2第二章 控制系统的数学模型(2014).pdf

2 2 线性系统的输入线性系统的输入 输出传递函数输出传递函数描述描述 2 3 非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化 2 4 典型环节的数学模型典型环节的数学模型 第二章第二章线性系统的数学模型线性系统的数学模型 2 1 线性系统的输入线性系统的输入 输出时间函数描述输出时间函数描述 2 5 建立数学模型的实验方法简介建立数学模型的实验方法简介 2 6 框图及其化简方法框图及其化简方法 2 7 信号流程图信号流程图 数学模型数学模型 描述系统输入 输出变量以及内部各变量描述系统输入 输出变量以及内部各变量 之间相互关系的数学表达式 之间相互关系的数学表达式 有了数学模型 就可以应用一定的数学方有了数学模型 就可以应用一定的数学方 法对系统的性能进行定性分析和定量计算 乃法对系统的性能进行定性分析和定量计算 乃 至对系统进行综合和校正 至对系统进行综合和校正 对线性定常系统 微分方程是最基本的数对线性定常系统 微分方程是最基本的数 学模型 最常用的数学模型是在此基础上转换学模型 最常用的数学模型是在此基础上转换 来的传递函数和动态结构图 来的传递函数和动态结构图 建立数学模型的方法有机理分析法和实验建立数学模型的方法有机理分析法和实验 辨识法两种 辨识法两种 2 2 1 1 线性系统的输入线性系统的输入 输出时间函数描述输出时间函数描述 线性系统微分方程的编写步骤 线性系统微分方程的编写步骤 1 1 确定系统或环节的输入量和输出量 选确定系统或环节的输入量和输出量 选 取必要的中间变量 取必要的中间变量 2 2 从输入端开始 根据决定各变量之间相从输入端开始 根据决定各变量之间相 互关系的物理 化学等定律 一一写出相关变互关系的物理 化学等定律 一一写出相关变 量的微分 或代数 方程式 量的微分 或代数 方程式 3 3 消去中间变量 写出只含有系统输入和消去中间变量 写出只含有系统输入和 输出变量的微分方程 输出变量的微分方程 4 4 将结果标准化 即含输出量的项写在等将结果标准化 即含输出量的项写在等 式左边 含输入量的项写在等式右边 且都按式左边 含输入量的项写在等式右边 且都按 微分的高阶到低阶排列 其形式为 微分的高阶到低阶排列 其形式为 11 011 1 1 1 1 nn mm nn ddd c tac tac ta c t nn dt dtdt mm ddd br tbr tbr tb r t mm dt dtdt 解解 画出小车受力图 画出小车受力图 求求弹簧弹簧 阻尼阻尼 质量的机械位移系统的微分方程 质量的机械位移系统的微分方程 K K为弹为弹 簧的弹性系数 簧的弹性系数 f f为阻尼器的阻尼系数 忽略小车与地为阻尼器的阻尼系数 忽略小车与地 面的摩擦 试写出以外力面的摩擦 试写出以外力F F为输入 以位移为输入 以位移y y为输出的系为输出的系 统微分方程 统微分方程 阻尼器阻力为阻尼器阻力为 dt dy f 由牛顿运动定律 有由牛顿运动定律 有 Ky弹簧力为弹簧力为 y td d my dt d fKyF 2 2 该系统微分方程为 该系统微分方程为 FKyy dt d fy td d m 2 2 例例1 1 弹簧 弹簧 阻尼阻尼 质量的机械位移系统质量的机械位移系统 把 代入 并进行整理得 把 代入 并进行整理得 解 解 1 1 确定输入输出量确定输入输出量 iu 输入输入 ou 输出输出 iu ou LR C i 例例2 2 RLCRLC串联电路串联电路 这是一个线性定常二阶微分方程 这是一个线性定常二阶微分方程 2 2 列写微分方程列写微分方程 iuidt C Ri dt di L 1 dt du Ci o 3 3 消去中间变量消去中间变量 iooo uuu t d d RCu t d d LC 2 2 微分方程是描述线性系统的一种基本的微分方程是描述线性系统的一种基本的 