高等数学试题.doc

高等数学下期末考试2010-7-6一、填空题（4分5=20分）1. 若函数在处取得极值，则常数.2. 曲线，在点处的一个切向量与轴正向成钝角，则它与轴正向夹角的余弦.3. 交换二次积分的积分次序（其中连续）.4. 设为圆周，则.5. 若，都是微分方程的解，其中，和都是已知的连续函数，则此方程的通解为.二、单选题（4分5=20分）1. 二阶常系数非齐次微分方程的特解的形式为 （ ）.A B. C. D. 2. 设曲面的外法线的方向余弦为，则 （ ）A B. C. D. 3. 设是连续函数，平面区域，则（ ）A B. C. D. 4. 过曲面上点的切平面在各坐标轴上的截距之和为 （ ）A B. C. D. 5. 若函数在点处可微，则在点处下列结论不一定成立的是（ ）A连续. B. 偏导数存在. C. 偏导数连续. D. 曲面的切平面存在.三、计算题（9分6=54分）1. 设，其中具有连续二阶偏导数，求，.2. 在圆锥面与平面所围的锥体内作一个底面平行于平面的长方体，求此长方体体积的最大值.3. 设力场，其中具有一阶连续的导数，为力场中的两点，弧是力场中位于直线段下方的一条光滑曲线段，且曲线弧与线段所围成的平面区域的面积为2，质点在力场的作用下由点沿曲线弧移动至点，求力场所做的功。4. 计算曲面积分，其中为曲面的下侧。5. 设函数具有二阶连续的导数，且满足，其中为平面上任意一条分段光滑的封闭曲线，求。6. 求微分方程的通解。四、（6分）就以下四个积分，讨论第一型线积分和第二型线积分在使用对称性时的区别和理由，其中是圆的一周，方向为逆时针。（1） （2） （3） （4）2009-7-8一 填空题（4分4=16分）1. 设，则.2. 微分方程的通解为.3. 曲面在点处的法线方程为.4. 设积分区域，则二重积分.二 单项选择题（4分4=16分）1. 函数在点处沿的方向导数为.A B. C. D. 2. 设，则（ ）A B. C. D. 3. 微分方程的特解的一般形式为（ ）A B. C. D. 4. 设是从点沿折线到点的折线段，则曲线积分（ ）A B. C. D. 三解答下列各题（7分9=63分1. 求曲线在点处的切线方程.2. 求曲面在点处的切平面方程.3. 设立体是由上半球面和抛物面所围成，设立体的体密度为，求立体的质量.4. 计算二重积分5. 求微分方程的通解.6.设，其中具有二阶连续偏导数，求，.7. 在变力的作用下，质点由 沿曲线运动到点，求变力所做的功？并问参数为何值时，所做的功最大？8. 计算第一型曲面积分，其中9. 设在上有连续导数，试证曲线积分与路径无关，其中是上半平面内的分段光滑曲线，并计算此积分当是从点到的线段时的值.四（5分）计算曲面积分，其中为曲面的外侧.2008-7-18一、解答下列各题（6分10=60分）1 设，求2 求曲线在处的切线和法平面方程.3 求曲面在点处的法线方程.4 求微分方程的通解.5 设连续,交换积分次序.6 设有一物体,它是由曲面和所围成,已知它在任意点处的密度,求此物体的质量.7 设是由点到点的直线段,求第一型曲线积分8 计算第一型曲面积分其中是平面在第一卦限的部分.9 设在椭球面点处沿外法线方向的方向导数.10函数由方程所确定,其中有连续导数,为不全为零的常数,计算.二、（7分）求函数的偏导数，其中具有二阶连续偏导数。三、（7分）计算第二型曲面积分其中是曲面在面上方部分，方向取上侧。四、（7分）若曲线积分，其中为圆周，方向取正向，求为何值时，有最大值。五、（7分已知是方程的特解，求以及该方程的通解。六、（7分）设具有二阶连续的导数，试求使得曲线积分与积分路径无关 。七、（5分）设为所围成的区域，是一元函数，且，其中为正的连续函数，计算，其中为的边界曲线，方向为正向。2007-7-8一、解答下列各题（每小题6分，共60分）1.设，求2.求曲线在处的切线和法平面方程3.求椭球面在点处的切平面方程.4.求微分方程的通解.5.设连续，交换积分次序.6.计算三重积分，其中为与所围成的区域.7.计算第一型曲线积分，其中为右半圆周：8.计算第一型曲面积分，其中是曲面的部分.9.求由方程确定的隐函数的全微分，其中具有连续的偏导数，为常数.10.设函数，求.二、（7分）求函数的二阶偏导数，其中具有二阶连续偏导数.三、（7分）设且，求四、（7分）计算第二型曲面积分，其中是下半球面的上侧.