3关节三 函数知识的三个支点.doc

关节三 函数知识的三个支点函数是“数与代数”最重要的内容之一，它在实际问题及综合性问题中都有着极为广泛的应用，而且在以后的数学乃至其他学科的学习中，也都发挥着基础性与工具性的作用那么，怎样才算较好地掌握了函数知识呢？从一道简单的数学题说起题目：若a满足不等式组 那么，代数式最大值和最小值分别是多少？简解：由所给的不等式租解得又 可看作是一段抛物线，且该抛物线的对称轴为a=3且开口向上，可知原式在a=3时有最大值39，在a=3时有最小值3析评：以上解法的思考基础可分为三层：第一层，认识到这是个求函数最值的问题；第二层，求得这个函数的标准表达式为，第三层，用二次函数的性质解决原来的问题由此可以看出：把未指明的函数恰当地归为函数，再定出其表达式，进而应用函数的性质解决问题，正是掌握与运用函数知识的三大支点函数知识的三个支点：一明意义：是指总能在需要的情况下恰如其分地将问题归结为函数，即形成“函数思想”；二定表达式；三用性质：指恰当地运用函数的性质解决相应的问题一、明意义1函数“明意义”的基本体现对与函数相关的问题，能够从以下两个方面来观察、认识和把握： 能从“总体感知”和“具体对应方式”两个视角来认识与考虑问题； 能从“整体过程”和某些“特殊值的对应情况”来认识与考虑问题例1如图所示：边长分别为1和2的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为，大正方形内除去小正方形部分的面积为S（阴影部分），那么S与t的图象大致应为（）tOStOStOStOS ABCD【观察与思考】“总体感知”：大正方形的面积为4，小正方形的面积为1，在小正方形平移的整个过程中阴影部分面积变化的过程是“”解：选C例2已知：如图31，点G是BC的中点，点H在AF上，动点P以每秒2cm的速度沿图的边线运动，运动路径为：，相应的的面积关于运动时间t（s）的函数图象如图，若，则下列四个结论中正确的个数有（ ） 图1中的BC长是8cm， 图2中的M点表示第4秒时的值为24cm2， 图1中的CD长是4cm， 图2中的N点表示第12秒时的值为18 cm2图AFEDCGBHy(cm2)t(s)MNO图2 4 7 12图31A1个B2个C3个D4个【观察与思考】若把点P由GCDEFH对应的图象分别记为、，则从图和图的对应情况可知： 由的两端点横坐标，可得，即； M点的坐标是； 图象两端点横坐标为2和4，可知CD=2cm/s2s=4cm； 由的两端点横坐标为4和7，知DE=6cm，而EF=ABCD=2cm，可知的右端点的横坐标为8，再由的两端点横坐标为8和12，推得FH=8cm，从而（cm），所以，N点的横坐标是解：应选D说明：对函数“明意义”，就要善于从自变量与函数值的对应关系入手，从原背景、关系式、图象三者的统一来认识和解决问题2“明意义”的更高体现对于函数意义的掌握，不仅是指对给定的函数能从恰当的角度对其进行研究，更为重要的是遇到具体问题时，能够而且善于把函数做为研究与解决的工具，即确立了这样的意识：凡是涉及变化的量之间的对应关系的问题，就要想到用函数来研究和解决，这才是“明意义”的更高体现，才是“函数思想”深刻与强烈的表现24657abcde例3在五环图案内，分别填写五个数a，b，c，d，e，如图， ，其中a，b，c是三个连续偶数，d，e是两个连续奇数，且满足，例如 请你在0到20之间选择另一组符合条件的数填入下图： 【观察与思考】可以看作一个函数问题，因为：ABCDMN图321012141719设a、b、c表示的三个连续偶数为、2x，；d，e表示的两个连续奇数为，（x，y均为整数）则有，得，只需x和y都是整数如此一来，满足要求的x、y有无穷多对（只需x取偶数即可），如x=2，y=3（这就得到题目中所举的例）；x=4，y=6；x=6，y=9；x=8，y=12；而使五个数均在0和20之间的，除例子之外，就只有x=4，y=6；x=6，y=9这两种情况了68101113解： 或 例4如图32，ABCD为边长等于4的菱形，ABC=60，点M为边AD上一点，点N为边DC上一点，且AM=DN当AM=DN=3时，求BMN的面积；是否存在M和N，使BMN的面积等于？