数学模型 在确定的初始条件和输入信号作数学模型 在确定的初始条件和输入信号作 用下 通过对微分方程的求解 便可得到系用下 通过对微分方程的求解 便可得到系 统的输出响应 从而分析评价系统的性能 统的输出响应 从而分析评价系统的性能 研究系统参数的变化对性能的影响 研究系统参数的变化对性能的影响 但是高阶微分方程的求解是比较困难的 但是高阶微分方程的求解是比较困难的 而且分析系统的结构参数对性能的影响也十分而且分析系统的结构参数对性能的影响也十分 不便 所以对系统进行分析和设计时 通常采不便 所以对系统进行分析和设计时 通常采 用另外一种数学模型用另外一种数学模型 传递函数传递函数 2 2 2 2 线性系统的输入线性系统的输入 输出传递函数描述输出传递函数描述 传递函数是经典控制理论中最重要的数学传递函数是经典控制理论中最重要的数学 模型之一 利用传递函数 可以 模型之一 利用传递函数 可以 不必求解微分方程就可以研究零初始条件不必求解微分方程就可以研究零初始条件 系统在输入作用下的动态过程 系统在输入作用下的动态过程 了解系统参数或结构变化对系统动态过程了解系统参数或结构变化对系统动态过程 的影响的影响 分析分析 可以把对系统性能的要求转化为对传递函可以把对系统性能的要求转化为对传递函 数的要求数的要求 综合综合 1 1 传递函数的定义传递函数的定义 线性定常系统的传递函数是在零初始条件下 线性定常系统的传递函数是在零初始条件下 系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 记为 记为 sR sC sG 一 一 传递函数的概念传递函数的概念 设线性定常系统的微分方程为 设线性定常系统的微分方程为 1 1 1 1 110 11 trbtr td d btr m td m d btr m td m d b tcatc td d atc n td n d atc n td n d mm nn 1 0 ij a b in jm 式中式中 r t r t 输入 输入 c t c t 输出 输出 为常系数 取决于系统为常系数 取决于系统 的结构和参数 对于实际系统 的结构和参数 对于实际系统 n n m m n 1 1 1 m1 1 1 as a s a s bsb sbsb sR sC sG n n n m m m 0 在零初始条件下 对上式进行拉氏变换得 在零初始条件下 对上式进行拉氏变换得 1 11 1 011 nn nn mm mm sa sasa C s b sbsbsbR s 传递函数 传递函数 只要把微分方程中的微分算子只要把微分方程中的微分算子用复用复 dt d 变量变量s表示 把表示 把c t 和和r t 换成相应的象函换成相应的象函 数数C s 和和R s 即可方便的求得系统的传 即可方便的求得系统的传 递函数 反之亦然 递函数 反之亦然 1 011 mm mm M sb sbsbsb 极点极点 传递函数分母多项式的根传递函数分母多项式的根 1 11 nn nn D ssa sasa 零点零点 传递函数分子多项式的根传递函数分子多项式的根 C sM s G s R sD s 表示成零点 极点形式 表示成零点 极点形式 1 0 1 m i i n j j sz C sQ s G sbK R sP s sp i z j p 式中 式中 称为传递函数的零点 称为传递函数的零点 0 Kb 零极点增益零极点增益 称为传递函数的极点 也称为系统的特征根 称为传递函数的极点 也称为系统的特征根 将传递函数的分子 分母多项式变为首一多项将传递函数的分子 分母多项式变为首一多项 式 然后在复数范围内因式分解 得 式 然后在复数范围内因式分解 得 2 2 传递函数的性质传递函数的性质 传递函数的概念只适用于线性定常系统 它与传递函数的概念只适用于线性定常系统 它与 线性常系数微分方程一一对应 线性常系数微分方程一一对应 传递函数仅与系统的结构和参数有关 