五、（7分）计算，其中为正常数，为曲线上从到点的弧段.六、（7分）设，其中函数具有二阶连续的导数，求及.七、（5分）设二元函数在平面区域上具有二阶连续偏导数，在的边界上取零值，且在上有，试证：.2006-6-21一求解下列各题：（6分*10=60分）1设求2求曲面在点处的切平面方程.3.计算曲线积分, 其中为的逆时针方向.4. 求微分方程的通解.5. 设连续,交换积分的次序.6.计算三重积分,其中为和所围成的区域.7. 计算第一型曲线积分,其中为圆周在第一象限部分的弧段.8. 求曲面积分,其中是球面在上方的球冠.9求曲线在对应的点处的法平面方程.10.设, 求.二. (7分) 设 其中具有二阶连续偏导数,求.三.(7分) 一质点在平面场力的作用下,沿曲线从点运动到点, 求场力所作的功.四.(7分)计算,其中是曲面在的部分的外侧.五.(7分) 设函数的全微分, 其中在内具有二阶连续的导数,且,求及.六. (7分)已知上半平面内的一条曲线通过原点，且曲线上任意一点处切线斜率数值上等于该点横坐标减去此曲线与轴以及点作垂线所围成的面积, 求此曲线的方程. 七. (5分) 设在上半平面内函数具有连续偏导数, 且对任意的都有 证明: 对内任意分段光滑的有向简单闭曲线, 都有2005-6-23一、解答下列各题（每小题6分，共60分） 1设. 2求曲线在对应于处的切线和法平面方程。 3计算，为圆周的正向。4求函数在点（1，1）处的最大方向导数。 5求微分方程的通解。6求曲面在点（2，1，4）处的切平面方程。7设函数由方程所确定，求。 8交换二重积分的次序 。 9计算曲面积分其中是曲面 面上方，方向取上侧10求，其中为沿曲线到点。 二（9分）设曲面是上半球面，其面密度为，求曲面的质量。三（9分）计算三重积分其中所围成的区域四（9分）(学工科数学分分析的同学作第1题，其余同学作第2 题)(1)求齐次线性微分方程组的通解(2)已知函数是二阶常系数非齐次微分方程，的一个特解，试确定常数及该方程的通解。五、（9分）设半径为的球面，其球心位于定球面上，试求的值，使该球面位于定球面内部的那一部分面积取得最大值。六（4分）设满足，计算其中为，而为沿的沿外法线方向的方向导数 (2004.6.9)一、 求解下列各题（每题6分，共60分）1 设求2 设，其中具有连续的一阶偏导数，求。3 设，求在点沿方向的方向导数。4 求微分方程的通解。5 设连续，交换累次积分的积分次序。6计算三重积分其中积分域是由所围成的空间区域。7求，其中为沿曲线到点8计算锥面包含在内的部分的面积。9计算曲面积分 ，其中是半球面 10高数作(1) 高数作(2)（1）叙述一个集合导集的定义，并求集合的导集。（2）求函数的极值。二（9分）设的全微分其中有二阶连续导数试求三、（9分）计算其中为圆柱面被平面截下部分，其法向量正向在点与轴同向。四、（9分）证明:变换有二阶连续偏导数.五、（9分）在曲面上作切平面使切平面与三坐标面围成立体体积最小，求切点坐标。六、（4分）设上二次连续可微，且满足试求 (2003.6.9)一、解答下列各题(每小题5分，共25分)1设，求全微分. 2求曲线，在对应于的点处的切线和法平面方程.3计算曲线积分，式中是曲线上从到的一段.4求函数的极值.5求微分方程的一个特解.二、解答下列各题(每小题6分，共24分)1 在轴上求一点，使它到点的距离等于它到平面的距离.2 函数由方程所确定，求.3改变二次积分的积分次序，其中连续.4 计算曲面积分,其中是由所确定的立体的表面外侧.三、（9分）计算三重积分，其中由所确定.四、（9分）求半径为的质量分布均匀的半球面的重心坐标.五、（9分）求微分方程的积分曲线方程，使其在点与直线相切.六、（9分）设曲面方程为（为正常数）.具有一阶连续的偏导数，且，试证明此曲面上任一点处法线恒垂直于一常向量.七、（9分）求微分方程满足的特解.八、（6分）设是光滑的正向简单闭曲线，所围的区域记为，是的单位外法线向量，是具有二阶连续偏导数的二元函数，试证：.(2002.6.17)一、解答下列各题(每小题6分，共60分)1 设点为从原点到一平面的垂足，求该平面的方程.2 求过点的平面，使它与平面垂直，且与直线平行.3 设，求. 4 在曲面上求一切平面，使该切平面垂直于直线.5 求曲线上，对应点处的切线方程.6 改变二次积分的积分次序，其中连续.7 计算，其中积分域是：