若存在，请指出点M和N的位置；若不存在，请说明理由【观察与思考】问题和问题都涉及到BMN的面积和AM（相应地DN）之间的对应关系，而BMN的面积和AM的值具有函数关系，因此，如果把它们之间的函数关系搞清楚了，问题、就可迎刃而解了解：菱形的边长为4，ABC=60，菱形的高为设AM的长为x，BMN的面积为S，则当x=3时，由S与x的函数关系式得由S与x的函数关系式得这说明BMN面积的最小值为，因此不存在点M、N，使正是函数意识使我们看到问题、的共同基础由以上诸例可知：时时刻刻都注意从函数的角度来认识和研究问题中变量之间的关系，恰当地建立函数关系，并运用函数的性质将问题解决，这样的“主动精神”和“自觉行动”正体现了“函数思想”的极好确立二、定关系式要用函数，就要善于确定出函数关系式，而确定函数关系式的方法，基本上有三种：1用待定系数法；2用直接列式法；3借助等式导出法1、用待定系数法确定函数的关系式用待定系数法确定函数的关系式，应具备以下两个条件：条件一，已经知道这个函数是一次函数、二次函数、或是反比例函数；条件二，知道该函数满足的若干组对应值：一次函数需两组；二次函数需三组；反比例函数需一组实际上，待定系数法就是通过构造关于函数关系表达式中各项系数的方程，求出它们的值，从而使函数关系的表达式确定下来用待定系数法求函数关系的表达式，可分为这样两个层次：基本形式与复合形式 基本形式的待定系数法这类问题的条件是直接地给出了确定函数所需要的对应值现仅举一例例1为了迎接暑期旅游，某旅行社推出了一种价格优惠方案：从现在开始，各条旅游线路的价格每人y（元）是原来价格每人x（元）的一次函数现知道其中两条旅游线路原来旅游价格分别为每人2100元和2800元，而现在旅游的价格分别为每人1800元和2300元 求y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）； 王老师想参加该旅行社原价格为5600元的一条线路的暑期旅游，请帮王老师算出这条线路现在的价格【观察与思考】 满足这个一次函数的两组数值是（1800，2100）和（2300，2800）可用待定系数法求得解析式解： 设y与x的函数关系式为，由题意，得 解之，得 y与x的函数关系式为 当时，元 王老师旅游这条线路现在的价格是4300元 复合形式的待定系数法所谓复合形式的待定系数法是指满足函数关系的“对应值”组，并未直接悉数给出，而是要先从条件中求出需要的“对应值”，而后再由待定系数法求出函数关系表达式；或则通过其他条件直接构造关于函数系数的方程，得出表达式yxEBFOC图33A例2如图33，已知双曲线经过矩形OABC边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2，则k=_【观察与思考】 因为点F、E均在双曲线上，则S矩形OABC=S四边形OEBF=1设F的坐标为（a，），则解：应填 2 【说明】本题的解答需要对反比例函数性质以及与之相关矩形间的关系有深入的认识yBDxACO图34例3如图34，RtAOB是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片，点O与原点重合，点A在x轴上，点B在y轴上，将RtAOB折叠，使BO边落在BA边上，点O与点D重合，折痕为BC 求直线BC的解析式； 求经过B，C，A三点的抛物线的解析式；若抛物线的顶点为M，试判断点M是否在直线BC上，并说明理由【观察与思考】对于，先求出点C的坐标，再用待定系数法求BC的解析式；对于，用待定系数法求出过B、C、A三点的抛物线的解析式，再验证它的顶点是否在BC上解： 点C的坐标为（1，0），设直线BC的解析式为y=kx+b，则由求得BC的解析式为 设过点的抛物线的解析式为y=a(x1)(x3),由，解得 抛物线的解析式为 其顶点M的坐标为， 点M不在直线BC上2用“列式法”确定函数关系式所谓用列式法确定函数关系的表达式，就是根据问题中的数量关系直接列出用自变量的代数式来表示函数这样的情况也是很多的例4学校体育室准备添置20副乒乓球拍和若干乒乓球，两家体育用品商店的零售价都是每副乒乓球拍20元，每个乒乓球0.6元，且都表示对集体购买优惠：甲店买一副乒乓球拍赠送5个乒乓球，再对总价打9折；乙店统一按定价的8折出售 设体育室除了买20副乒乓球拍外，再需购买x（x60）个乒乓球，若在甲店购买付款数额为y1(元)，在乙店购买付款数额为y2（元），分别写出y1、y2关于x的函数关系式 就购买乒乓球数讨论在哪个店购买较合算？