就是曲边三角形的面积，亦即“穷竭”了，再无“潜力”可挖了，这就是阿基米德称之为“穷竭法”的缘故。经过“穷竭法”处理后，从数值上看，Sn将无限接近于一个确定的数，而这个数就是曲边三角形的面积S，这个数等于1/3。阿基米德就是通过“穷竭法”求得这个结果的。2. 求抛物线弓形面积 例2：AB为抛物线一割线，过点 M 作直徑（平行于拋物线轴的直线叫做拋物线的直径）交拋物线于点 C。证明：弓形 ACB 的面积等于ABC的4/3倍。(见下图) 图一 图二证：第一步，证明弓形 ACB 可以被一连串的三角形所“穷竭”。如图一，这一连串三角形的作法如下：从 AC、BC 的中点 K、L 作抛物线的直径，分別交拋物线于 P、Q，三角形APC、BQC填充于弓形与ACB之间的空隙处。依同法，从AP、CP、CQ、BQ 的各中点作直径交拋物线于四点，又可得四个三角形填充于所剩下的空隙。如此反复进行，就可以得到一连串的三角形。那么这一连串的三角形能“穷竭”弓形面积吗？也就是说，能填满空隙吗？用眼睛看显然不成问题，但阿基米德还是给了一个证明。如图二，过 C 点作切线，则此切线平行于 AB；过 A、B 作直线平行于 CM，分別交切线于 D、E，则ADEB为平行四边形。因此SABC=1/2*SADEB1/2*S弓形 ACB。同理可证SAPC1/2*S弓形 APC，SBQC1/2*S弓形 BQC。如此反复进行，每一次所作的三角形都能把剩下的空隙填掉一半以上，所以这一连串的三角形最终能把弓形“穷竭”。 第二步，求和阿基米德证明了 = 、 。如果 的面积为 A0，则第一次填空隙的两个三角形其面面积和为A1 =1A0/4。同理，第二次填空隙的四个三角形每個个面积都等于第一次填空隙所用三角形（如 ）的 ，所以总面积和 。以此类推，第 n 次填空隙的三角形面积和 An 等于 。所以 这时问题似乎已经解决了，上面的计算用了无穷等比级数的和公式 ，但阿基米德的时代人们只会求有限项等比级数的和。所以为了证明弓形的面积等于 ，他用穷竭法中典型的间接证发做了第三步的讨论： 由等比級數的和公式知 = = = = （1）假如弓形的面积 A 大于 ，则因诸 An 可以穷竭 A，所以当n 足够大时， 会落在 及 A 之间，即 ；但由先前的(1)式知 ，故得矛盾。反之，如果 A 小于，則可以选很大的 n，使得 （2）但由(1)式，得 （3）比較(2)、(3)两式，得 ，这又是个矛盾。既然 或 的假设都不對对，A 当然就得等于 了。