03 电磁学：第12、13章 习题课及部分习题解答-修订补充版.pdf

Zhang Shihui Zhang Shihui1 电场强度的计算 第第第第2 2 2 2题题题题 第3题第3题 第7题第7题第第第第9 9 9 9题题题题 学习指导 第12 13章学习指导 第12 13章 例题2例题2 例题5例题5习作题11习作题11 22 00 d 44 i ir i qq EeEe rr 0 1 d i S i ESq 微元法 高斯法 微元法 高斯法 电荷分布有 特殊对称性 电荷分布有 特殊对称性 均匀带电细棒 垂面上的场强 均匀带电细棒 垂面上的场强 1212 00 coscossinsin 44 xy EE xx 均匀带电球体 壳 外场强均匀带电球体 壳 外场强 2 0 4 Q E r 无限长均匀 带电直线 无限大均匀 带电平面 无限长均匀 带电直线 无限大均匀 带电平面 0 2 E 0 2 E r 第1题第1题 第4题第4题 薄圆环轴线上场强薄圆环轴线上场强 3 22 2 0 4 qx E Rx 均匀带电细棒垂面上场强 例题1例题1 作业册 第12章静电场作业册 第12章静电场 习作题20习作题20 习作题21习作题21 例题4例题4 内部 略 内部 略 例题3例题3 Zhang Shihui2 电势的计算 第2题第2题 第8题第8题 习作题16习作题16习作题17习作题17 习作题24习作题24习作题28习作题28 习作题29习作题29 第1题第1题 00 d 44 i V i qq UU rr 0 d b a aS U Q E dlSE 叠加原理 取微 元 直接求电势 先利用高斯定理 求场强 再求电势 叠加原理 取微 元 直接求电势 先利用高斯定理 求场强 再求电势 均匀带电球面外的电势均匀带电球面外的电势 2 0 4 q UrR r 薄圆盘轴线上电势薄圆盘轴线上电势 22 0 2 URxx 薄圆环轴线上电势薄圆环轴线上电势 221 2 0 4 q U Rx 作业册 第13章电势作业册 第13章电势 学习指导 第12 13章学习指导 第12 13章 例题6例题6例题7例题7 Zhang Shihui作业册作业册作业册作业册 第十二章第十二章第十二章第十二章 静电场静电场静电场静电场 第第第第1 1题题题题 a a o o a a q q x y 222 3 0 2 4 qy j ay 电荷均为电荷均为 q的两个点电荷分别位于的两个点电荷分别位于x轴上的轴上的 a和和 a位 置 如圈所示 求 位 置 如圈所示 求y轴上各点的电场强度 和轴上各点的电场强度 和y轴上电场 强度最大的点的位置 轴上电场 强度最大的点的位置 r r 2 0 4 1 r q EE aa a E a E jEEjEE aa coscos 简析 简析 简析 简析 0 2 2 dE dy ya 即即y轴上电场强度最大的点的位置 轴上电场强度最大的点的位置 目录 场强的计算 Zhang Shihui作业册作业册作业册作业册 第十二章第十二章第十二章第十二章 静电场静电场静电场静电场 第第第第2 2题题题题 两根相同的均匀细棒 长为两根相同的均匀细棒 长为l 电荷线密度为 沿同一 条直线放置 两细棒间的最近距离也为 电荷线密度为 沿同一 条直线放置 两细棒间的最近距离也为l 如图所示 假 设棒上的电荷是不能自由移动的 试求两棒间的静电相 互作用力 如图所示 假 设棒上的电荷是不能自由移动的 试求两棒间的静电相 互作用力 l2l 3l dx取微元取微元 dqdx 对应电荷元对应电荷元 O x 简析 简析 简析 简析 先求左侧细棒在右侧 先求左侧细棒在右侧x l区域产生的电场强度 区域产生的电场强度 2 0 4 dx dE xx x 沿沿x正方向正方向 目录 场强的计算 取如图所示的电荷元取如图所示的电荷元dq 其在坐标为 其在坐标为x 处产生的场强为处产生的场强为 x Zhang Shihui作业册作业册作业册作业册 第十二章第十二章第十二章第十二章 静电场静电场静电场静电场 第第第第2 2题题题题 lll dx取微元取微元 dqdx 对应电荷元对应电荷元 O x 左侧细棒整体在坐标为左侧细棒整体在坐标为x 处产生的场强为处产生的场强为 2 0 00 11 4 4 l dx