与系统传递函数仅与系统的结构和参数有关 与系统 的输入无关 的输入无关 传递函数仅描述系统在零初始条件下输入和输传递函数仅描述系统在零初始条件下输入和输 出之间的关系 不反映系统内部中间变量如何传出之间的关系 不反映系统内部中间变量如何传 递 递 物理性质不同的系统可以具有相同的传递函数 物理性质不同的系统可以具有相同的传递函数 而在同一系统中 取不同的物理量作为输入或输而在同一系统中 取不同的物理量作为输入或输 出时 传递函数是不同的 出时 传递函数是不同的 传递函数是传递函数是s的有理分式 的有理分式 分母多项式称为系统分母多项式称为系统 的特征多项式的特征多项式 一个实际的即物理上可以实现的 一个实际的即物理上可以实现的 对象 总有分子的阶次对象 总有分子的阶次m小于或等于分母的阶次小于或等于分母的阶次 n 此时称为 此时称为n阶系统阶系统 di LRiu dt 则传递函数为 则传递函数为 I s G s U s sG U s I s1 LsR U s I s 例例1 1 RLRL电路如图所示电路如图所示 依据电路理论依据电路理论 u R i LsR I sU s L 1 LsR 1 1 R L s R 3 3 传递函数的求法传递函数的求法 r u c u R C t i tutRitu cr dt tdu Cti C ti 则微分方程为 则微分方程为 c cr dut RCutut dt 对上式进行零初始条件下的拉氏变换得对上式进行零初始条件下的拉氏变换得 1 1 c r u s G s u sRCs sG sR sC 1 1 RCs sur suc 例例2 2 RCRC电路如图所示电路如图所示 依据基尔霍夫定律依据基尔霍夫定律 消去中间变量消去中间变量 3 3 传递函数的求法传递函数的求法 4 4 单位脉冲响应单位脉冲响应 单位脉冲函数单位脉冲函数 t t t 0 t 0 0 t 00 t 0 1 tdt 且且 单位脉冲函数的拉氏变换 单位脉冲函数的拉氏变换 1 tL 当系统输入信号为当系统输入信号为 t t 时 系统的输出响时 系统的输出响 应称为脉冲响应 用应称为脉冲响应 用g t 表示 表示 t 0 t 4 4 单位脉冲响应单位脉冲响应 1 tLsR 可见 可见 脉冲响应函数脉冲响应函数g t 的拉氏变换就是传的拉氏变换就是传 递函数 递函数 sGsRsGsC 脉冲响应脉冲响应 11 sGLsCLtctg 即 即 tgLsG 所以 线性定常系统的所以 线性定常系统的传递函数和脉传递函数和脉 冲响应函数包含了关于系统动态特性的相冲响应函数包含了关于系统动态特性的相 同信息 同信息 通过用脉冲输入信号激励系统并测量通过用脉冲输入信号激励系统并测量 系统的响应 能够获得有关系统动态特性系统的响应 能够获得有关系统动态特性 的全部信息 的全部信息 即脉冲响应也可作为系统的即脉冲响应也可作为系统的 数学模型 数学模型 实际上 与数值较大的系统时间常数实际上 与数值较大的系统时间常数 相比 持续时间很短的脉动输入信号可以相比 持续时间很短的脉动输入信号可以 看作脉冲输入信号 看作脉冲输入信号 通常接触到的自动控制系统都可以看成由这通常接触到的自动控制系统都可以看成由这 些典型环节组合而成 些典型环节组合而成 2 2 4 4 典型环节的数学模型典型环节的数学模型 从每个元件或设备的动态特性或数学模型来从每个元件或设备的动态特性或数学模型来 看 可以分成为数不多的几种基本类型 称它们看 可以分成为数不多的几种基本类型 称它们 为典型环节 为典型环节 不管元件是机械式的 电气式的 热力式的 不管元件是机械式的 电气式的 热力式的 气力式的 液力式的或其他形式的 只要它们的气力式的 液力式的或其他形式的 只要它们的 数学模型一样 就认为它们是同一种基本环节 数学模型一样 就认为它们是同一种基本环节 特点 输出不失真 不延迟 成比例地复现输特点 输出不失真 不延迟 成比例地复现输 入信号的变化 入信号的变化 微分方程 微分方程 框图 