30-2014年全国高中数学联赛黑龙江赛区预赛.pdf

中 等 数 学 2 0 1 4年全国高中数学联赛黑龙江赛区预赛 中图分类号 G 4 2 4 7 9 文献标识码 A 文章编号 1 0 0 5 6 4 1 6 2 0 1 5 0 1 0 0 3 0一o 7 一 填空题 每小题 5分 共 6 0分 1 已知集合 A 1 2 B y I y 2 则 A NB A B t 2 t c 1 D 2 设复数 i 为虚数单位 则 c 0 I4 c 0 l4 石 乙C 22 o0 I144 彳 2 4 A 2 咖 i B 一2 i C 一 2 伽 D 一 2 3 设 双曲 线 一 告 1 的 一 条 渐 近 线 与 抛物线 Y 1 只有一个公共点 则双曲线 的离心率为 A 5 B 5 c 譬 D 4 在 A B C中 已知 B C所 对的边分别为 口 6 c 且 1 t a n A 2 c 则 的大小为 A 詈 B 詈 c 丌y D 5 已知在三棱锥 S A B C内任取一点 P 使 得 枷c 0 与圆 4 交于不同的两点 A B O为坐标原 点 且有 I l I I 则 k的取值范 围是 A l3 B 2 2 0 1 5年第 1 期 3 l c 2 D 2 1 1 已知数列 a 满足 a n p Z 0 p 1 对于说法 当P 时 数列 口 为递减数列 当 p 1 时 数列 0 不一定有最 大项 当0 p b 0 0 D 已知 a b 2 离心率 e j 1 求椭圆方程 2 现有一条斜率为 k的直线 f 过椭圆 的右焦点 F 且与椭圆交于 A B两点 P为直 线 3上的一点 问 是否存在这样的直线 使 A B P为等边三角形 若存在 求出直 线 的方程 若不存在 说明理由 2 2 1 2分 已知 x l n 一n 戈 g 一 一 2 1 对于所有的 0 均有 g 求实数 n的取值范围 2 当 一1时 求 函数 在区间 m m 3 m 0 上的最值 3 证明 对所有的 戈 0 均有 l n 1 1 一 2 e e 参 考 答 案 1 C 由 题 意 知 B 1 4 丢 i A fq B 1 2 B 由题意得 i 注意到 1 i 2 i 于是 所求即为 1 叭 1 i 叭 2 i 咖 2 i 2 i 一 2 i 3 D 由题意 知双曲线的渐近线为 与抛物线联立并整理得 n 2 b 0 0 令 A 0 解得 b 4 a b 2 a 于是 双曲线的离心率为 e 4 C 将题中等式化简并结合正弦公式得 墨 曼 曼 曼 旦一 s i n B c 0 s A s i n B j C O S A 1 6 0 5 A 由 三 棱 锥 Jp A 曰 1 三棱锥s A 丑 c o 解得 一 2 k 2 如图 7 作 菱形 A O B C 记对角线 O C 与 A B交于点 M 由题 中 不 等 式 得 D V M 8 j 又在 R t O MB 中 O B 2 则 D M 1 l 图 7 从 而 点 o o 0 到直 线 Y k 0的 距离 D 1 故 l Jl 或 后 一 q 1 1 综上 2 2 2 1 1 B 1 2 D 卢ff Nl il 1 在 cJ c 易知 oc的半径为 故 l O c o s 0 0f 一4 l 1 啷 y 3 1 d a A P c 内 知 仅 卢 1 二 1 3 3 设 P A P B P C 则 A B 记 A B C的重心为 M 正三棱锥外接球 的球心为 0 O M y 则 AM 每 T x O M2 A M2 AO 故1 A A 尸 2 j z 或 舍去 1 4 寻 或 詈 由题意知 对任意的 l 2 R Ax 1 g 2 铮 对任意的 l 2 R g 注 意 到 当 时 戈 取 最 大 值 g I 一k I I x一1 I I k一1 1 故所求即为 I 一1 I 1 解 得 i 或 后 寻 中 等 数 学 1 5 一 刚 由题意知 0 一1 0 一1 一 0 2一 0 2 一 1 l 2 一 于 是 数 列 是 以 凸 器 手 为首项 q 一 为公 比的等比数列 故 n q 2 l3 丢 一 吉 叭 一 m e 注意到 g I n x I 一 I n 1 一 l n 一 则 g 易知 g 在区间 