E xxxlx 即即 0 11 4 E xlx 沿沿x正方向正方向 目录 场强的计算 Zhang Shihui作业册作业册作业册作业册 第十二章第十二章第十二章第十二章 静电场静电场静电场静电场 第第第第2 2题题题题 lll 2 3 dxxl l 取微元 坐标为取微元 坐标为 dqdx 对应电荷元对应电荷元 O x 求右侧细棒受到的电场力 取如图所示的电荷元 求右侧细棒受到的电场力 取如图所示的电荷元dq 其所在位置的场强如上页所示 该电荷元受到的电场力 其所在位置的场强如上页所示 该电荷元受到的电场力 0 11 4 dF Edqdx xlx 右侧细棒整体受力为右侧细棒整体受力为 22 3 2 00 114 ln 443 l l Fdx xlx 沿沿x正方向正方向 目录 场强的计算 Zhang Shihui作业册作业册作业册作业册 第十二章第十二章第十二章第十二章 静电场静电场静电场静电场 第第第第3 3题题题题 总电量为总电量为q的均匀带电细棒 弯成半径为的均匀带电细棒 弯成半径为a的圆弧 圆 弧对中心的张角为 的圆弧 圆 弧对中心的张角为 0 求圆心处的场强 求圆心处的场强 简析 简析 简析 简析 由对称性知场强沿由对称性知场强沿x轴正方向 轴正方向 x dE dlRd 0 2 0 2 目录 场强的计算 2 0 coscos 4 x dl dEdE a 22 0000 1cos cos 44 qqd ad aaa 0 0 0 00 2 22 00002 sin 2 sinsin 4222 x q q EdE aa 沿沿x正 方向 正 方向 Zhang Shihui作业册作业册作业册作业册 第十二章第十二章第十二章第十二章 静电场静电场静电场静电场 第第第第4 4题题题题 半径为半径为R的带电细圆环 电荷线密度为 式 中 的带电细圆环 电荷线密度为 式 中 0为一常数 为一常数 为半径为半径R与与x轴所成的夹角 如图所示 试求环心 轴所成的夹角 如图所示 试求环心O处的电场强度 处的电场强度 简析 简析 简析 简析 在在 处取电荷元 其电荷为处取电荷元 其电荷为 0 sin dqdlRd 它在它在O点产生的场强大小为点产生的场强大小为 0 2 00 sin 44 ddq dE RR 0 sin dlRd x y 目录 场强的计算 dE Zhang Shihui作业册作业册作业册作业册 第十二章第十二章第十二章第十二章 静电场静电场静电场静电场 第第第第4 4题题题题 dlRd dE 沿沿x y轴的分量分别为轴的分量分别为 cos x dEdE sin y dEdE 得得 2 0 0 0 sincos cos0 4 x d EdE R 2 2 00 0 00 sin sin 44 y d EdE RR 沿沿y负方向负方向 0 0 4 Ej R x y 目录 场强的计算 Zhang Shihui作业册作业册作业册作业册 第十二章第十二章第十二章第十二章 静电场静电场静电场静电场 第第第第7 7题题题题 有一带电球壳 内 外半径分别为有一带电球壳 内 外半径分别为a和和b 电荷体密度 电荷体密度 A r 在球心处有一点电荷 在球心处有一点电荷Q 证明当 证明当A Q 2 a2 时 球壳区域内的场强的大小与 时 球壳区域内的场强的大小与r无关 无关 2 0 1 4 SV E dSErQdV 222 442 rr vaa A dVr drArdrA ra r 其中 其中 22 22 00 1 2 44 Q EA ra rr 代入上式得代入上式得 a Q b r 简析 简析 简析 简析 由对称性知场强沿半径方向 做同心球面为高斯面 半径 由对称性知场强沿半径方向 做同心球面为高斯面 半径a r b 目录 场强的计算 Zhang Shihui作业册作业册作业册作业册 第十二章第十二章第十二章第十二章 静电场静电场静电场静电场 第第第第7 7题题题题 2 22 000 422 QAAa E rr 整理得整理得 a Q b r 2 2 00 2 42 Qa AA r 2 22 0 2 0 24 QQa A A ar 因为 故因为 故 0 2 A Er 得与 无关得与 无关 目录 场强的计算 Zhang Shihui作业册作业册作业册作业册 