框图 tKrtc 传递函数 传递函数 KsG K R s C s 阶跃响应 阶跃响应 c t K 1 0 t r t K K 放大系数 又称增益放大系数 又称增益 1 1 比例环节比例环节 实例 实例 R1 i u o u R2 利用利用 虚短虚短 虚虚 断断 的概念 可得 的概念 可得 另外 分压器 齿轮减速器等都是自控系统另外 分压器 齿轮减速器等都是自控系统 中常见的比例环节 中常见的比例环节 21 R u R u oi 进行拉氏变换 进行拉氏变换 21 R sU R sU oi 传递函数 传递函数 1 2 R R sU sU sG i o 特点 输出量延缓地反应输入量的变化规律 特点 输出量延缓地反应输入量的变化规律 当输入信号为阶跃函数时 输出响应按当输入信号为阶跃函数时 输出响应按 指数曲线上升 指数曲线上升 微分方程 微分方程 框图 框图 d c tc tKr t dt 传递函数 传递函数 1 K G s s 阶跃响应 阶跃响应 1 t 0 c t 2 2 惯性环节惯性环节 R s C s 1 K s 惯性时间常数惯性时间常数 1 1 1 1 RCs Cs R Cs sU sU sG i o R R C C i u o u Cs sU Cs R sU oi 1 1 利用运算阻抗的概念及电路定律 利用运算阻抗的概念及电路定律 R1 i u o u R2 C 特点 输出量与输入量对时间的积分成正比 特点 输出量与输入量对时间的积分成正比 微分方程 微分方程 框图 框图 trtc td d T 传递函数 传递函数 Ts sG 1 阶跃响应 阶跃响应 T T 积分时间常数积分时间常数 3 3 积分环节积分环节 R s C s Ts 1 1 t 0 c t r t c t 实例 实例 利用运算阻抗的概念 利用运算阻抗的概念 21 Z sU Z sU oi 传递函数 传递函数 RCsZ Z sU sU sG i o 1 1 2 R i u o u C 利用利用 虚短虚短 虚断虚断 的的 概念 可得 概念 可得 RZ 1 Cs Z 1 2 特点 输出量与输入量对时间的微分成正比 特点 输出量与输入量对时间的微分成正比 微分方程 微分方程 框图 框图 tr td d tc 传递函数 传递函数 ssG 阶跃响应 阶跃响应 微分时间常数微分时间常数 4 4 微分环节微分环节 1 1 理想微分环节 理想微分环节 R s C s s 1 t 0 c t r t c t 该环节可视为理想微分环节和惯性环节该环节可视为理想微分环节和惯性环节 的串联组合 的串联组合 传递函数 传递函数 1 Ts s sG T T 均为时间常数均为时间常数 2 2 实用微分环节 实用微分环节 当当T T远小于远小于1 1时 上式可近似为时 上式可近似为G s G s s s 11 RCs RCs Cs R R sU sU sG i o R R C C i u o u R sU Cs R sU oi 1 利用运算阻抗的概念及电路定律 利用运算阻抗的概念及电路定律 实例 实例 该系统微分方程为 该系统微分方程为 FKyy dt d fy td d m 2 2 5 5 振荡环节振荡环节 传递函数 传递函数 2 1 Y s G s F smsfsK 5 5 振荡环节振荡环节 r u 输入输入 c u 输出输出 ru cu LR C i rccc uuu t d d RCu t d d LC 2 2 传递函数 传递函数 2 1 1 c r Us G s UsLCsRCs 2 1 cr LCsRCsUsUs 微分方程 微分方程 2 2 2 2 dd c tc tc tKr t dtdt 传递函数 传递函数 22 21 K G s ss 5 5 振荡环节振荡环节 令令 1 n 则则 2 22 2 n nn K G s ss 无阻尼自然振荡频率 无阻尼自然振荡频率 阻尼比 阻尼比 n 特点 当输入为阶跃信号时 输出量可能呈现特点 当输入为阶跃信号时 输出量可能呈现 