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文档简介
高 等 数 学第四次课教学内容:无穷小,无穷大,极限运算法则教学目的:(1)了解无穷小概念及其与函数极限的关系(2) 了解无穷小与无穷大的关系,函数的左右极限与函数极限的关系(3) 熟练掌握极限运算定理及其用法教学重点:无穷小的概念,极限四则运算教学难点:无穷小的概念,极限四则运算教学关键:极限四则运算的运用教学过程:一、无穷小与无穷大1、无穷小:定义1、如果函数当为当时的无穷小。如为无穷小如为无穷小说明:1任何一个非零常数都不是无穷小量2一个函数是否为无穷小量,与自变量的变化趋势有关定理1、在自变量的同一变化过程中,函数具有极限A的充分必要条件是=A+,其中是无穷小。2、无穷大如果当时,无限增大,则称函数是当时的无穷大量。定义2、设函数在的某一去心邻域有定义(或大于某一正数时有定义)。如果对于任意给定的正数M,总存在正数(或正数X),只要适合不等式(或),对应的函数值总满足不等式,则称函数为当时的无穷大。注意:无穷大与很大数的区别 3、 无穷小与无穷大的关系定理2:在同一变化过程中,如果为无穷大,则为无穷小:反之,如果为无穷小,且,则为无穷大例:当时,为无穷小,为无穷大。说明:此定理只使用于同一变化过程。无穷大不是数,不可与很大的数混为一谈。例:下列函数在什么情况下为无穷小?在什么情况下为无穷大?1、 解:时为无穷小,在时为无穷大。2、 解:时为无穷小,为无穷大,为无穷大3、 解:为无穷小,为无穷大。二、极限运算的法则:定理1、有限个无穷小的和也是无穷小定理2、有界函数与无穷小的乘积是无穷小推论1、常数与无穷小的乘积是无穷小推论2、有限个无穷小的乘积也是无穷小定理3、如果,那么(1)=AB(2)(3)若又有B,则推论1、如果存在,而c为常数,则推论2、如果存在,而n是正整数,则定理4设有数列、,如果那么:(1)(2)(3)当=定理5如果,而,那么 ab例1、一般地,设有多项式:则有:即:同理可得:例2、求分析:求有理函数(多项式)当时的极限时,直接把代入多项式即可此题直接代入为例3、求解:=例4、求解:先用除分母和分子,然后求极限,得结论:例5、求解:有界量与无穷小量的乘积任为无穷小量,所以原极限为0例6、解:故原极限为例7、例8、例9、求极限的类型主要有:例10、例11、定理6、复合函数的
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