第十二章第十二章第十二章第十二章 静电场静电场静电场静电场 第第第第9 9题题题题 截面截面截面截面 x x O x x S S 如图所示 厚度为如图所示 厚度为d的无限大均匀带电平板 电荷体密度 为 的无限大均匀带电平板 电荷体密度 为 求板内外的场强分布 原点在板中央 求板内外的场强分布 原点在板中央 Ox垂直板 垂直板 S 截面放大后截面放大后截面放大后截面放大后 解 解 解 解 取闭合圆柱面取闭合圆柱面S为高斯 面 两底面所在平面与 为高斯 面 两底面所在平面与x轴 交点坐标分别为 轴 交点坐标分别为 x和和x 根据对称性 场强沿 根据对称性 场强沿x方向 并且在高斯面两底面上大小 相等 据高斯定理 方向 并且在高斯面两底面上大小 相等 据高斯定理 0 2 2 2 dxS xES 内内 0 x E 内内 0 x E 内内 目录 场强的计算 Zhang Shihui x O 作业册作业册作业册作业册 第十二章第十二章第十二章第十二章 静电场静电场静电场静电场 第第第第9 9题题题题 x S S 截面放大后截面放大后截面放大后截面放大后 x 0 2 2 dd S xES 外外 0 2 d E 外外 0 0 22 22 dd x E dd x 外外 目录 场强的计算 Zhang Shihui作业册作业册作业册作业册 第十三章第十三章第十三章第十三章 电势电势电势电势 第第第第1 1题题题题 dx a O x l x 图中所示为一沿图中所示为一沿 x 轴放置的长度为轴放置的长度为l的不均匀带电细棒 其电荷线密度为 的不均匀带电细棒 其电荷线密度为 0 x a 0为一常量 取无穷远处 为电势零点 求坐标原点 为一常量 取无穷远处 为电势零点 求坐标原点O处的电势 处的电势 解 解 解 解 q UdU 0 4 a l a dx x 00 00 ln 44 laal a 目录 电势的计算 0 0 4 a l a xa dx x Zhang Shihui作业册作业册作业册作业册 第十三章第十三章第十三章第十三章 电势电势电势电势 第第第第2 2题题题题 两均匀带电球壳同心放置 半径分别为两均匀带电球壳同心放置 半径分别为R1和和R2 R1R 处为电势零点 计算圆柱体内外各点的电势 处为电势零点 计算圆柱体内外各点的电势 解 解 内部场强 取半径为 内部场强 取半径为r R 高为 高为l 的同轴圆柱面为高斯面 的同轴圆柱面为高斯面 2 0 3 Ar ErR R 长 为 长 为l的同轴圆柱面为高斯面 的同轴圆柱面为高斯面 0 2 S q E dSrlE 0 2 d R qArrl r 3 2 3 AlR 3 0 3 AR ErR r r l R 作业册作业册作业册作业册 第十三章第十三章第十三章第十三章 电势电势电势电势 第第第第8 8题题题题 目录 电势的计算 Zhang Shihui 内部电势 外部电势 内部电势 外部电势 33 00 ddln 33 LL rr ARARL UE rr rr 3 33 00 ln 33 AARL Rr R 23 00 d dd 33 L r RL rR UE r ArAR rr r 内外电势分布 内外电势分布 作业册作业册作业册作业册 第十三章第十三章第十三章第十三章 电势电势电势电势 第第第第8 8题题题题 目录 电势的计算 Zhang Shihui 带电细线弯成半径为带电细线弯成半径为R的半圆形 电荷线密度的半圆形 电荷线密度 0 0sin 式中 式中 0 0为一常数 为一常数 为半径为半径R与与X轴所成的夹角 如图所 示 试求环心 轴所成的夹角 如图所 示 试求环心O处的电场强度 处的电场强度 学习指导学习指导学习指导学习指导 第第第第1212 1313章章章章 静电场静电场静电场静电场 电势电势电势电势 典型例题典型例题典型例题典型例题1 1 解 解 解 解 在在 处取电荷元 其电量为处取电荷元 其电量为 dqdl 它在它在o o点处产生的场强为点处产生的场强为 2 0 4 dq dE R 0 0 sin 4 d R 0 sinRd Ox y R 0 x y dE y dE x dE dq 在在 x y 轴上的二个分量轴上的二个分量 cos sin xy dEdEdEdE 目录 场强的计算 Zhang