振荡特性 振荡特性 时 时 10 mI eR 0 n 2 1 n j 2 1 n j 极点分布图极点分布图 阶跃响应 阶跃响应 c t t 01 1 单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线 0 微分方程 微分方程 框图 框图 传递函数 传递函数 阶跃响应 阶跃响应 c t 1 0 t r t 6 6 延迟环节延迟环节 纯滞后环节 迟滞环节纯滞后环节 迟滞环节 trtc s esG 延迟时间延迟时间 R s C s s e 特点 输出量是输入量在一定时间特点 输出量是输入量在一定时间后的复现后的复现 c t 在实际的控制工程中 有许多系统具在实际的控制工程中 有许多系统具 有传递滞后的特征 特别是液压 气动和有传递滞后的特征 特别是液压 气动和 机械传动系统 机械传动系统 对于计算机控制系统 由于计算机进对于计算机控制系统 由于计算机进 行数学运算需要一定时间 因此这类系统行数学运算需要一定时间 因此这类系统 也有控制滞后的特征 也有控制滞后的特征 上述六种典型环节是按数学模型的特征上述六种典型环节是按数学模型的特征 来划分的 因此 它们与系统中的部件不一来划分的 因此 它们与系统中的部件不一 定能完全相对应 定能完全相对应 一个部件的传递函数可以由若干个典一个部件的传递函数可以由若干个典 型环节的传递函数所组成 反之 若干个部型环节的传递函数所组成 反之 若干个部 件传递函数的组合 有可能用一个典型环节件传递函数的组合 有可能用一个典型环节 的传递函数来表示 的传递函数来表示 通常自动控制系统均可看成各种典型环通常自动控制系统均可看成各种典型环 节的组合 节的组合 作作业业 2 2 6 6 框图及其化简方法框图及其化简方法 对于控制系统中的每个元件 环节 可以对于控制系统中的每个元件 环节 可以 用框图来表示它的功能和信号流向用框图来表示它的功能和信号流向 方框表示系方框表示系 统或环节的数学模型 指向方框的箭头表示输统或环节的数学模型 指向方框的箭头表示输 入 从方框出来的箭头表示输出 入 从方框出来的箭头表示输出 按照信号传递关系 从输入量到输出量依按照信号传递关系 从输入量到输出量依 次把各个元件 环节 的方框连接起来 就组次把各个元件 环节 的方框连接起来 就组 成了系统的动态结构图 框图 成了系统的动态结构图 框图 一 框图的概念 方块图 结构图 一 框图的概念 方块图 结构图 系统或环节系统或环节G s R s C s 参考输入参考输入 r t 输出输出 c t 框图是描述系统的又一种数学模型 框图是描述系统的又一种数学模型 框图不仅直观地表示了系统中各环节间框图不仅直观地表示了系统中各环节间 的关系和信号的传递过程 而且通过变的关系和信号的传递过程 而且通过变 换的方法可以比较方便地求出系统的传换的方法可以比较方便地求出系统的传 递函数 递函数 1 1 综合点 相加点 汇综合点 相加点 汇 合点 合点 2 2 引出点 分支点 引出点 分支点 在框图中会用到以下两个概念 在框图中会用到以下两个概念 a a b b a a b b 每个箭头上的每个箭头上的 表示信号是相加表示信号是相加 还是相减还是相减 进行相 进行相 加减的量应具有相同加减的量应具有相同 的量纲 的量纲 a a a a a a 引出点引出信号后 引出点引出信号后 不改变原来的信号 不改变原来的信号 二 二 框图的等效变换和化简框图的等效变换和化简 框图等效变换的基本原则 框图等效变换的基本原则 变换前后各变量间的变换前后各变量间的 数学关系保持不变 数学关系保持不变 系统中的各环节有系统中的各环节有串联 串联 并联和反馈并联和反馈三种基本的连接方三种基本的连接方 法 法 一 环节组合的等效变换 一 环节组合的等效变换 1 1 环节的串联环节的串联 1 sGsG i n i 1 sG 3 sG sR sC 2 sG 1 sU 2 sU 依此类推 可得 依此类推 可得 n