高等数学与高考“谈恋爱”.pdf

证明 不妨设 由于 所以 则 因此 左不等式得证 再证右不等式 由题设及条件 得 于是可设 其中 则 又 所以 当且仅当 时 等号成立 综上所述 作者简介 何有钰 男 陕西靖边人 年 月生 中 学高级教师 赵世念 男 陕西靖边人 年 月生 中学一 级教师 曾被授予 陕西省中学教学能手 等称号 高等数学与高考 谈恋爱 广东顺德区杏坛中学 陈美茹 许多的数学教师认为在中学执教只须会做中 学题目 大学中学到的数学知识一点都用不上 甚至 有人认为 高等数学知识对中学教学弊大于利 事实 上 高等数学在某种程度上开阔中学教师的视野 在 指导解决中学问题方面 有很大的作用 另外 近几年 以高等数学为背景的高考命题成 为热点 许多省市高考试卷有关试题往往采用高等 数学背景 特别是压轴题 如果用传统的初等数学方 法解答 可能会较难 繁 但是 如果在高等数学的观 点下 这些问题往往能轻易得到解决并且出现新意 从而体现高观点解题的好处 所以 对高等数学方法在高考数学中应用的研 究和总结 将有利于提高数学教师继续学习的热情 也对中学数学教学有一定的指导作用 下面就从几 个方面来探讨这个问题 运用柯西不等式解决高考数学问题 引理 在一个欧氏空间里 对于任意向量 有不等式 当且仅当 与 线性相关时 上式才成立 引理 对于任意实数 有不等式 利用柯西不等式求解最值 例 年高考陕西卷第 题 不等式选 讲 已知 均为正数 且 则 的最小值为 解 此题如果应用高中知识 可应用均值不等 式证明 下面应用柯西不等式 给出此题一个比较新 颖的证明 所以 的最小值为 评注 参考答案用的是初等数学的方法 利用 基本不等式求解 但这有两个缺点 一是需要展开式 子 二是在求解中使用两次基本不等式 较为麻烦 利用柯西不等式证明不等式 例 年高考福建理科卷第 题 已知 函数 且 的 解集为 求 的值 若 且 求证 证明 略 由 知 又 由柯西不等式得 利用柯西不等式解多元方程 例 年高考湖北理科卷第 题 设 且满足 中学数学杂志 年第 期 则 解 由柯西不等式得 当且仅当 时等号成立 又已知 刚 好 满 足 则 此时 结合 得 所以 运用拉格朗日中值定理解决高考数学问题 定理 拉格朗日中值定理 若函数 满 足如下条件 在闭区间 上连续 在 开区间 内可导 则在 内至少存在一点 使得 例 年高考全国卷 第 题 设函数 证明 若对所有 都有 则 的取值范围是 证明 当 时 对任意的 都有 当 时 问题即转化为 对 所有 恒成立 令 由拉格朗日中值定理知 内至少存在一点 从而 使得 即 由于 故 在 上是增函数 令 得 所以 的取值范围是 评注 参考答案用的是初等数学的方法 即令 再分 和 两种情况讨论 其中 又要去解方程 但这有两个缺 点 首先 为什么 的取值范围要以 为分界展开 其 次 方程 求解较为麻烦 但用拉格朗日中值 定理求解就可以避开讨论 省去麻烦 例 年全国卷 题 设函数 如果对任何 都有 求 的 取值范围 证明 当 时 显然对任何 都有 当 时 由拉格朗日中值定理知 存在 使得 又知 从而 令 得 令 得 所以在 上 的 最 大 值 在 上 的最大值 从而函数 在 上的最大 值是 由 知 当 时 的最大值为 所以 的最大值 为了使 恒成立 应有 所以 的取值范围是 评注 这道题的参考答案的解法是令 再去证明函数 的最小值 这与上述的思路是一样的 但首先参考答案的解法 中有个参数 要对参数 进行分类讨论 其次为了 判断 的单调性 还要求 和 的解 这个求解涉及到反余弦 较为复杂 而用拉格朗日中值定理就可以避开麻烦 省去讨论 再次体现了高观点解题的优越性 例 年辽宁卷理 题 已知函数 讨论函数 的单调性 证 明 若 则 对 任 意 有 证明 略 由 得 所以要证 成立 中学数学杂志 年第 期 即证 下面即证之 令 则 由于 所以 从而 在 上恒成立 即 又 故 则 即 所以 评注 这道题 小题存在两个难点 首先有 两个变量 其次 的值是变化的 参考答案的解 法是考虑函数 为什么考虑函数 很多考生一下子不易想到 而且 的 放缩也不易想到 拉格朗日中值定理是数学分析的一个重要定 理 是解决函数在某一点的导数的重要工具 近年 来 不少高考压轴题以导数命题 往往可以用拉格朗 日中值定理求解 固然 