Shihui学习指导学习指导学习指导学习指导 第第第第1212 1313章章章章 静电场静电场静电场静电场 电势电势电势电势 典型例题典型例题典型例题典型例题1 1 0 0 0 0cossin 4 d R E x 2 0 0 0 sin 4 y Ed R jiE yx EE R 0 0 8 0 0 8R j 0 x y dE y dE x dE dq 目录 场强的计算 Zhang Shihui 无限长半圆柱面形薄筒 半径为无限长半圆柱面形薄筒 半径为R 均匀带电 单位长度上 的带电量为 均匀带电 单位长度上 的带电量为 求圆柱面轴线上一点的电场强度 求圆柱面轴线上一点的电场强度 0 1 d 2 dq E R 2 0 dcoscos 2 x EdEd R 2 0 dsinsin 2 y EdEd R 2 0 0 cos d0 2 xx EdE R 22 0 00 sin d 2 yy EdE RR 学习指导学习指导学习指导学习指导 第第第第1212 1313章章章章 静电场静电场静电场静电场 电势电势电势电势 典型例题典型例题典型例题典型例题2 2 解 解 解 解 窄条带电量窄条带电量dqdlRdd RR 目录 场强的计算 Ox y dE y dE x dE dl dl 沿沿y的负方向的负方向 Zhang Shihui 电荷分布在半径为电荷分布在半径为R的球体内 电荷体密度的球体内 电荷体密度 式中为常数 式中为常数 r为球心到球内一点的距离 试求 为球心到球内一点的距离 试求 1 空间各点的电场强度 空间各点的电场强度 2 电场强度最大值 电场强度最大值 1 0 R r 0 学习指导学习指导学习指导学习指导 第第第第1212 1313章章章章 静电场静电场静电场静电场 电势电势电势电势 典型例题典型例题典型例题典型例题3 3 提示提示提示提示 1 做半径为做半径为r的同心球面为高斯面的同心球面为高斯面 2 1 0 0 1 4 r S E dSr drrR 2 2 0 0 1 4 R S EdSr drrR 32 00 12 2 00 3 3412 Rr ErrRErR Rr 0 max 0 9 R E 2 E1对对r求导 得极大值对应的求导 得极大值对应的r 进而得 进而得 Zhang Shihui b Ox b O 学习指导学习指导学习指导学习指导 第第第第1212 1313章章章章 静电场静电场静电场静电场 电势电势电势电势 典型例题典型例题典型例题典型例题4 4 目录 场强的计算 如图所示 一厚为如图所示 一厚为b的的 无限大无限大 带电平板 其电荷体密 度分布为 带电平板 其电荷体密 度分布为 kx 0 x b 式中 式中k为一正的常量 求 为一正的常量 求 1 平板外两侧任一点平板外两侧任一点P1和和P2处的电场强度大小 处的电场强度大小 2 平板内任一点平板内任一点P处的电场强度 处的电场强度 3 场强为零的点在何处 场强为零的点在何处 x P 1 P 2 P x 解解解解 1 由对称分析知 平板 外两侧场强大小处处相等 方向垂直于平面且背离平面 设场强大小为 由对称分析知 平板 外两侧场强大小处处相等 方向垂直于平面且背离平面 设场强大小为E 作一柱形高斯面垂直于平面 其底面大小为 作一柱形高斯面垂直于平面 其底面大小为S 如图所示 如图所示 Zhang Shihui b Ox P x 学习指导学习指导学习指导学习指导 第第第第1212 1313章章章章 静电场静电场静电场静电场 电势电势电势电势 典型例题典型例题典型例题典型例题4 4 b Ox 0 00 1 dd b S Q ESS x 2 0 00 2d 2 b kSkSb ESxx 高斯定理 得到 板外两侧 高斯定理 得到 板外两侧 2 0 4 kb E 2 过过P点垂直平板作一柱形高斯面 底面为 点垂直平板作一柱形高斯面 底面为S 设板内该处场强为 设板内该处场强为E 则 则 22 00 2 x b kSkS EE Sxdxbx 2 2 0 22 kb Ex 目录 场强的计算 左侧向左 右侧向右 方向由其正负决定 负值向左 正值向右 左侧向左 右侧向右 方向由其正负决定 负值向左 正值向右 Zhang Shihui学习指导学习指导学习指导学习指导 第第第第1212 1313章章章章 