【观察与思考】对于，可用直接列式法求出y1、y2关于x的函数关系式对于，实际是比较x在什么范围时，哪个函数值较小解：，即 （x60）（x60） 假设购买x个乒乓球时，在甲商店合算，即y1y2，也即0.54x3060.48x320，解得 同理可得 时，y1y2这就是说，当购买的乒乓球个数不超过233个时，在甲商店买合算；当购买的乒乓球个数超过233个时，在乙商店买合算【说明】与实际相关的问题需建立函数关系式时，大都需要借助直接列式法APCRBQ图35例5如图35，在RtABC中，C=90，AC=6，BC=3，P为AC上一个动点，PQRC为矩形，其中点Q、R分别在AB、BC上设AP的长为x，矩形PQRC的周长为l，求l关于x的函数关系式【观察与思考】只需用x表示出QP和PC即可解：，【说明】相当多的几何图形中变量间的对应关系，在建立函数关系式时，也多是利用“直接列式法”3从某个等量关系中导出函数关系式有时不易用自变量及已知数量把函数直接表示出来，可根据所给条件先建立包括“函数”、自变量与已知数量的某个等式，再从中导出函数关系式来AaBPOQCxy图36例6如图36，已知直角坐标系中三点A（2，0），B（0，2），P（x，0）（x0），连结BP，过P作PCPB交过点A的直线a(它与x轴垂直)于点C(2，y)求y与x之间的函数关系式【观察与思考】不易直接写出y的表达式（用x和已知数量），但容易看到RtBPORtPCA，可得有关边的比例等式，由此导出y关于x的函数关系式解：在RtBPO和RtPCA中，BPO=PCA（同为APC的余角），RtBPORtPCA（x0）【说明】：几何图形中有关函数关系式的建立，有不少情况需借助这种“等式导出法”胜一场平一场负一场积分310例7某中学足球队参加全市中学足球联赛，记分规则如右表联赛共进行了12轮（即每队比赛了12场），该中学足球队共得19分若胜的场数为x，负的场数为y，求y关于x的函数关系式【观察与思考】可借助于胜、平、负的场数以及得分的关系导出y与x的关系解：设平的场数为z，则根据条件有从中消去z，得【说明】本题是从三个变量的两个等量关系中导出两个变量间的函数关系当我们需要建立函数关系式时，可从以下三条途径中选择：1、借助“待定系数法”；2、运用“直接列式法”；3、运用“等式导出法”三、用性质函数的性质，主要是指一次函数、二次函数和反比例函数增减性和二次函数、反比例函数图象的对称性，以及二次函数图象的顶点坐标等对函数性质的考查，主要有两个层面：一是对给定的函数确定其某个方面的性质，二是利用函数的性质，解决某相关的问题1、确定指定函数的性质例1写出一个图象经过点（2，1），y随x的增大而减小的一次函数【观察与思考】要使一次函数具有“y随x的增大而减小”这一性质，且图象经过点（2，1），则只需这个一次函数的图象还经过点（x0，y0），其中x02，而y01；或者当x02时，有y01显然，这样的点（x0，y0）有无穷多个因此，本题是开放性的题目，正确的答案有无穷多个如选过点（0，0），则直线的解析式为解：如例2下表给出了代数式与x的一些对应值：x01234313 请在表内的空格中添入适当的数； 设，当x取何值时，y0？【观察与思考】当x0和x4时，均有函数值y3，可知该抛物线的对称轴为x2，顶点坐标为（2，1）因此有以下的解：解： 由已知得x1时，y0；x3时，y0 ，其开口向上，并与x轴交于点（1，0）和（3，0），当x1时，或x3时，均有y0【说明】由以上两例看出，熟练而恰当地运用函数的性质，使问题的解决思路明晰，过程简捷开始输入xy与x的关系式输出y结束2运用函数的性质解决相关的实际问题或数学问题例3按右图所示的流程，输入一个数据x，根据y与x的关系式就输出一个数据y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据要使任意一组都在20100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：（i）新数据都在60100（含60和100）之间；（ii）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大 