n个环节串联 等效传递个环节串联 等效传递 函数为各环节传递函数的乘积 即 函数为各环节传递函数的乘积 即 sR sC G s 321 sGsGsG 2 2 环节的并联环节的并联 依此类推 可得 依此类推 可得 n n个环节并联 等效传递个环节并联 等效传递 函数为各环节传递函数的代数和 即 函数为各环节传递函数的代数和 即 1 sG 3 sG sR sC 2 sG 1 sU 3 sU 2 sU 1 sGsG i n i sR sC G s 321 sGsGsG 3 3 反馈连接反馈连接 sH sR sC sG sE sB 前向通道传递函数前向通道传递函数 打开反馈后 输出打开反馈后 输出C s 与与R s 之比 等价之比 等价 于于C s 与误差与误差E s 之比之比 反馈通道传递函数反馈通道传递函数 主反馈信号主反馈信号B s 与输出信号与输出信号C s 之比之比 B s H s C s 开环传递函数开环传递函数 Open loop Transfer Function 主反馈信号主反馈信号B s 与误差信号与误差信号E s 之比之比 B s G s H s E s C s G s E s 负反馈连接时负反馈连接时 E s R s B s 闭环传递函数闭环传递函数 s sR sC sEsGsC sH sR sC sG sE sB 推导 推导 sCsHsB sBsRsE sCsHsRsGsC 等效传递函数 等效传递函数 1 sHsG sG sR sC s 如果上述三种连接交叉在一起而无法化简 如果上述三种连接交叉在一起而无法化简 则要考虑移动某些信号的综合点和引出点 则要考虑移动某些信号的综合点和引出点 二 综合点和引出点的移动 二 综合点和引出点的移动 等效变换的原则 等效变换的原则 1 1 变换前后引出的信号不变 变换前后引出的信号不变 2 2 变换前后综合后的信号不变 变换前后综合后的信号不变 G s 引出点从环节的输出端移到输入端 前移 引出点从环节的输出端移到输入端 前移 sG 1 sX sY sY 1 sX sG sN sY sY N s 1 sYsGsX sGsN 1 sYsNsX 1 1 引出点的移动 引出点的移动 引出点从环节的输入端移到输出端 后移 引出点从环节的输入端移到输出端 后移 1 sG sN 11 sXsNsGsX sG 1 sX 1 sX sY sG 1 sX sY sN 1 sX N s 1 G s 把综合点从环节的输出端移到输入端 前移 把综合点从环节的输出端移到输入端 前移 sG 1 sX 2 sX sY sG sN sY 1 sX 2 sX N s 21 sXsGsXsY 21 sGsNsXsGsXsY 1 sG sN 2 2 综合点的移动 综合点的移动 1 G s 把综合点从环节的输入端移到输出端 后移 把综合点从环节的输入端移到输出端 后移 1 sX sG 2 sX sY 1 sX sN sG 2 sX sY 1 sX N s sG 2 sX sY 21 sGsXsXsY 21 sNsXsGsXsY 又 sGsN G s 注意注意 相邻的信号综合点位置可以互换相邻的信号综合点位置可以互换 1 sX 2 sX 3 sX sY 1 sX 3 sX 2 sX sY 同一信号的引出点位置可以互换同一信号的引出点位置可以互换 sG sX sY 1 sX 2 sX sG sX sY 2 sX 1 sX 综合点和引出点在一般情况下 不能互换 综合点和引出点在一般情况下 不能互换 所以 一般情况下 综合点向综合点移动 所以 一般情况下 综合点向综合点移动 引出点向引出点移动 引出点向引出点移动 sG 2 sX 3 sX sX sG 2 sX 3 sX sX 例例2 2 6 6 2 2 1 G sR sC 2 G 3 G 4 G 7 G 5 G 6 G 解 首先通过移动综合点消除交错 解 首先通过移动综合点消除交错 1 G sR sC 2 G 3 G 4 G 7 G 5 G 26 G G 