这些压轴题用初等数学的方 法也可以求解 但初等数学的方法往往计算量较大 这时 用拉格朗日中值定理较容易解决 这就充分体 现了高等数学的优越性 有力反驳了 高数无用论 的错误的想法 运用凸函数的性质解决高考数学问题 在一些不等式证明和函数求值问题中 如果我 们运用高等数学中的函数性质 不仅能简化解题过 程 而且能在某种程度上开阔我们的眼界 定义 在区间 连续 对 中任意 两点 有 则称 在 上是向上凸的 则称 在 上是向下凸的 引理 詹森不等式 设 为区间 上的凸 函数 则对任意 有 对上凸函数 也有类似结论 引理 设 为区间 上的二阶可导函数 则在 上 为下凸 上凸 函数的充要条件是 例 年全国高考卷 已知函数 设 讨论 的单调性 对任意 恒有 求 的 取值范围 证明 略 由题意可知 对任意 恒有 即 两边同时取自然对数 得 对任 意 恒成立 令 则 因为 所以 且 从而 在 内单 调递减且图象是严格上凸的 又由 知 的图象在过点 且切线斜率 的直线方程 的下方 由 知 的图象总在 的图象的上方 所以 的图象不在直线 的下方 则 对任意 恒成立 从 而得到 评注 本题主要考查利用导数的方法判断函 数的单调性 左端点求右极限的知识 在此基础上结 合严格上凸函数图象的特性 根据求使不等式成立 的条件 巧思妙解求出 的取值范围 例 年全国高考题 设函数 求 的最小值 设正数 满足 证明 解 构造函数 则 其中 则 由于 所以 在 是 严 格 下 凸 的 由 詹 森 不 等 式 有 因而 即 所以 的最小值是 中学数学杂志 年第 期 由詹森不等式可知 将 代入上式左边 得 所以 即 评注 本题是当年全国高考理科卷压轴题 考 查了考生巧构函数 利用求导数的方法判断函数图 象的凸性 运用 不等式 可使解答过程简洁流 畅 运用矩阵的方法解决高考中有关问题 例 年高考陕西卷 为确保信息安全 信息需加密传输 发送方由明文 密文 加密 接 收方由密文 明文 解密 已知加密规则为 明文 对应密文 例如 明 文 对应密文 当接收方收到密文 时 则解密得到的明文为 解法 设密文为 明文是 则有 当 时 例 年高考广东卷 已知数列 满足 若 则 解 依题意 由 的 特 征 多 项 式 得 从而 又 故 而 故 选 评注 此题应用高中知识须构造新的的数列 然后运用叠加法才能解 如果运用高等数学的矩阵 的相关知识 解法会变得很简单 运用组合数学知识解决高考中数列的问题 定义 设 是 个常数且 则 称为 阶常系数线性齐次递推关系 定义 方程 称为递推关系 的特征方程 它的根称为特 征关系 的特征根 定理 如果递推关系 的 个特征根 彼此相异 则 是递推关系 的通解 其中 为任意 常数 定理 递推关系 有 个相异的特征 根 其中 是 重根 令 其中 是任意常数 则递推关系 的 中学数学杂志 年第 期 通解为 定义 设 是 个常数且 是以非负整数 为自变量的实函数 则递推 关系 称为 阶常系数非齐次递推关系 定理 设 是递推关 系 的一个解 是 的通解 则 是递推关系 的通 解 定理 设 是 的 次多项式 如果 是 递推关系 的 重特征根 则递推关系 有 特解 其中 是 的一个 次多项式 例 年广东文科高考题 设数列 满足 求数列 的通项公式 解 题中的递推关系可改写成 它的特征方程为 特征根为 故其通解为 其中 为待定系数 代入初始条件得到 解得 所以 评注 这道题用高中的知识必须构造新的等 比数列 然后用累加法求出题目 所求的通项公式 构造数列需要一定的技巧 如果应 用组合数学中的知识 解法就变得很简单 例 年全国高考题 已知数列 中 求 的通项公式 解 可 改写成 即 递推关系 的特征方程为 特征根为 故其通解为 因为 式无等于 的特征根 所以递推关系 有特解 其中 是待定常数 代入 式 得 得 于是 其中 为待定常数 由初始条件得 解得 所以 评注 同上例题 这个题目用高中的知识必须 构造新的等比数列 若应用组合数 学的知识求解 就变得较容易了 从以上题目与参考答案不同的解法中 我们可 以感受到高等数学对初等数学具有居高临下的指导 作用 近几年 高观点下的高考命题颇受命题者的青 睐 因此 作为新时代的教师 有必要加强自己对高 等数学的研究 参考文献 张禾瑞 郝鈵新 高等代数 北京 高等教育出版社 华东师范大学数学系