0 e 上单调递增 在 区间 e 上单调递减 在 e 处取得最 小值 1 故七 i 1 且g 在 区 间 f e 1 上 单 调 递 增 L e J g 1 e g e g 1 0 当 戈 g 在 区 间 e 上 只 有 一 个 交点 即 的图像与 g 的图像相切时 k 取最大值 不妨设切点坐标为 斜率为 k 一 0 又点 k x 在 g 9C 上 于是 联立式 解得 1 从 而 三 1 7 1 由正弦定理得 s i n A C O S C 2s i n B C O S A s i n C C O S A j s i n l 十C 2 s i n B C O S A s i n B 2 s i n B C O S A 又s i n B O 则 c 0 s 因为 0 Z A E G j A l C 3 设平面 A E G的法向量 l 则 r n AE 0 j 令 1 贝 0 Y 一1 z 一 2 所 以 l 1 一1 一 2 由题意知平面 A A G的法向量为 J l 0 1 0 故 c o s 一 又二面角 A 一 A G E为钝角 从而 其 余弦值为一 半 1 9 1 0 0 1 5 b 3 0 2 由表 1知灯泡样 品中优等品有 5 0 个 正 品有 1 0 0个 次品有 5 0个 于是 优等品 正品和次品的比例为 5 0 1 0 0 5 0 1 2 1 所以 按分层抽样法 购买灯泡数为 7 k 2 k 4 k k Z 从而 的最小值为4 3 的所有取值为 O 1 2 3 由题意 知购买一个灯泡 且此灯泡是次 品的概率为 0 1 O 1 5 0 2 5 从这批次灯泡中购买 3个 可看成 3次 独立重复试验 于是 e x o c 1 一 P c 一 62 47 2 一 云 3 击 所以 随机变量 的分布列如表 2 表2 O 1 2 3 2 7 2 7 9 l P 6 4 6 4 6 4 6 4 从而 的数学期望为 E 0 x 2 7 1 2 9 3 1 3O x L 1 4 E 1 2 3 4 2 O 由点 D 向 A B C三 边引 垂线 垂 足 分 别为 E F G 联 结 E F F G E G 记 R为 A B C的外接圆半径 因为 A F D E四点在 以 A D为直径 的 圆上 所以 由正弦定理得 EF BC A D m A 故 船 类似地 F G c 肋 因为A C B D A D B C 所以 F G 由 A D B A C B 9 O 得 G EBC 9 0 而 E F C C A G G F C E B C 则 EFG 9 0 故 E F G为等腰直角三角形 从 而 A C 从 向 B D 2 2 1 1 依题意知 c 2 旦 解得 0 6 b 2 2 2 故 椭 圆 方 程 为 等 1 2 设直线 Z Y k 一 2 与椭圆方程 联立 消去 Y并整理得 3 6 中 等 数 学 3 k 1 一1 2 k 1 2 k 6 0 设 A x l Y 1 8 x 2 Y 2 贝 0 丽1 2 k 2 1 2鬲 k 2 6 故I A B I l l l 一 2 l 1 k Z x x z Z 4 x x 2 一 一 3 Ij 4 1 设边 A 的中点为 M Y 则 6 k 2 一 2 k 由题 意 知直线 MP的斜率 为 一 1 且 X p 3 I M P I 1 1 I 一 兰 一 k 3 k 4 1 注意到 当 A B P为正三角形时 有 I MPI I A B I 1 3 k 1 2 6 4 1 k 3 k 1 2 3 k 1 j k 1 从而 直线 l 一 Y一 2 O或 y一 2 O 2 2 1 由题意知对所有的 0 g x x l n a x I 一 一 2 甘 1 n 令 F I n 则 1 一 2 一 二 一 2 二 2 一 戈 2 2 注意到 当 0 1 时 F O 因此 F x 在 1 处取最小值 即 F F 1 3 因此 口 3 2 当 一1时 x l n 于是 f I n 2 由 0 得 1 i 当 0 m 时 在 m 上 0 因此 在 处取最小值 即 i 一 2 由 m 0 故f m m 3 扎 3 I n m 3 1 i i 当 m 时 I 0 则 在区间 m m 3 上单