静电场静电场静电场静电场 电势电势电势电势 典型例题典型例题典型例题典型例题4 4 0 2 2 2 b x 2 b x 3 对比板内外场强的形式 可知场强为零 只能存在于 板内部 即 可得 3 对比板内外场强的形式 可知场强为零 只能存在于 板内部 即 可得 2 2 0 0 22 kb Ex 目录 场强的计算 Zhang Shihui 在半径为在半径为R1 电荷体密度为 电荷体密度为 的均匀带电球体内 挖去 一个半径为 的均匀带电球体内 挖去 一个半径为R2的球体空腔 空腔中心的球体空腔 空腔中心O2与带电球体中心与带电球体中心 O1间的距离为间的距离为b 且 且R1 b R2 求空腔内任一点的电场 强度 求空腔内任一点的电场 强度E 求 求 求 求 空腔内任一点的场强 空腔内任一点的场强 解 解 解 解 不能 不能直接用直接用高斯定理解 高斯定理解 用叠加法 用叠加法 放上电荷密度分别为放上电荷密度分别为 和和 设想在空腔处 的均匀电荷 设想在空腔处 的均匀电荷 R1 R2 aO1O2 学习指导学习指导学习指导学习指导 第第第第1212 1313章章章章 静电场静电场静电场静电场 电势电势电势电势 典型例题典型例题典型例题典型例题5 5 目录 场强的计算 Zhang Shihui 0 3 Er 0 3 Er P点 点 EEE 0 3 rr 0 const 3 b 若若O1 O2重合 则重合 则 0 E a O1O2 r r P 合理 合理 学习指导学习指导学习指导学习指导 第第第第1212 1313章章章章 静电场静电场静电场静电场 电势电势电势电势 典型例题典型例题典型例题典型例题5 5 目录 场强的计算 Zhang Shihui 形状如图所示的绝缘细线 其上均匀分布着正电荷 已 知电荷线密度为 形状如图所示的绝缘细线 其上均匀分布着正电荷 已 知电荷线密度为 两段直线长均为 两段直线长均为a 半圆环的半径为 半圆环的半径为 a 求环心 求环心O点的电势 点的电势 学习指导学习指导学习指导学习指导 第第第第1212 1313章章章章 静电场静电场静电场静电场 电势电势电势电势 典型例题典型例题典型例题典型例题6 6 解解 de段在段在O点的电势点的电势U2与与 ab段同 段同 ab段在段在O点的电势点的电势 1 0 00 ln2 4 2 4 a dx UdU ax bcd段在段在O点的电势点的电势 3 0 00 44 a dl UdU a O点的总电势点的总电势 2ln2 4 0 3210 UUUU 目录 电势的计算 Zhang Shihui学习指导学习指导学习指导学习指导 第第第第1212 1313章章章章 静电场静电场静电场静电场 电势电势电势电势 典型例题典型例题典型例题典型例题6 6 无限长均匀带电圆柱体无限长均匀带电圆柱体 非导体非导体 横截面半径为 横截面半径为R 沿轴 向电荷线密度为 沿轴 向电荷线密度为 求离柱轴分别为 求离柱轴分别为r1 r1 R 和和r2 r2 R 的 两点的电势差 的 两点的电势差 目录 电势的计算 简析 简析 简析 简析 由对称性知场强沿径向 做同轴圆 柱面为高斯面 然后根据高斯定理分别计 算柱面内外的场强 由对称性知场强沿径向 做同轴圆 柱面为高斯面 然后根据高斯定理分别计 算柱面内外的场强E1和和E2 2 1 12 Rr rR UE drE dr 电势差电势差 注意注意注意 注意 沿轴向电荷线密度为沿轴向电荷线密度为 指的是沿轴向单位长 度的圆柱体带电量为 指的是沿轴向单位长 度的圆柱体带电量为 Zhang Shihui 学习指导学习指导学习指导学习指导 第第第第1212 1313章章章章 静电场静电场静电场静电场 电势电势电势电势 习作题习作题习作题习作题1111 线电荷密度为线电荷密度为 的 无限长 均匀带电细线 弯成图示形 状 若圆弧半径为 的 无限长 均匀带电细线 弯成图示形 状 若圆弧半径为R 试求圆心 试求圆心O处的场强 处的场强 O R x y A B 解 解 解 解 上下两段半无限长的直线段在 上下两段半无限长的直线段在 O点场强沿点场强沿y分量合成后为分量合成后为0 沿 沿x负方 向的分量 负方 向的分量大小 方向相同大小 方向相同 见附录 见附录 1 0 2coscos 42 x