高中函数的总复习.doc

正比例函数 一般地，形如y=kx（k是常数，k0）的函数，叫做正比例函数（proportional function），其中k叫做比例系数也就是说，形如y=kx+b，且b0的函数是正比例函数。正比例函数图象和性质一般地，正比例函数y=kx（k是常数，k0）的图象是一条经过原点和（1，k）的直线我们称它为直线y=kx.当k0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k0时，图像经过一、三象限；k0，y随x的增大而增大；k0时，向上平移；当b0，图象经过第一、三象限；k0，图象经过第一、二象限；b0，y随x的增大而增大；k0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；当b0时，f(x)=ax+b/x有最小值（这里为了研究方便，规定a0，b0），也就是当x=sqrt(b/a）的时候（sqrt表示求二次方根） 奇函数。 令k=sqrt(b/a），那么： 增区间：x|x-k和x|xk； 减区间：x|-kx0和x|00的基础上的，不过对勾函数是奇函数，所以研究出正半轴图像的性质后，自然能补出对称的图像。如果出现平移了的问题（图像不再规则），就先用平移公式或我总结出的平移规律还原以后再研究，这个能力非常重要，一定要多练，争取做到特别熟练的地步。 事实上，利用将对勾函数进行选择可以得到标准的双曲线方程。也就是说，对勾函数是双曲线，这个利用二阶矩阵的变幻也是可以得到的。 另外对于二次曲线，他只可能是以下几种情况：圆，椭圆，双曲线，抛物线，或者是两条直线。 由对勾函数的图像看出来，非双曲线莫属了。 其它解法面对这个函数 f(x)=ax+b/x,我们应该想得更多，需要我们深入探究：它的单调性与奇偶性有何应用？而值域问题恰好与单调性密切相关，所以命题者首先想到的问题应该与值域有关；函数与方程之间有密切的联系，所以命题者自然也会想到函数与方程思想的运用；众所周知，双曲线中存在很多定值问题，所以很容易就想到定值的存在性问题。因此就由特殊引出了一般结论；继续拓展下去，用所猜想、探索的结果来解决较为复杂的函数最值问题。 高考例题2006年高考上海数学试卷（理工农医类）已知函数 y=x+a/x 有如下性质：如果常数a0，那么该函数在 (0,a 上是减函数，在 ，a,+）上是增函数 如果函数 y=x+（2b)/x （x0）的值域为 6,+），求b 的值； 研究函数 y=x2+c/x2 （常数c 0）在定义域内的单调性，并说明理由； 对函数y =x+a/x 和y =x2+a/x2（常数a 0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F(x) =(x2+1/x)n+（1/x2+x)n（x 是正整数）在区间½,2上的最大值和最小值（可利用你的研究结论） 当x0时，f(x)=ax+b/x有最小值；当x0, 由均值不等式有： f(x)=x+1/x=2根号（x*1/x)=2 当x=1/x取等 x=1，有最小值是：2，没有最大值。 当x0 f(x)=-(-x-1/x) 0,b0）在x0上的单调性 设x1x2且x1，x2（0，+） 则f(x1）-f(x2）=(ax1+b/x1） -（ax2+b/x2） =a（x1-x2）-b（x1-x2）/x1x2 =（x1-x2）（ax1x2-b）/x1x2 因为x1x2，则x1-x20 当x（0，（b/a）时，x1x2b/a 则ax1x2-bb-b=0 所以f(x1）-f(x2）b/a 则ax1x2-bb-b=0 所以f(x1）-f(x2）0，即x（b/a），+）时，f(x)=ax+b/x单调递增。 重点（窍门）其实对勾函数的一般形式是： f(x)=x+a/x(a0) 定义域为（-，0）（0,+） 值域为（-，-2根号a2根号a,+） 当x0，有x=根号a，有最小值是2根号a 当x0），它的单调性讨论如下： 设x1x2，则f(x1）-f(x2）=x1+a/x1-(x2+a/x2）=(x1-x2）+a(x2-x1）/(x1x2）=(x1-x2）（x1x2-a)/(x1x2） 下面分情况讨论 当x1x2-根号a时，x1-x20,x1x20，所以f(x1）-f(x2）0，即f(x1）f(x2），所以函数在（-，-根号a）上是增函数 当-根号ax1x20时，x1-x20,x1x2-a0，所以f(x1）-f(x2）0，即f(x1）f(x2），所以函数在（-根号a,0）上是减函数 当0x1x2；根号a时，x1-x20,x1x2-a0，所以f(x1）-f(x2）0，即f(x1）f(x2），所以函数在（0，根号a）上是减函数 当根号ax1x2时，x1-x20,x1x20，所以f(x1）-f(x2）0，即f(x1）1，且*负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。当是奇数时，当是偶数时，2分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义3实数指数幂的运算性质（1） ；（2） ；（3）（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和12、指数函数的图象和性质a10a10a1定义域x0定义域x0值域为R值域为R在R上递增在R上递减函数图象都过定点（1，0）函数图象都过定点（1，0）三角函数04. 三角函数 知识要点1. 与（0360）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）：终边在x轴上的角的集合： 终边在y轴上的角的集合：终边在坐标轴上的角的集合： 终边在y=x轴上的角的集合： 终边在轴上的角的集合：若角与角的终边关于x轴对称，则角与角的关系：若角与角的终边关于y轴对称，则角与角的关系：若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：2. 角度与弧度的互换关系：360=2 180= 1=0.01745 1=57.30=5718注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.、弧度与角度互换公式： 1rad57.30=5718 10.01745（rad）3、弧长公式：. 扇形面积公式：4、三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）P与原点的距离为r，则 ； ； ； ； ；. .5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.7. 三角函数的定义域：三角函数 定义域sinxcosxtanxcotxsecxcscx8、同角三角函数的基本关系式： 9、诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限” 三角函数的公式：（一）基本关系 公式组三 公式组二 公式组四 公式组五 公式组六 （二）角与角之间的互换公式组一 公式组二 公式组三 公式组四 公式组五 ,.10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：（A、0）定义域RRR值域RR周期性 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当非奇非偶当奇函数单调性上为增函数；上为减函数（）；上为增函数上为减函数（）上为增函数（）上为减函数（）上为增函数；上为减函数（）注意：与的单调性正好相反；与的单调性也同样相反.一般地，若在上递增（减），则在上递减（增）.与的周期是.或（）的周期.的周期为2（，如图，翻折无效）. 的对称轴方程是（），对称中心（）；的对称轴方程是（），对称中心（）；的对称中心（）.当；.与是同一函数,而是偶函数，则.函数在上为增函数.（） 只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，为增函数，同样也是错误的.定义域关于原点对称是具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：，奇函数：）奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：是奇函数，是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）奇函数特有性质：若的定义域，则一定有.（的定义域，则无此性质）不是周期函数；为周期函数（）；是周期函数（如图）；为周期函数（）；的周期为（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如： . 有.11、三角函数图象的作法：）、几何法：）、描点法及其特例五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.）、利用图象变换作三角函数图象三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等函数yAsin（x）的振幅|A|，周期，频率，相位初相（即当x0时的相位）（当A0，0 时以上公式可去绝对值符号），由ysinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|1）或缩短（当0|A|1）到原来的|A|倍，得到yAsinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换（用y/A替换y）由ysinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0|1）或缩短（|1）到原来的倍，得到ysin x的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换(用x替换x)由ysinx的图象上所有的点向左（当0）或向右（当0）平行移动个单位，得到ysin（x）的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移(用x替换x)由ysinx的图象上所有的点向上（当b0）或向下（当b0）平行移动b个单位，得到ysi