若y与x的关系式是，请说明：当时，这种变换满足上述两个要求； 若按关系式（）将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程）【观察与思考】对于，只要根据一次函数的性质即可说明对于，实际上是依据（i）、（ii）两条要求去确定中的系数解： 原式即，该函数y随x的增大而增大，满足（ii）又，当时，当时，满足（i）可知，当时，这种变换满足要求 可有多种答案现取，即，令解得 ，k=60，即满足要求【说明】1对于本题的只要抛物线开口向上，对称轴，横坐标在20100之间的抛物线段夹在直线和之间，都是满足要求的2由本题可以看出：对函数“明意义”，“定关系式”，“用性质”的统一与结合是多么的重要和有效！例4种植草莓大户张华现有22吨草莓等售，有两种销售渠道，一是运往省城直接批发给零售商，二是在本地市场零售，经过调查分析，这两种销售渠道每天销量及每吨所获纯利润见下表：销售渠道每日销量（吨）每吨所获纯利润（元）省城批发1200本地零售2000受客观因素影响，张华每天只能采用一种销售渠道，草莓必须在10日内售出 若一部分草莓运往省城批发给零售商，其余在本地市场零售，请写出销售22吨草莓所获纯利润y（元）与运往省城直接批发零售商的草莓量x（吨）之间的函数关系式； 怎样安排这22吨草莓的销售渠道，才使张华所获纯利润最大？并求出最大纯利润【观察与思考】先求出y关于x的函数关系式，再借助函数的性质，解决相应的实际问题解： 所求函数关系式为:，即 由于草莓必须在10天内售完，则有，解之，得在函数中，y随x的增大而减小，当x=16时，y有最大值31200（元），22166，1644，616答：用4天时间运往省城批发，6天时间在本地零售，可使获利润最大，最大利润为31200元【说明】本题实际问题的解决，正是借助了所求出的函数性质借助于函数性质解决实际问题或数学中的问题，主要使用：1、一次函数在某个范围的增减性；2、抛物线顶点坐标的意义，抛物线的对称性，抛物线和横轴交点的意义，二次函数的增减性；3、反比例函数的增减性；4、函数和方程、不等式之间的关系练习题A第1题图1、在物理实验课上，小明用弹簧测力计将长方体铁块A悬于盛有水的水糟中，使铁块完全浸没于水中（如右图所示），然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则右图能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的高度x（单位：cm）之间的函数关系的大致图象是（ ）y（N）x（cm）OAy（N）x（cm）OBy（N）x（cm）OCy（N）x（cm）ODDBACEF第2题图2、如图，ABC和DEF是两个形状大小完全相同的等腰直角三角形，B=DEF=90，点B、C、E、F在同一直线上，现从点C、E重合的位置出发，让ABC在直线EF上向右作匀速运动，而DEF的位置不动设两个三角形重合部分的面积为y，运动的距离为x下面表示y与x的函数关系的图象大致是（）OyxOyxOyxOyxA BC D？输入正整数x输出y偶数奇数5413CF200204010468324第3题图第4题图3、如图，要使输出值y大于100，则输入的最小正整数x是 4、温度与我们的生活息息相关，你仔细观察过温度计吗？如图是一个温度计实物示意图，左边的刻度是摄氏温度（C），右边的刻度是华氏温度（F），设摄氏温度为x（C），华氏温度为y（F），则y是x的一次函数ABPCDQ第5题图 仔细观察图中数据，试求出y与x之间的函数表达式； 当摄氏温度为零下15C时，求华氏温度为多少？5、如图，矩形ABCD，其中BC=2AB，P为边BC上任意一点，（不与B、C重合），连结AP，作PQAP，交射线CD于点Q探究：当点P在BC边上运动时，点Q可能在边CD的延长线吗？并说明理由BAl1yxO第6题图