然后按反馈连接的法则从内层到外层依次求解 然后按反馈连接的法则从内层到外层依次求解 1 G sR sC 2 G 3 G 4 G 7 G 5 G 26 G G 1 G sR sC 2 G 3 236 1 G G G G 4 G 7 G 5 G 1 G sR sC 2 G 34 236 1 G G G G G 7 G 5 G 1 G sR sC 2 G 34 236345 1 G G G G GG G G 7 G 1234 23634512347 1 GG G GC s s R sG G GG G GGG G G G sR sC 7 G 1234 236345 1 GG G G G G GG G G sR sC s 例例2 2 6 6 3 3 闭环控制系统的典型结构图如下图所示 求系统 闭环控制系统的典型结构图如下图所示 求系统 的输出的输出C s C s 1 sG 2 sG sH sR sN sC sE 图中 图中 为参考输入量 为参考输入量 为扰动输入量 同时作为扰动输入量 同时作 用于系统 产生输出用于系统 产生输出 sR sN sC 由于由于线性系统满足叠加原理线性系统满足叠加原理 因此我们可以先求出 因此我们可以先求出 和和分别作用时系统的输出 然后再进行叠加得出它们共分别作用时系统的输出 然后再进行叠加得出它们共 同作用时的输出同作用时的输出 sR sN sC 1 1 给定输入单独作用下 给定输入单独作用下 1 sG 2 sG sH sR sC R sE sB HGG GG sR sC s R R 21 21 1 输出量为 输出量为 1 21 21 sR HGG GG sC R 0 sN令令 则有 则有 2 2 扰动输入单独作用下 扰动输入单独作用下 输出对扰动的传递函数为 输出对扰动的传递函数为 HGG sG sN sC s N N 21 2 1 输出为 输出为 1 21 2 sN HGG G sC N 1 sG 2 sG sH sC sB sN sE 1 sG 2 sG sC sN sH 令令R s 0 R s 0 结构图如下 结构图如下 3 3 给定输入和扰动输入同时作用下 给定输入和扰动输入同时作用下 输出 输出 sNssRssC N 提示提示 各个传递函数 各个传递函数都具有相同都具有相同 的分母多项式 称为控制系统的特征多项式 的分母多项式 称为控制系统的特征多项式 ss N HGG GG sR sC s R 21 21 1 HGG sG sN sC s N N 21 2 1 根据线性叠加原理 根据线性叠加原理 作作业业 信号流图信号流图和框图类似和框图类似 都可用来表示系统结构和都可用来表示系统结构和 信号传送过程中的数学关系信号传送过程中的数学关系 因而因而信号流图也是数学信号流图也是数学 模型一种表示模型一种表示 框图及其等效变换虽然对分析系统很有效框图及其等效变换虽然对分析系统很有效 但是但是 对于比较复杂的系统对于比较复杂的系统 方框图的变换和化简过程往往方框图的变换和化简过程往往 显得繁琐显得繁琐 费时费时 并易于出错并易于出错 如采用信号流图如采用信号流图 则则 可利用梅逊公式可利用梅逊公式 不需作变换而直接得出系统中任何不需作变换而直接得出系统中任何 两个变量之间的数学关系两个变量之间的数学关系 2 2 7 7 信号流程图信号流程图 信号流图起源于梅逊 信号流图起源于梅逊 S J MASONS J MASON 利用图示法来 利用图示法来 描述线性代数方程 是由节点和支路组成的一种信号传递网络 描述线性代数方程 是由节点和支路组成的一种信号传递网络 节点节点 表示变量或信号 其值等于表示变量或信号 其值等于 所有进入该节点的信号之和 所有进入该节点的信号之和 支路支路连接两个节点的定向线段 用连接两个节点的定向线段 用 支路增益 传递函数 表示方支路增益 传递函数 表示方 程式中两个变量的因果关系 程式中两个变量的因果关系 支路相当于乘法器 信号在支支路相当于乘法器 信号在支 路上沿箭头单向传递 路上沿箭头单向传递 一 信号流图的组成要素及其术语一 信号流图的组成要素及其术语 输入节点输入节点 源节点源节点 只有输出的节点 代表系统的输入变量 只有输出的节点 代表系统的输入变量 输出节点输出节点 阱点阱点 只有输入的节点 代表系统的输出变量 只有输入的节点 代表系统的输出变量 输出节点输出节点 输入节点输入节点 混合节点混合节点 既有输入又有输出的节点 若从混合节点引出既有输入又有输出的节点 若从混合节点引出 一条具有单位增益的支路 引出信号为输出节点 一条具有单位增益的支路 引出信号为输出节点 前向通道前向通道 从输入节点到输出节点的通道上通过任何节点从输入节点到输出节点的通道上通过任何节点 不多于一次的通道 前向通道上各支路增益之不多于一次的通道 前向通道上各支路增益之 乘积 称前向通道总增益或前向通道传输乘积 称前向通道总增益或前向通道传输 通道通道 沿支路箭头所指方向经过多个节点的路径沿支路箭头所指方向经过多个节点的路径 开通道开通道 如果通道从某节点开始 终止在另一节点上 如果通道从某节点开始 终止在另一节点上 且通道中每个节点只经过一次 则该通道称且通道中每个节点只经过一次 则该通道称 为开通道 为开通道 回路回路 闭通道闭通道 如果通道的终点就是通道的起点 而与任何其它节点如果通道的终点就是通道的起点 而与任何其它节点 相交次数不多于一次 则称为闭通道或回路 回环等 相交次数不多于一次 则称为闭通道或回路 回环等 如果从一个节点开始 只经过一条支路又回到该节点如果从一个节点开始 只经过一条支路又回到该节点 的 称为自回环 的 称为自回环 不接触回路不接触回路相互间没有任何公共节点的回路相互间没有任何公共节点的回路 ae bf g 回路增益回路增益 回路传输回路传输 回路中所有支路增益之乘积称为回路增益 回路传输回路中所有支路增益之乘积称为回路增益 回路传输 前向通道前向通道 从输入节点到输出节点的通道上通过任何节点从输入节点到输出节点的通道上通过任何节点 不多于一次的通道 前向通道上各支路增益之不多于一次的通道 前向通道上各支路增益之 乘积 称前向通道总增益或前向通道传输乘积 称前向通道总增益或前向通道传输 回路回路 闭通道闭通道 如果通道的终点就是通道的起点 而与任何其它节点如果通道的终点就是通道的起点 而与任何其它节点 相交次数不多于一次 则称为闭通道或回路 回环等 相交次数不多于一次 则称为闭通道或回路 回环等 如果从一个节点开始 只经过一条支路又回到该节点如果从一个节点开始 只经过一条支路又回到该节点 的 称为自回环 的 称为自回环 不接触回路不接触回路相互间没有任何公共节点的回路相互间没有任何公共节点的回路 x0为源节点 为源节点 x6为阱点 为阱点 x1 x2 x3 x4和和x5为混合为混合 节点 节点 abcdej是一条前向通道 而是一条前向通道 而abcde和和fghi是普通的通是普通的通 道 道 ai不是通道不是通道 因为两条支路的方向不一致 因为两条支路的方向不一致 abi也不也不 是通道 因为两次经过节点是通道 因为两次经过节点x1 bi是一个闭通道 回环 而是一个闭通道 回环 而bchi不是一个闭通道 不是一个闭通道 因为有两次经过节点因为有两次经过节点x2 图中共有四个回环 即图中共有四个回环 即bi ch dg和和ef 两个互不接触 两个互不接触 的回环有三种组合 即的回环有三种组合 即bi ef bi dg和和ch ef 本系统 本系统 没有三个及三个以上互不接触的回环 没有三个及三个以上互不接触的回环 二二 信号流图的基本性质信号流图的基本性质 1 1 以节点代表变量 源点代表输入量 阱点代表输出量 以节点代表变量 源点代表输入量 阱点代表输出量 用混合节点代表变量或信号的汇合 在混合节点处 出支用混合节点代表变量或信号的汇合 在混合节点处 出支 路的信号等于各支路信号的叠加 路的信号等于各支路信号的叠加 2 2 以支路表示变量或信号的传输和变换过程 信